1、银川一中2021届高三年级第四次月考文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，则的值为()A. 2B. 8C. 2或8D. 2或8【答案】C【解析】【分析】根据补集的性质A（CUA）=U，再根据集合相等的概念列方程，从而可得结论【详解】全集，则， 故选C【点睛】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念是基础题2. 已知命题“”为真，“”为真，则下列说法正确的是（ ）A. 真真B. 假真C. 真假D. 假假【答案】B【解析】【分析】根据逻辑或真假判断的真值表， p
2、是假命题，又“”为真命题，进而可得q是真命题【详解】解：命题“”和命题“非”均为真命题，为假命题，为真命题，故选B【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键3. 已知为虚数单位，复数，则（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】复数，故选A【点睛】本题考查复数的运算，求复数的模长，属于简单题.4. 已知函数 (且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质，求出定点的坐标，再利用待定系数法求出
3、幂函数，从而求出的值【详解】解：函数中，令，解得，此时，所以定点；设幂函数，则，解得；所以，所以，故选D【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题5. 已知将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于轴对称，则的值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出平移后的函数解析式，再结合图象关于轴对称列出式子即可求解.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，由题意，得，则，取，得.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，属于基础题.6. 在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为（ ）A. B. C. D.
4、 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得，由等差数列前项和的公式，能求出时，的最小值【详解】数列是等差数列，它的前项和有最小值公差，首项，为递增数列， 由等差数列的性质知：，.， 当时，的最小值为16故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，考查数列的函数特性7. 函数的部分图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由得为奇函数排除选项A，由函数值的变化趋势可以排除选项D，求特殊点的函数的正负可排除C，得到答案【详解】函数的定义域为.,所以为奇函数，故排除选项A.由当且时，故排除选项D.由，故排除选项C.故选：B【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是利用函数的奇
5、偶性、函数值的变化趋势进行判断，属于基础题8. 若，则（ ）A. 2B. 1C. -1D. 0【答案】A【解析】【分析】由可得，可根据求得，进而可求出的值.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查数量积的运算，考查垂直关系的向量表示，属于基础题.9. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据诱导公式得出，然后根据二倍角公式即可得出结果.【详解】因为，所以，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，考查的公式有、，考查计算能力，是简单题.10. 已知函数，若不等式对任意的均成立，则的取值不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
6、】根据奇偶性定义和单调性的性质可得到的奇偶性和单调性，由此将恒成立的不等式化为，通过求解的最大值，可知，由此得到结果.【详解】，是定义在上的奇函数，又，为增函数，为减函数，为增函数.由得：，整理得：，的取值不可能是.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.11. 如图所示，在长方体，若，、分别是、 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A. 与垂直B. 平面C. 与所成的角为D
7、. 平面【答案】C【解析】【分析】连接、，则为的中点，可得，利用与，平面，平面的关系可判断各选项【详解】连接、，则为的中点，对于A选项，平面，平面，、分别为、的中点，则，A选项正确；对于B选项，四边形为正方形，则，又，平面，平面，B选项正确；对于C选项，易知为等腰三角形，则与所成的角为，始终是锐角，而，不可能成立C选项错误；对于D选项，平面，平面，平面，D选项正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系的判断解题关键是掌握线面垂直的判断定理与性质定理，线面平行的判定定理，掌握异面直线所成的角本题考查了学生的空间想象能力12. 已知函数，若对于任意的，存在唯一的
8、，使得，则实数a的取值范围是（ ）A. （e，4）B. （e，4C. （e，4）D. （，4【答案】B【解析】【分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，由时，时，可得g（x）在1，0上单调递减，在（0，1上单调递增，故g（x）在1，1上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，当时，则函数在，2上的值域为a4，a，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2上，函数单调递减由题意，得，可得a4
9、0e，解得ea4故选:B【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_【答案】【解析】【分析】等体积法【详解】 【点睛】等体积法14. 已知向量，若，三点共线，则实数_.【答案】或【解析】【分析】由向量共线定理即可求得的值.【详解】解：，三点共线，使， ，解得：或.故答案为：或.15. 在三棱柱中，底面ABC，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】利用对称性可得到上下底面的中心连线的中点即为外接球的
10、球心，然后在有关三角形中计算，求得球的半径，最后利用球的表面积公式计算即得.【详解】解：如图所示：取的中点,两底面的中心分别为,线段的中点即为该三棱柱的外接球的球心，连接.即为外接球的半径为正三角形，,故答案为：.【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积问题，关键是利用对称性找到球心的位置，属基础题.16. 如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和_.【答案】【解
