1、单元素养评价(一)(第1,2章)(120分钟150分)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c的值依次为()A2,4,4 B2,4,4C2,4,4 D2,4,4【解析】选B.配方得(xa)2a2c,所以解得a2,b4,c4.2若直线xya0是圆x2y22y0的一条对称轴,则a的值为()A1 B1 C2 D2【解析】选B.圆x2y22y0化为x2(y1)21,圆心坐标为(0,1),因为直线xya0是圆x2y22y0的一条对称轴,所以01a0,即a1.3已知圆C:
2、(x1)2(y1)21与直线kxy10相交于A,B两点,若CAB为等边三角形,则k2的值为()A3 B4 C5 D6【解析】选A.圆C:(x1)2(y1)21的圆心为C(1,1),半径为1,故CBCA1,又CAB为等边三角形,所以点C到直线kxy10的距离为,即,解得k23.4点P与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A1B4C4D1【解析】选A.设圆上任一点为Q,PQ中点为M,根据中点坐标公式,得因为Q在圆x2y24上,所以xy4,即4,化为1.5过点的直线l被圆(x1)2y24所截得的弦长最短时,直线l的斜率为()A1 B1 C D【解析】选A.点在2y24圆内,要使得过点的直线
3、l被圆2y24所截得的弦长最短,则该弦以为中点,与圆心和连线垂直,而圆心和连线的斜率为1,所以所求直线斜率为1.6已知直线l:xay10(aR)是圆C:x2y24x2y10的对称轴过点A作圆C的一条切线,切点为B,则AB()A2 B4 C6 D2【解析】选C.圆C标准方程为(x2)2(y1)24,圆心为C(2,1),半径为r2,因此2a110,a1,即A(4,1),AB6.7圆M:x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离【解析】选B.化简圆M:x2(ya)2a2(a0)M(0,a),r1aM到直线x
4、y0的距离d2a2a2M(0,2),r12,又N(1,1),r21MN|r1r2|MN|r1r2|两圆相交8已知P是直线kx4y100(k0)上的动点,过点P作圆C:x2y22x4y40的两条切线,A,B是切点,C是圆心,若四边形PACB面积的最小值为2,则k的值为()A B C2 D3【解析】选D.圆的标准方程为221,则圆心为C,半径为1,则直线与圆相离,如图:S四边形PACBSPACSPBC,而SPACPACAPA,SPBCPBCBPB,又PAPB,所以当PC取最小值时PAPB取最小值,即SPACSPBC取最小值,此时,CPl,四边形PACB面积的最小值为2,SPACSPBC,所以PA2
5、,所以CP3,所以3,因为k0,所以k3.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9已知圆C1:(x1)2y21和圆C2:x2(yb)21,且2b2,则两圆的位置关系可能是()A内切 B相交 C外切 D外离【解析】选BCD.由2b2,圆心距1,).所以两圆的位置关系可能是相交、外切和外离10若圆22r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1,则半径r的取值可以是()A4 B5 C D6【解析】选BC.易求圆心(3,5),到直线4x3y20的距离d5,由已知得d1rd1,即4r0)与圆x2y2
6、1,圆(x4)2y21都相切,所以1,得k,b.方法二:因为直线ykxb(k0)与圆x2y21,圆(x4)2y21都相切,所以直线ykxb必过两圆心连线的中点,所以2kb0.设直线ykxb的倾斜角为,则sin ,又k0,所以,所以ktan ,b2k.答案:四、解答题(本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)求与x轴相切,圆心C在直线3xy0上,且截直线xy0得的弦长为2的圆的方程【解析】因为圆心C在直线3xy0上,设圆心坐标为(a,3a),圆心(a,3a)到直线xy0的距离为d.又圆与x轴相切,所以半径r3|a|,设圆的方程为(xa)2(y3a)29a2,设
7、弦AB的中点为M,则AM.在RtAMC中,由勾股定理,得2()2(3|a|)2,解得a1,r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29,或(x1)2(y3)29.18(12分)已知圆C:x2y22x4y30.(1)求圆心C的坐标及半径r的大小;(2)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程【解析】(1)圆C的方程变形为(x1)2(y2)22,所以圆心C的坐标为,半径为.(2)因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,所以设直线l的方程为xya0(a0),所以a1或a3,所以所求直线l的方程为xy10或xy30.19(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知以
8、M为圆心的圆M:x2y212x14y600上一点A.(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BCOA,求直线l的方程【解析】(1)由圆心N在直线x6上,可设N.因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7y05y0,解得y01.因此,圆N的标准方程为221.(2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm,即2xym0,则圆心M到直线l的距离d,因为BCOA2,而MC2d22,所以255,解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.20(12
9、分)已知ABC的三个顶点A(1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆圆心为H.(1)求圆H的方程;(2)若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2,求直线l的方程;(3)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求圆C的半径r的取值范围【解析】(1)设圆H的方程为x2y2DxEyF0,则有解得则圆H的方程为x2y26y10.(2)由直线与圆位置关系得:半径,半弦长,圆心到直线距离构成勾股定理,即12d210,因此d3,又直线l过点C,故利用直线方程点斜式求解,注意先讨论斜率不存在的情况:若lx轴,直线方程为x3,满足题意;若l的斜率存在
10、,设l的方程为yk(x3)2,圆心到直线的距离为d3,解得k,直线方程为4x3y60,综上,直线l的方程为x3或4x3y60.(3)结合图象(图略)由题意得:0CPr2r,即rCP3r恒成立,所以从而r.21(12分)已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的点,且4,求Q点坐标【解析】(1)设圆心C(a,b),由已知得M(2,2),则解得则圆C的方程为x2y2r2,将点P的坐标代入得r22,故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x,y),则x2y22,(x1,y1)(x2,y2)x2y2xy4xy24.所以
11、解得所以Q点的坐标为Q(1,1).22(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程;(2)试求圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(xa)2(yb)28.因为直线yx与圆C相切于原点O,所以O点在圆C上,且OC垂直于直线yx,于是有解得或由于点C(a,b)在第二象限,故a0,所以圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),则有解得x或x0(舍去).所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长