1、第二节一元二次不等式及其解法考情展望1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题.2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型.3.以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xx2不等式恒成立问题的解法不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；
2、当a0时，1不等式2x2x10的解集是()A.B(1，)C(，1)(2，) D.(1，)【解析】2x2x1(x1)(2x1)0，x1或x.故原不等式的解集为(1，)【答案】D2不等式0的解集为()A. B.C. D.【解析】原不等式等价于(x1)(2x1)0或x10.原不等式的解集为.【答案】A3函数y的定义域是_【解析】要使函数有意义，只需6xx20，x2x60，3x2，f(x)的定义域为x|3x2【答案】x|3x24一元二次不等式ax2bx20的解集是，则ab的值是_【解析】由已知得方程ax2bx20的两根为，.则解得ab14.【答案】145(2013重庆高考)关于x的不等式x22ax8a
3、20)的解集为(x1，x2)，且x2x115 ，则a ()A.B.C.D.【解析】由x22ax8a20)得(x2a)(x4a)0)，即2ax0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】x2ax2a0在R上恒成立，a242a0，0a8.【答案】(0,8)考向一 102一元二次不等式的解法已知不等式ax23x64的解集为x|x1或xb(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc0.【思路点拨】(1)先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a的符号，然后利用根与系数的关系列出a，b的方程组，求a，b的值(2)所给不等式含有参数c，因此需对c讨论写出解集【尝试解答】(1)因为不等式ax23
4、x64的解集为x|x1或xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得解得(2)不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)0.当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc；当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2；当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为.所以，当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|cx2；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为.规律方法11.解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据
5、判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即的符号进行分类，最后当根存在时，根据根的大小进行分类.对点训练(1)不等式ax2bxc0的解集为x|2x3，则不等式ax2bxc0的解集为_(2)(2014潍坊模拟)aR，解关于x的不等式xa(x1)【解析】(1)令f(x)ax2bxc，则f(x)ax2bxc，结合图象，可得ax2bxc0的解集为x|3x2【答案】x|3x2(2)原不等式可转化为0(*)(1)当a1时，(*)式为0，解得
6、x0或x1.(2)当a1时，(*)式为0若a1，则a10，0，解得x0，或x1；若1a2，则1a0，1，解得x0，或1x；若a2，则a11,01,1a0，解得x0，或x1；综上，当a1时，不等式解集为x|x0或x1当a1时，不等式解集为.当1a2时，不等式解集为.当a2时，不等式解集为.考向二 103不等式恒成立问题设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围【思路点拨】本题(1)可讨论m的取值，利用判别式来解决对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函
7、数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单【尝试解答】(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则4m0.所以m的取值范围为m|4m0(2)要使f(x)m5在1,3上恒成立，只需mx2mxm6恒成立(x1,3)，又因x2x120，所以m.因为y，由t2在1,3上是增函数，y在1,3上是减函数因此函数的最小值ymin.所以，m的取值范围是m|m规律方法21.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用
8、分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.对点训练若x1，)时，x22ax2a恒成立，试求a的取值范围【解】 法一令f(x)x22ax2，x1，)，f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.(1)当a(，1)时，结合图象知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1，应有(10x)100，即x(x5)0，所以0x5，所以，要使每月售货总金额有所增加，则x的取值范围是(0,5)思想方法之十四数形结合巧解不等式不等式中的数
9、形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效(2)借助函数图象，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义，实现“数”向“形”的转化1个示范例1个对点练(2013四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_【解析】设x0.当x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)，f(x)x24x(x0)，f(x)由f(x)5得或x5或x5.观察图象可知f(x)5，得5x5.由f(x2)5，得5x25，7x3.不等式f(x2)5的解集是x|7x3已知f(x)，则满足不等式f(1x)f(x)的x的取值范围是_【解析】画出函数f(x)的图象，如图所示由图可知，若f(1x)f(x)，只需解之得x.即满足要求的x的取值范围是.【答案】
