1、第八节二项分布及其应用考情展望1.考查条件概率的理解和应用.2.考查独立事件相互独立事件的概率求法.3.以解答题形式结合实际问题对独立重复试验与二项分布进行考查一、条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1(2)若B、C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)二、事件的相互独立性设A、B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立三、独立重复试验与二项分布1独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i1,2
2、，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)2二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率1判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样的条件下重复，相互独立进行(2)试验结果要么发生，要么不发生2判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n次独立重复试验(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数1设
3、随机变量B，则P(3)的值是()A.B.C.D.【解析】P(3)C363.【答案】B2小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A. B. C. D.【解析】所求概率PC131.【答案】A3袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A. B. C. D.【解析】在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P，故选C.【答案】C4某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一
4、轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_【解析】此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为10.20.820.128.【答案】0.1285(2011湖北高考)如图1081，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()图1081A0.960 B0.8
5、64 C0.720 D0.576【解析】A1，A2均不能正常工作的概率P(12)P(1)P(2)1P(A1)1P(A2)0.20.20.04.K，A1，A2相互独立，系统正常工作的概率为P(K)1P(12)0.9(10.04)0.864.【答案】B6(2010辽宁高考)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A. B. C. D.【解析】记两个零件中恰有一个一等品的事件为A，则P(A).【答案】B考向一 192条件概率从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的
6、2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.B.C.D.【思路点拨】利用条件概率的计算公式P(B|A)计算【尝试解答】P(A)，P(AB).由条件概率计算公式，得P(B|A).【答案】B规律方法11.利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得,P(B|A).这是通用的求条件概率的方法.,2.借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).对点训练(1)设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，事件A发生的概率为_(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活
7、率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_【解析】(1)由题意知：P(AB)，P(B|A)，P(A).(2)设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)0.8，P(A)0.9.根据条件概率公式P(AB)P(B|A)P(A)0.90.80.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.【答案】(1)(2)0.72考向二 193相互独立事件的概率(2013大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独
8、立，第1局甲当裁判(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望【思路点拨】(1)由相互独立事件同时发生的概率公式求解；(2)前4局乙当裁判的次数可能为0,1,2，仿(1)的思路分别计算各自的概率并代入数学期望公式求解【解】(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”，则AA1A2，P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值为0,1,2.设A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜
9、甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”则P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)，P(X2)P(B3)P()P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)1，故EX0P(X0)1P(X1)2P(X2).规律方法21.应用相互独立事件同时发生的概率乘法公式求概率的步骤：(1)确定诸事件是相互独立的；(2)确定诸事件是否同时发生；(3)先求出每个事件发生的概率，再求其积.2.求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.对点训练(2012重庆高考)甲、乙两人轮流投篮，每人每
10、次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数的分布列与期望【解】设Ak、Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)，P(Bk)(k1,2,3)(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)P(A1)P( A2)P( A3)P(A1)P( )P( )P(A2)P( )P( )P()P()P(A3)22.(2)的所有可能值为1,2,3.由独立性知P(1)P(A1)P(B1)，P(2)P(
11、A2)P( B2)22，P(3)P( )22.综上知，的分布列为123P所以E123.考向三 194独立重复试验与二项分布(2013山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望【思路点拨】(1)根据题意确定每一个事件的比赛次数，由相互独立事件的概率公式求概率(2)确定随机变量X的所有可能取值，求出取每一个
12、值时的概率即可得出分布列，从而求出数学期望【尝试解答】(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以甲队以30胜利和以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C22.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2).又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布
13、列为X0123P所以EX0123.规律方法31.独立重复试验是在同样的条件下重复进行，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.2.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率.对点训练(2013辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每
14、道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望【解】(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C0202；P(X1)C11C0202；P(X2)C20C1211；P(X3)C20.所以X的分布列为：X0123P所以E(X)01232.易错易误之十七因混淆二项分布与相互独立事件而致误1个示范例1个防错练某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设
15、这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列【解】(1)设X为射手在5次射击中目标的次数，则XB.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X2)C23.(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)P(A1A2A3 )P(A2A3A4)P( A3A4A5)32323.解答第
16、(2)问易出现因不明独立事件与独立重复试验的区别误认为是n次独立重复试验，可导致求得PC32这一错误结果.(3)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6，P(0)P( )3，P(1)P(A1 )P(A2)P( A3)22.P(2)P(A1A3)，P(3)P(A1A2)P(A2A3)22，P(6)P(A1A2A3)3，所以的分布列是01236P【防范措施】(1)正确区分独立事件与n次独立重复试验是解决此类问题的关键.(2)判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：在同样的条件下重复，相互独立进行.,试验结果要么发生，要么不发生.某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，校车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路堵车的概率为p，不堵车的概率为1p.若甲、乙两辆校车走公路，丙校车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响(1)若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；(2)在(1)的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望【解】(1)由已知条件得C(1p)2p，即3p1，则p.(2)解：可能的取值为0,1,2,3.P(0)；P(1)；P(2)C；P(3)的分布列为：0123P所以E0123.
