1、云南省昆明市东川区明月中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)第I卷(选择题)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Mx|(x1)24,xR,N1,0,1,2,3,则MN( )A. 0,1,2B. 1,0,1,2C. 1,0,2,3D. 0,1,2,3【答案】A【解析】试题分析:求出集合M中不等式的解集,确定出M,找出M与N的公共元素,即可确定出两集合的交集解:由(x1)24,解得:1x3,即M=x|1x3,N=1,0,1,2,3,MN=0,1,2故选A点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集
2、的定义是解本题的关键2.若复数,其中i为虚数单位,则=A. 1+iB. 1iC. 1+iD. 1i【答案】B【解析】试题分析:,选B.【考点】复数的运算,复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,复数题目往往不难,一般考查复数运算与概念或复数的几何意义,也是考生必定得分的题目之一.3.下列函数中,既是偶函数又存在零点是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义以及零点的定义判断【详解】选项A,是非奇非偶函数, 且没有零点,选项B,没有零点, 选项C,是奇函数, 选项D,是偶函数,又有解,既是偶函数又存在零点故选D【
3、点睛】本题考查偶函数和零点的概念4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析:由三视图分析可知,该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和,所以几何体的表面积为考点:三视图与表面积5.若实数、满足约束条件则的最小值是( )A. B. C. D. 3【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:由z=2x+y得y=2x+z,平移直线y=2x+z,由图象可知当直线y=2x+z经过点B时,直线的截距最小,此时z最小,由,解得,即B(1,1),此时z=121=3,故选B6.中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术
4、题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.7.某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩近似服从正态分布,且.该市某校有400人参加此次统测,估计该校数学成绩不低于90分的人数为( )A. 60B. 80C. 100D. 120【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性求出,乘以400得答案.【详解】解:近似服从正态
5、分布,该校数学成绩不低于90分的人数为4000.3120.故选:D.【点睛】本题考查了正态分布的性质,属于基础题.8.下列选项中,说法正确的是( )A. 命题“,”的否定为“,”;B. 命题“在中,则”的逆否命题为真命题;C. 已知、m是两条不同的直线,是个平面,若,则;D. 已知定义在R上的函数,则“为奇函数”是“”的充分必要条件.【答案】C【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题,即可判断A;由,可得,再结合原命题与逆否命题等价,即可判断B;由线面平行的性质定理,即可判断C;根据奇函数的定义,即可判断D.【详解】解:对于A,由特称命题的否定为全称命题,可得命题“,”的否定为“,”,故A错
6、;对于B,命题“在中,则”为假命题,比如,则再由原命题与其逆否命题等价,则其逆否命题为假命题,故B错;对于C,已知、m是两条不同的直线,是个平面,若,则存在,必有,又,则,所以,故C正确;对于D,已知定义在R上的函数,若为奇函数,则,则,所以,满足充分性;但不能推出为奇函数,不满足必要性,则“为奇函数”是“”的充分不必要条件,故D错.故选:C.【点睛】本题考查命题的真假判断,主要是命题的否定、四种命题的真假、充分必要条件的判断和奇偶性的定义,考查判断和推理能力,属于基础题.9.已知直线与圆 相交于两点,且(其中为原点),那么的值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】O为圆的圆心,所
7、以易知,则圆心O到直线的距离等于,根据点到直线距离公式有,所以,故选择B.方法点睛:直线与圆相交时,通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解题.本题根据等腰三角形顶角为,底角为,弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,根据几何图形,转化为圆心到直线的距离等于半径的一半来求解,考查数形结合思想方法在解题中的应用.10.已知,都为锐角,若,则的值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用求得,由此求得的表达式,利用诱导公式化简,并利用齐次方程计算出的值.【详解】由于,所以,所以.故选B.【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点,考查诱导公式、二倍角
8、公式以及齐次方程,属于中档题.11.公差不为0等差数列的部分项构成等比数列且,则( )A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】B【解析】试题分析:设等差数列的公差为,因为成等比数列,所以,即,所以,所以等比数列的公比,所以,又,所以,所以,解得,故选B考点:等比数列的应用12.已知F1,F2为双曲线C的左,右焦点,过F1的直线分别交C的左,右两支于A,B两点,若AF2B为等腰直角三角形,且AF2B=90,那么C的离心率为( )A. 2B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】设,根据双曲线定义可以得到,进一步有,再利用余弦定理确定出和关系,由此求出结果.【详解】AF2B为等腰直角三
9、角形,且AF2B=90,设由双曲线的定义有,则,则所以,则,由余弦定理有:即整理得:,所以,即.故选:D【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法,解题时要注意应用双曲线的定义和性质,注意数形结合思想的应用,属于中档题.第II卷(非选择题)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中,x3的系数是_.(用数字填写答案)【答案】10【解析】试题分析:的展开式的通项为(,1,2,5),令得,所以的系数是.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.14.设,向量,且,则= 【答案】15【解析】试题分析:由得由得,考点:平
10、面向量平行与垂直关系的坐标表示及数量积运算15.若是抛物线上的动点,点在以点为圆心,半径长等于1的圆上运动则的最小值为_【答案】3【解析】由于点为抛物线焦点,则等于点到抛物线准线的距离.又圆心到抛物线准线的距离为4,则.当点为原点,为时取等号.故 得最小值为,故答案为 .16.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径若平面平面SCB,三棱锥的体积为9,则球O的表面积为_【答案】36【解析】三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形,设球的半径
