1、仁寿一中南校区第一次调考数学试题一、单选题（每小题5分，共60分）1.设全集为，集合，则（ C ）A B C D2.若复数满足，则复数为（ D ）A B C D3.函数的单调递减区间是（A ）A B C D 4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ B ）A15 B37 C83 D1775.已知命题：，；命题：，则下列命题中为真命题的是：（ B ）A B C D6.已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（ C ）A1 B2 C3 D47.在公比为的正项等比数列中，则当取得最小值时，（ A ）A B C D8.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该
2、几何体的体积（单位：）是（ C ）A2 B4 C6 D89.已知，则（ B ）A B C D10.若函数在处有极大值，则常数为（ C ）A2或6 B2 C6 D-2或-611.在中，则角（ D ）A B C或 D12.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ D ）A B C D二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数，若，则 114.已知函数，是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则 115.已知实数m,n满足，则直线必过定点 16.如图，在平面四边形中，.若点为边上的动点，则的最小值为 三、解答题（17-21题每小题12分，22题10分，共70分）17.设为数列的前
3、项和，已知，.（1）求的通项公式；（2） 设，求数列的前项和.17.【解】（1）由，可知，两式相减得，即，（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列，的通项公式；（2），数列的前项和.18.如图，四棱锥中，底面为菱形，点为的中点.（1）证明：；（2）若点为线段的中点，平面平面，求点到平面的距离.（文科做）（3）若点为线段的中点，求二面角M-CN-D的余弦值。（理科做）18.【解】（1）连接，因为，所以为正三角形，又点为的中点，所以.又因为，为的中点，所以.又，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知.又平面平面，交线为，所以平面，由.，由等体积法知得.（3）19.十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战
4、，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：.所有蜜柚均以40元/千克收购；.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请
5、你通过计算为该村选择收益最好的方案.19.【解】（1）由题得蜜柚质量在和的比例为，分别抽取2个和3个.记抽取质量在的蜜柚为，质量在的蜜柚为，则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种：，其中质量小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为.（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为（元），若按方案收购：蜜柚质量低于2250克的个数为，蜜柚质量低于2250克的个数为，收益为元，方案的收益比方案的
6、收益高，应该选择方案.20. 已知椭圆离心率为为椭圆上一点.（1）求的方程；（2）已知斜率为，不过点的动直线交椭圆于两点.证明：直线的斜率和为定值.解:（1）由题知,解得.即所求的方程为（2）,.联立方程组得.所以所以.即因为故.21.已知函数（为常数）.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数，的图象与轴无交点，求实数的最小值.21.【解】（1）时，由得；得.故的减区间为，增区间为.（2）因为时，同时，因此时，故要使函数图象与轴在上无交点，只有对任意的，成立，即时，.令，则，再令，于是在上为减函数，故，在上恒成立，在上为增函数，在上恒成立，又，故要使恒成立，只要，所以实数的最小值为.请考生在2
7、2、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.22.【解】（1）由，得，化为直角坐标方程为，即.（2）将的参数方程带入圆的直角坐标方程，得，因为，可设，是上述方程的两根，所以，又因为为直线所过定点，.所以的最小值为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.(I)求的最小值;(II)若均为正实数，且满足,求证:.【答案】(1) .(2)证明见
8、解析.【解析】试题分析：（1）利用零点分段法去绝对值，将写成分段函数的形式，由此求得最小值.（2）由（1）得，原不等式左边加上，然后分成三组，对这三组分别利用基本不等式求得最小值，相加后可证得原不等式成立.试题解析：（1）因为函数，所以当时，；当时，；当时，综上，的最小值.（2）据(1)求解知，所以，又因为，所以，即，当且仅当时，取“=” 所以，即.23. 已知函数.(文科做）（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由已知得：，分成三段解不等式即可；（2）不等式的解集非空等价于，利用绝对值三角不等式易得，即可求得的取值范围.试题解析：（1），当时，；当时，；综上，不等式解集为.（2）因为，所以若关于的不等式的解集非空，则，即的取值范围是.
