1、2016年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1数z满足（1+z）（1+2i）=i，则复平面内表示复数z的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知a，b为实数，则“a3b3”是“2a2b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A0.6B0.7C0.8D0.94执行如图的程序框图
2、，若输入M的值为1，则输出的S=（）A6B12C14D205在ABCD中，AB=2AD=4，BAD=60，E为BC的中点，则=（）A6B12C6D126设椭圆C：y2+=1（0m1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是（）A，1）B（0，C，1）D（0，7函数f（x）=cos（x+）+2sinsin（x+）的最大值是（）A1BsinC2sinD8曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）ABCD95名大学生为唐山世界园艺博览会的3个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A90种B180种C270种D36
3、0种10在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）ABCD11已知函数f（x）=x在0，1）上的最大值为m，在（1，2上的最小值为n，则m+n=（）A2B1C1D212在等边ABC中，M为ABC内一动点，BMC=120，则的最小值是（）A1BCD二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=x，则离心率e为14若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是15已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，ABCD，若四面体AB
4、CD体积的最大值为9，则球O的表面积为16当x1，+）时，不等式x3ax24x+80恒成立，则a的取值范围是三、简答题：本大题共70分。（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，2Sn=（n+1）2ann2an+1，数列bn满足b1=1，bnbn+1=（I）求数列an的通项公式；（）是否存在正实数，便得bn为等比数列？并说明理由18二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0x10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 9.5 74.5（）试求y关于x的回归直线方
5、程；（参考公式： =， =）（）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x21.75x+17.2万元，根据（）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？19如图，直角三角形ABC中，BAC=60，点F在斜边AB上，且AB=4AFD，E是平面ABC同一侧的两点，AD平面ABC，BE平面ABC，AD=3，AC=BE=4（）求证：平面CDF平面CEF；（）点M在线段BC上，异面直线CF与EM所成角的余弦值为，求CM的长20已知点F为抛物线C：x2=4y的焦点，A，B，D为抛物线C上三点，且点A在第一象限，直线AB经过点F，BD与抛物线C在在点A处的切线平行，点M为
6、BD的中点（）求证：AM与y轴平行；（）求ABD面积S的最小值21已知函数f（x）=xlnx+a，直线y=x与曲线y=f（x）相切（）求a的值；（）证明：xex1f（x）2+f（x）0请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD内接于圆O，AC与BD相交于点F，AE与圆O相切于点A，与CD的延长线相交于点E，ADE=BDC（）证明：A、E、D、F四点共圆；（）证明：ABEF选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，0），曲线C2与曲线C1关于原点对称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极
7、坐标系，曲线C3的极坐标方程为=2（0），过极点O的直线l分别与曲线C1，C2，C3相交于点A，B，C（）求曲线C1的极坐标方程；（）求|AC|BC|的取值范围选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+1|+m|x1|（）当m=2时，求不等式f（x）4的解集；（）若m0，f（x）2m，求m的最小值2016年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1数z满足（1+z）（1+2i）=i，则复平面内表示复数z的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数
8、形式的乘除运算【分析】由（1+z）（1+2i）=i，得到，再利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复平面内表示复数z的点的坐标，则答案可求【解答】解：由（1+z）（1+2i）=i，得=，则复平面内表示复数z的点的坐标为：（，），位于第二象限故选：B2已知a，b为实数，则“a3b3”是“2a2b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用函数y=x3，y=2x在R上单调递增即可得出【解答】解：由于函数y=x3，y=2x在R上单调递增，a3b3”ab“2a2b”“a3b3”是“2a2b”的充要条件故选：C3已知甲在上班
9、途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A0.6B0.7C0.8D0.9【考点】条件概率与独立事件【分析】由题意可知P（A）=0.5，P（AB）=0.4，利用条件概率公式可求得P（B丨A）的值【解答】解：设第一个路口遇到红灯概率为A，第二个路口遇到红灯的事件为B，则P（A）=0.5，P（AB）=0.4，则P（B丨A）=0.8，故答案选：C4执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S=（）A6B12C14D20【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M