11、为r,可得 ,解得r=3.球O的表面积为: .点睛:与球有关组合体问题,一种是内切,一种是外接解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设的内角的对边分别为已知(1)求;(2)若求的面积.【答案】;【解析】【分析】(1)先利用正弦定理边化角,再利用三角恒等变换求得.(2)先利用余弦定理求出a=3,再利用三角形的面积公式求的面积.【详解】(1
12、)由已知以及正弦定理可得,(2)由(1)以及余弦定理可得,解得或舍去【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了 做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标和,制成下图,其中“”表示甲村贫困户,“”表示乙村贫困户.若,则认定该户为“绝对贫困户”,若,则认定该户为“相对贫困户”,若,则认定该户为“低收入户”;若,则认定该户为“
13、今年能脱贫户”,否则为“今年不 能脱贫户”. (1)从甲村50户中随机选出一户,求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率;(2)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户,用表示所选3户中乙村的户数,求的分布 列和数学期望;(3)试比较这100户中,甲、乙两村指标的方差的大小(只需写出结论).【答案】(1)0.1;(2)见解析;(3)这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【解析】试题分析:(1)处于100以下“”图标共5个,由古典概型可求(2)由图知,“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户,其中甲村6户,乙村4户,的可能值为0,1,2,3.写出超几何分布列(3)数据越集中方差越小
14、,数据越分散方差越大,显然乙村更集中试题解析:(1)由图知,在甲村50户中,“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户,所以从甲村50户中随机选出一户,该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为(2)由图知,“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户,其中甲村6户,乙村4户,依题意,的可能值为0,1,2,3.从而,.所以的分布列为:故的数学期望.(3)这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征,是对数据的一种简明描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势,方差和标准差描述数据的波动大小.19.如下图,在四棱柱中,点分别为的中点
15、.(1)求证:平面;(2)若四棱柱是长方体,且,求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】试题分析:(1)取的中点为,连结,要证线面平行,即证明平面外的线与平面内的线平行,所以证明是平行四边形,即证明;(2)以点为原点,分别为 轴建立空间直角坐标系,分别求平面和平面的法向量,求法向量夹角的余弦值,再求正弦值.试题解析:(1)设的中点为,连接、.为的中点,且.又为四棱柱的棱的中点,且,四边形是平行四边形.又平面,平面,平面.(2)根据四棱柱是长方体,建立如图所示的空间直角坐标系,设,由已知得.,设平面的一个法向量为,则.取,解得是平面的一个法向量.由已知容易得到是平
16、面的一个法向量.设平面与平面所成二面角的大小为,则.,.平面与平面所成二面角的正弦值为.20.已知数列的前项和为,若,且(1)求证:为等比数列;(2)求数列的前项和【答案】(1)详见解析;(2)【解析】试题分析:(1),得:,可得,化简可得,整理可得,即可证明结论(2)由(1)得,即然后再利用错位相减即可求出结果试题解析:(1),得:,即,是以-2为首项,2为公比的等比数列(2)由(1)得,即,- 得:考点:1数列的递推公式;2错位相减【方法点睛】针对数列(其中数列分别是等差数列和等比数列(公比),一般采用错位相减法求和,错位相减的一般步骤是:1;2等式两边同时乘以等比数列的公比,得到;3最后
17、-,化简即可求出结果21.已知函数,直线,是图象的任意两条对称轴,且的最小值为(1)求的表达式;(2)将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若关于的方程,在区间上有且只有一个实数解,求实数的取值范围【答案】(1);(2)或【解析】试题分析:(1)由辅助角公式得,再由的最小值为可得最小正周期,进而得,;(2)将的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象令,原题转化为上有且只有一个值,由正弦函数的图象可得的范围试题解析:(1),由的最小值为可得 最小正周期,(2)将的图象向右
18、平移个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象令,在区间上有且只有一个实数解,即函数与在区间上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知或,或考点:1、三角函数的图象和性质及两角和的正弦公式;2、已知方程根的个数求参数范围22.已知点,圆,点是圆上一动点, 的垂直平分线与交于点.(1)求点的轨迹方程;(2)设点的轨迹为曲线,过点且斜率不为0的直线与交于两点,点关于轴的对称点为,证明直线过定点,并求面积的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】【试题分析】(1)由于,所以的轨迹为椭圆,利用椭圆的概念可求得椭圆方程.(2)当直线的斜率存在时,设出直线方程
19、和点的坐标,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,求得直线的方程,求得其纵截距为,即过.验证当斜率不存在是也过.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.【试题解析】解:(1)由已知得:,所以又,所以点的轨迹是以为焦点,长轴长等于4的椭圆,所以点轨迹方程是.(2)当存在时,设直线,则,联立直线与椭圆得,得,所以直线,所以令,得,所以直线过定点,(当不存在时仍适合)所以的面积 ,当且仅当时,等号成立.所以面积的最大值是.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查直线和圆锥曲线的位置关系,考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点,而圆心恰好是,由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义,结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆.