1、第 1 页 共 6 页太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试题（理）参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案BACADBDCADCD二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.221412xy14 12153316 835三、解答题（共 70 分）（一）必考题17.（本小题满分 12 分）解()222(sinsin)()sinBARacC，2222(sinsin)2()sinRRBAR acC，即222bacac，.3 分2221cos22acbBac，.5 分0B，23B.6 分()7,2bc，由正弦定理sinsinb
2、cBC得21sin7C，.8 分由bc，故C 为锐角，2 7cos7C，.9 分232 712121sinsin()sin3272714ABCC.12 分18.（本小题满分 12 分）解()AE 平面 BCE，BE 平面 BCE，BC 平面 BCE，,AEBE AEBC，.2 分又 BCAB，AEABA，BC 平面 ABE，.4 分第 2 页 共 6 页又 BC 平面 ABCD，平面 ABCD 平面 ABE.6 分()如图所示，建立空间直角坐标系 Axyz，1,2,AEABAEBE,3BE，3 1(0,2,0),(,0)22BE,.8 分假设线段 AD 上存在一点 F 满足题意，设(0,0,)
3、Fh，(0)h，易知平面 ABF 的一个法向量为(1,0,0)m，.9 分设平面 BEF 的一个法向量为(,)nx y z，而33(,0),(0,2,)22BEBFh，则0,0,n BEn BF ，即3302220 xyyhz，所以可取2(3,1,)nh，.10 分由223cos,244m nm nmnh，可得2h.存在点 F 当2AF 时，二面角 ABFE所成角为045.12 分19.（本小题满分 12 分）解()该混合样本阴性的概率是22 28()39，.2 分根据对立事件原理，阳性的概率为81199.4 分()方案一：逐个检验，检验次数为 4.5 分方案二：由（）知，每组 2 个样本检验
4、时，若阴性则检验次数为 1，概率为 89；若阳性则检验次数为 3，概率为 19.设方案二的检验次数记为，则 的可能取值为 2,4,6其分布列如下，可求得方案二的期望为6416119822()246818181819E .9 分246p64811681181zyEADBCFx第 3 页 共 6 页CAF1F2Byx方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为，的可能取值为 1,5.其分布列如下，可求得方案三的期望为6417149()15818181E .11 分比较可得()()4EE，故选择方案三最“优”.12 分20.（本小题满分 12 分）解：（）设椭圆方程为22221xyab，其中221b
5、a，由已知当2时，不妨设2BFm，则22AFm，1ABBF，13BFm，由椭圆定义得24am，从而122AFAFm，.2 分故此时点 A 在 y 轴上，不妨设 A(0,)b，从而由已知条件可得3(,)2 2bB，.4 分代入椭圆方程，解得23a，所以221ba=2，故所求椭圆方程为22132xy.6 分（）直线 BC 过定点(2,0)H，证明如下，设直线 AB 方程为1xmy，代入椭圆22236xy中，222(1)36myy，即22(23)440mymy，设11(,)A x y，22(,)B xy，则122423myym，122423y ym，1212yymy y，由题设知1(3,)Cy，直线
6、 BC 斜率2123BCyykx=2122yymy211212yyyyy1y，BC 直线方程为11(3)yyy x，化简得：1(2)yy x，故直线 BC 过(2,0).另解：（）设11(,)A x y，22(,)B xy，代入椭圆方程15p64811781第 4 页 共 6 页得2211236xy,2222236xy,两边同乘以2,得2222222236xy,-,得2121212122()()3()()6(1)xxxxyyyy,由22AFF B,得121xx，120yy,将121xx，120yy代入化简得：123(1)xx,从而12x，21 2x，即2(2)3 2x，又12yy,于是CHHB
7、，,C H B 三点共线，因此无论如何变化，直线 BC 过定点(2,0)H.21.（本小题满分 12 分）解（）()sincossincosfxxxxxxx,.1 分当(0,)2x时，cos0,()0 xfx，()(0)1f xf，()f x 无零点;.2 分当3(,)22x时，cos0,()0 xfx，而()022f，33()022f，()f x 有唯一零点;.3 分当35(,)22x时，cos0 x，()0fx，而55()022f，()f x 有唯一零点;.4分综上，()f x 在5(0,)2有两个零点.5 分（）证明22sincos()()xxxf xg xxx ,.6 分由（）知()g
8、 x 在(0,)2无极值点；在3(,)22x有极小值点，即为1x，在 35(,)22有极大值点即为2x，而()022f，()10f ，33()022f，(2)10f ，可知1(,)2x，23(,2)2x，同理在 5(,3)2 有极小值点3x，在(21),2nn有极值点nx.第 5 页 共 6 页由sincos0nnnxxx，得 cossinnnnxxx，1tannnxx,12xx，1211xx，112tan()tantanxxx,而13(,2)2x，23(,2)2x，故有12xx,12121212coscos()()sinsinxxg xg xxxxx 12sin()sinxxsinyx在 3
9、(,2)2 是增函数，12sin()sin0 xx,即12()()0g xg x；.8 分 同理，2143,(21)2kkxk，241,22kkxk，2124122kkkxx，由sinyx在 41,22k递增得212212()()sin()sin0kkkkg xg xxx，.10 分当 n 为偶数时，不妨设2nk，从1()g x开始相邻两项配对，每组和均为负值，即 1234212()()()()()0kkg xg xg xg xg xg x），结论成立；当 n 为奇数时，设21nk，2141,212kkxk（），2121()sin0kkg xx，从1()f x开始相邻两项配对，每组和均为负值，
10、还多出最后一项也是负值，即 123421221()()()()()()()0kkkg xg xg xg xg xg xg x，结论也成立.综上，对一切Nn，1230ng xg xg xg x成立.12 分（二）选考题【选修 4-4：坐标系与参数方程】22.（本小题满分 10 分）解（）设点,M x y，(3cos,3sin)P，且点6,0Q，由2PMMQ，得4cos,sin,xy.2 分第 6 页 共 6 页整理得2241xy,即228150 xyx，.3 分化为极坐标方程为28 cos150.5 分（）设直线l：ykx的极坐标方程为.设 1,A ，2,B ，因为4OAAB，所以54OAOB，即1254，.6 分又28cos150，则1212128,15,54,cos 解得9 3cos16，.8 分所以222113tan1cos243k，9273k .10 分【选修 4-5：不等式选讲】23.（本小题满分 10 分）解解：（）函数()2221f xg xxax=222xax2(22)xax21a，.3 分解得1a 或3a；.5 分（）不等式()1f xg x，即 211xax，由题意，1,12x时，211xax 成立，2xax3axa，.7 分不等式()1f xg x 的解集包含 1,12，即132a 且1a ，.9 分解得312a，所以实数a 的取值范围是3(1,)2.10 分