10、，S，k的值，当k=4时不满足条件k3，退出循环，输出S的值为12【解答】解：模拟执行程序，可得M=1，S=1，k=1满足条件k3，M=3，S=4，k=2满足条件k3，M=2，S=6，k=3满足条件k3，M=6，S=12，k=4不满足条件k3，退出循环，输出S的值为12故选：B5在ABCD中，AB=2AD=4，BAD=60，E为BC的中点，则=（）A6B12C6D12【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算【解答】解以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）E（，）=（，），=（3，） =12，故
11、选：D6设椭圆C：y2+=1（0m1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是（）A，1）B（0，C，1）D（0，【考点】椭圆的简单性质【分析】求得椭圆的a，b，c，在椭圆C上存在点P使得PF1PF2，等价为以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，即有cb，解不等式即可得到所求范围【解答】解：椭圆C：y2+=1（0m1）的a=1，b=m，c=，在椭圆C上存在点P使得PF1PF2，等价为以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，即有cb，即m，即为2m21，解得0m故选：B7函数f（x）=cos（x+）+2sinsin（x+）的最大值是（）A1BsinC2sinD【考点
12、】三角函数的最值【分析】由三角函数公式整体可得f（x）=cosx，可得函数的最大值为1【解答】解：由三角函数公式可得f（x）=cos（x+）+2sinsin（x+）=cos（x+）+2sinsin（x+）=cos（x+）cossin（x+）sin+2sinsin（x+）=cos（x+）cos+sin（x+）sin=cos（x+）=cosx，函数的最大值为1故选：A8曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）ABCD【考点】定积分在求面积中的应用【分析】首先求出曲线的交点，S阴影=S扇形0ACS三角形OBA+S曲多边形OBA，分别求出其面积，问题得以解决【解答】解：曲线y=和x2
13、+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部所示由，解得x=1，y=1，即A（1，1），B（1，0），因为S曲多边形OBA=dx=|=，S三角形OBA=11=，S扇形0AC=2=，S阴影=S扇形0ACS三角形OBA+S曲多边形OBA=+=+，故选：C95名大学生为唐山世界园艺博览会的3个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A90种B180种C270种D360种【考点】计数原理的应用【分析】根据每个场馆分配一名或两名大学生，则5人将被分成3组，人数为1，2，2，先将5人分成3组，然后按顺序分配【解答】解：由题意知将5人将被分成3组，人数为1，2，2，则有=1
14、5种，然后将分好的3组按一定的顺序，分到三个场馆，有A33=6种方法，所以不同的分配方案有种156=90，故选：A10在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥PABCD所得的几何体；画出图形结合图形求出截取部分的体积与剩余部分的体积之比是多少即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥PABCD所得的几何体；设AB=1，则截
15、取的部分为三棱锥EBCD，它的体积为V三棱锥EBCD=11=，剩余部分的体积为V剩余部分=V四棱锥PABCDV三棱锥EBCD=121=；所以截取部分的体积与剩余部分的体积比为： =1：3故选：B11已知函数f（x）=x在0，1）上的最大值为m，在（1，2上的最小值为n，则m+n=（）A2B1C1D2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】通过变形可知f（x）=1+sinx，进而可知当x0，1）时，函数g（x）=+sinx满足g（2x）=g（x），由此可知在区间0，1）（1，2上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，利用对称性即得结论【解答】解：f（x）=x=1+sinx，记g（x）=+sinx
16、，则当x0，1）时，g（2x）=+sin（2x）=sinx，即在区间0，1）（1，2上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，m+n=2，故选：D12在等边ABC中，M为ABC内一动点，BMC=120，则的最小值是（）A1BCD【考点】正弦定理【分析】如图所示，不妨设等边ABC的边长为2，M为ABC内一动点，BMC=120点M在弦BC所对的弓形上，BQC=120由图可知：当点M取与y轴的交点时，MBC=30，可得：Q，A，C（1，0），M（x，y）设参数方程为：， =t，化为：sin（+）=1，解出即可得出【解答】解：如图所示，不妨设等边ABC的边长为2，M为ABC内一动点，BMC=120，点
17、M在弦BC所对的弓形上，BQC=120由图可知：当点M取与y轴的交点时，MBC=30，可得：Q，A，C（1，0），M（x，y）点M所在圆的方程为： =设参数方程为：，=t，化为：sin（+）=1，解得t，故选：C二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=x，则离心率e为【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，设双曲线的方程为=1，从而得到=，从而求离心率【解答】解：由题意，设双曲线的方程为=1，则两条渐近线方程为y=x，则=，则e=故答案为：14若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是14【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区
18、域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，2），由z=3x+4y得：y=x+，结合图象得直线过A（2，2）时，z最大，z的最大值是14，故答案为：1415已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，ABCD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为36【考点】球的体积和表面积【分析】由题意，ABC为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，利用四面体ABCD体积的最大值为9，求出R，即可求出球O的表面积【解答】解：由题意，ABC为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，最大值
