1、抛物线第7课时1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质2. 理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用对应学生用书P142【梳理自测】一、抛物线定义及标准方程和几何性质1坐标平面内到定点F(1，0)的距离和到定直线l：x1的距离相等的点的轨迹方程是()Ay22xBy22xCy24x Dy24x2顶点在原点，焦点坐标为(2，0)的抛物线的标准方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x3已知抛物线yx2，则它的焦点坐标是()A. B.C. D.4抛物线y24x上一点M到焦点的距离为2，则M到y轴的距离为_5顶点在原点，对称轴是x轴，且经过点M(5，4)的抛物线的
2、标准方程是_答案：1.D2.D3.D4.15.y2x以上题目主要考查了以下内容：(1)抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线(2)抛物线标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0【指点迷津】1一种对应关系抛物线、焦点、准线是
3、一种对应关系焦点在抛物线的开口内，与焦点横坐标是一对相反数(以焦点在x轴上为例)2一种转化关系抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简即焦半径的计算3六个常见结论直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图y1y2p2，x1x2.|AB|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，弦长最短为2p.为定值.弦长AB(为AB的倾斜角)以AB为直径的圆与准线相切焦点F对A，B在准线上射影的张角为90.对应学生用书P143考向一抛物线的定义及应用已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线
4、上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标【审题视点】把|PF|转化为P到准线的距离，两点之间线段最短【典例精讲】将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为.此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P坐标为(2，2)【类题通法】(1)利用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线(2)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求
5、解1(2014辽宁省五校联考)设抛物线x212y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|BF|_解析：分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|BF|AM|BN|2|PQ|8.答案：8考向二抛物线标准方程及性质(1)(2012高考陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米(2)抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为()A2B4C6 D4【审题视点】(1
6、)建立坐标系，利用点待定抛物线方程，再求横坐标(2)利用抛物线定义性质及等边三角形性质求解【典例精讲】(1)如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米(2)依题意，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M1，记抛物线的准线x1与x轴的交点为N，则有|PM1|PF|PM|.又点M1、M均在抛物线的准线上，因此点M1与M重合由FPM为等边三角形得PMF60，又PM平行于x轴，因此MFNPMF60.在RtMFN中，|FN|2，cosMFN，|MF|4，所以等边三角形FPM的面积是|MF
7、|24，选D.【答案】(1)2(2)D【类题通法】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此2(2014郑州一模)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x解析：选C.如图，分别过A、B作AA1l于A1
8、，BB1l于B1，由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，连结A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x，故选C.考向三直线与抛物线的位置关系已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1， y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值【审题视点】联立方程组，利用抛物线定义求焦点弦长，把向量用
9、坐标表示，求关于的方程的解【典例精讲】(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以：x1x2，由抛物线定义得：|AB|x1x2p9.所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4，4x25pxp20可简化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4)；设(x3，y3)(1，2)(4，4)(41，42)又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0，或2.【类题通法】与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横(或纵
10、)坐标的和还是与交点横(或纵)坐标的差这是正确解题的关键3过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，36，则抛物线的方程为()Ay26xBy23xCy212x Dy22x解析：选D.设准线与x轴的交点为M，由知F为线段AB的中点，|AC|2|MF|2p.由抛物线定义知|AF|AC|，|AF|2p，故|AB|4p，在RtBCA中，|BC|2p，且cosABC，|cosABC4p2p36，p23，p，抛物线的方程为y22x，故选D.对应学生用书P144 抛物线定义及焦点弦性质的应用方法(2012高考安
11、徽卷)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.B.C. D2【方法分析】题目条件：已知抛物线方程，则已知焦点坐标和准线方程，过点F的直线，且|AF|3.解题目标：由弦AB形成的三角形OAB的面积关系探究：()由抛物线定义转化|AF|3，得出A点横坐标，代入抛物线得出A点坐标，由A、F两点确定AB直线，联立方程组求B点，利用SAOB|yAyB|OF|求面积()若直接用焦点弦性质yAyBp2，可求yB.()得出A点坐标，估算SOAF、SOBF与SAOB的大小关系而得答案【解题过程】(方法一)如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(
12、1，0)，又|AF|3，由抛物线定义知：点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标y2，A(2，2)，直线AF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，SAOB|OF|yAyB|1|2|.故选C.(方法二)若得出yA2，由yAyBp24，yB，由SAOB|OF|yAyB|.(方法三)由题意，抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为l：x1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2，2)，则SOAF，又知0SOBFSOAF，故SAOB2，结合选项知选C.【答案】C【回归反思】(1)当涉及抛物线上的点到焦点距离问题时(如|AF|3)
13、，就可用定义转化求点的坐标(2)解决与抛物线的焦点弦有关的问题，如果能用到一些常用结论，就会带来意想不到的效果，而对于一些客观题采用排除法能快速正确的找出答案1(2013高考四川卷)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A.B.C1 D.解析：选B.由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解由题意可得抛物线的焦点坐标为(1，0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.2(2013高考全国新课标卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2C2 D4解析：选C
14、.先利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再结合三角形面积公式求解设P(x0，y0)，则|PF|x04，x03，y4x04324，|y0|2.F(，0)，SPOF|OF|y0|22.3(2013高考全国大纲卷)已知抛物线C：y28x与点M(2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点若0，则k()A. B.C. D2解析：选D.联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0进行坐标运算解未知量k.抛物线C的焦点为F(2，0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.4(2013高考江西卷)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：根据抛物线与双曲线的图象特征求解由于x22py(p0)的准线为y，由解得准线与双曲线x2y23的交点为A，B，所以AB2.由ABF为等边三角形，得ABp，解得p6.答案：6