11、析】【分析】设第个正方形边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，得出与满足的递推公式，可知数列为等比数列，并求出关于的表达式，可得出数列也为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用比数列的和可求出结果.【详解】设依次所作的第个正方形的边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，则第个等腰直角三角形的腰长为，且.第个正方形的边长为，且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知数列为递增的等差数列，其中，且成等比数列.（1）
12、求的通项公式；（2）设记数列的前n项和为.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由基本量法求得和，然后可得通项公式；（2）由裂项相消法求和【详解】（1）在等差数列中，设公差为d0，由题意，得，解得.ana1+(n1)d1+2(n1)2n1；（2）由（1）知，an2n1.则，.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中
13、的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）数列，需用倒序相加法求和18. 已如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，M，N分别是AB，PC的中点，.（1）求证：平面（2）求证：平面PCD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证，从而面面，即可证明平面；（2）先证明，由，、分别是、的中点，可证，从而得证【详解】证明：（1）取的中点，连接，、分别是、的中点，又面，面，所以面又面，面，所以面因为，面面面，因为面平面；（2）底面是矩形，平面，平面，平面平面，平面，又，平面，、分别是、的中点，面平面【点睛】本题考查了空间几何
14、体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键19. 已知，分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：；.（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【答案】（1），或，；（2）.【解析】【分析】（1）由可求得的值，由可求出角的值，结合题意得出，推出矛盾，可得出不能同时成为的条件，由此可得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦
15、定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.【详解】（1）由得，所以，由得，解得或（舍），所以，因为，且，所以，所以，矛盾.所以不能同时满足，.故满足，或，；（2）若满足，因为，所以，即.解得.所以的面积.若满足，由正弦定理，即，解得，所以，所以的面积.【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.20. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且.（1）若P为上的一点，则P到平面的距离.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）
16、；（2）.【解析】【分析】（1）由平面，可得P到平面的距离等于到平面的距离，而由正方体性质知到平面BEF的距离等于到的距离，由此即得（2）利用等体积法计算即可.【详解】解：（1），平面，平面，平面，即平面，又正方体的棱长为1，到平面BEF的距离为到的距离，若为上一点，则P到平面BEF的距离为， （2），由（1）知到平面BEF的距离等于到平面BEF的距离为，.【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离，考查求棱锥的体积掌握如下定理是求点面距离的常用方法：，则直线上所有点到平面的距离相等求棱锥的体积常用用到换底法，换成高易求的面为底然后由体积公式计算即得21. 已知函数，.（1）讨论的单调性；（2
17、）若有两个极值点、，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域和导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析导函数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，利用韦达定理可将表示为以为自变量的函数，换元，可得出，令，利用导数求出函数在上的值域，由此可得解.【详解】（1）函数的定义域为，令.当，即时，则对任意的恒成立，此时函数在上单调递增；当时，对任意的恒成立，此时函数在上单调递增；当时，有两个正根，分别，当或时，；当时，.此时函数在，上单调递增，在上单调递减.综上可得：当时，函数的单调递增区间是，无递减
18、区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，由韦达定理可得，令，则，设，当时，当时，.所以，函数在单调递增，在单调递减，因此，的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解代数式的取值范围，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.22. 在平面直角坐标系xOy中，射线l：(x0)，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的方程为；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为（1）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；（2）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N
19、，求的值【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据直线极坐标方程的形式可得射线，消去曲线参数方程中的参数可得普通方程；（2）将圆的普通方程化为极坐标方程，设点对应的极径分别为，然后根据求解可得所求【详解】（1）依题意，因为射线，故射线消去方程中的参数可得，所以曲线的普通方程为：（2）曲线的方程为，即，把代入上式可得曲线的极坐标方程为，设点对应的极径分别为，则【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程，解题的关键是根据各种方程间的关系进行求解，同时还要注意在极坐标方程中用极径求弦长的方法，属于基础题23. 已知.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为m，正实数a，b，c满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）先求出，再利用基本不等式证明不等式.【详解】解：（1）当时，由，得，此时无解；当时，由，得，此时的解为；当时，由，解得，此时的解为.综上，不等式的解集为；证明：（2），故的最小值为，.，等号当且仅当，即时等号成立.，即.【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.本题主要运用了综合法.