19、为=9，R=3，球O的表面积为4R2=36故答案为：3616当x1，+）时，不等式x3ax24x+80恒成立，则a的取值范围是（，2【考点】函数恒成立问题【分析】分类讨论，当x1，0）（0，+）时，化简不等式为a=x+，再令f（x）=x+，求导确定函数的单调性，从而求函数的最值，从而解恒成立问题【解答】解：当x=0时，不等式x3ax24x+80成立，当x1，0）（0，+）时，x3ax24x+80可化为a=x+，令f（x）=x+，则f（x）=1+=，故x1，0）时，f（x）0，x（0，2）时，f（x）0；x（2，+）时，f（x）0；故f（x）在1，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在2，+
20、）上是增函数，而f（1）=1+4+8=11，f（2）=22+2=2，故a2；故答案为：（，2三、简答题：本大题共70分。（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，2Sn=（n+1）2ann2an+1，数列bn满足b1=1，bnbn+1=（I）求数列an的通项公式；（）是否存在正实数，便得bn为等比数列？并说明理由【考点】等比数列的通项公式；数列递推式【分析】（）根据递推公式，得到2an=an+1+an1，继而得到数列an为等差数列，求出公差d，即可求出数列an的通项公式，（）根据递推公式，得到bn+2=4bn，求出b2，b3，若bn为等比数列，则满足
21、（b2）2=b3b1，继而求出正实数【解答】解：（）由2Sn=（n+1）2ann2an+1，得到2Sn1=n2an1（n1）2an，2an=（n+1）2ann2an+1n2an1+（n1）2an，2an=an+1+an1，数列an为等差数列，2S1=（1+1）2a1a2，4=8a2，a2=4，d=a2a1=42=2，an=2+2（n1）=2n，（）bnbn+1=4n，b1=1，b2b1=4，b2=4，bn+1bn+2=4n+1，=4，bn+2=4bn，b3=4b1=4，若bn为等比数列，则（b2）2=b3b1，162=41，=18二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0x1
22、0）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 9.5 74.5（）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式： =， =）（）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x21.75x+17.2万元，根据（）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？【考点】线性回归方程【分析】（）由表中数据计算、，求出、，即可写出回归直线方程；（）写出利润函数z=yw，利用二次函数的图象与性质求出x=3时z取得最大值【解答】解：（）由表中数据得， =（2+4+6+8+10）=6，=（16+13+9.5+7+4.5）
23、=10，由最小二乘法求得=1.45，=10（1.45）6=18.7，所以y关于x的回归直线方程为y=1.45x+18.7；（）根据题意，利润函数为z=yw=（1.45x+18.7）（0.05x21.75x+17.2）=0.05x2+0.3x+1.5，所以，当x=3时，二次函数z取得最大值；即预测x=3时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大19如图，直角三角形ABC中，BAC=60，点F在斜边AB上，且AB=4AFD，E是平面ABC同一侧的两点，AD平面ABC，BE平面ABC，AD=3，AC=BE=4（）求证：平面CDF平面CEF；（）点M在线段BC上，异面直线CF与EM所成角的余弦值为，
24、求CM的长【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（）由余弦定理得CF=2且CFAB，ADCF，从而CF平面DABE，DFE为二面角DCFE的平面角推导出DFE=90，由此能证明平面CDF平面CEF（）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，建立空间直角坐标系Cxyz，利用向量法能求出a的值【解答】证明：（）直角三角形ABC中，BAC=60，AC=4，AB=8，AF=AB=2，由余弦定理得CF=2且CFABAD平面ABC，CF平面ABC，ADCF，又ADAB=A，CF平面DABE，CFDF，CFEFDFE为二面角DCFE的平面角又AF=2，AD=3，BE=4，BF=6，故Rt
25、ADFRtBFEADF=BFE，AFD+BFE=AFD+ADF=90，DFE=90，DCFE为直二面角平面CDF平面CEF解：（）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C（0，0，0），B（0，4，0），E（0，4，4），F（3，0），M（0，a，0），（0a4）=（3，0），=（0，a4，4），异面直线CF与EM所成角的余弦值为，|cos，|=，解得a=，故CM=20已知点F为抛物线C：x2=4y的焦点，A，B，D为抛物线C上三点，且点A在第一象限，直线AB经过点F，BD与抛物线C在在点A处的切线平行，点M为BD的中点（）求证：AM与y轴平行；（）求ABD面积S的最小值【考
26、点】抛物线的简单性质【分析】（I）设出A，B，D三点坐标，根据kBD=y|列方程根据根与系数的关系求出M的横坐标即可；（II）求出直线BD的方程，求出AM和B到直线AM的距离，则SABD=2SABM，求出S关于xA的函数，利用基本不等式求出函数的最小值【解答】证明：（）设A（x0，），B（x1，），D（x2，）（x00）由x2=4y得y=，y=，kBD=，又kBD=，=，=x0，即xM=x0AM与y轴平行解：（）F（0，1），kAF=，kBF=A，B，F三点共线，kAF=kBF，=，整理得（x0x1+4）（x0x1）=0，x0x10，x0x1=4，即x1=直线BD的方程为y=（xx1）+，yM
27、=（x0x1）+=+2=+2由（）得SABD=2SABM=|+2|x1x0|=|+2|x0+|=（x0+）316，当且仅当x0=即x0=2时等号成立，S的最小值为1621已知函数f（x）=xlnx+a，直线y=x与曲线y=f（x）相切（）求a的值；（）证明：xex1f（x）2+f（x）0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，可得m=1，进而得到切点，可得a=1；（）由xex1f（x）2+f（x）=xex1（xlnx1）+xlnx+1=（1+xex1）（xlnx1）+2，令g（x）=（1+xex1）（xlnx1）+2，
28、求出导数，求得单调区间、极小值且为最小值0，即可得证【解答】解：（）设切点为（m，n），f（x）=xlnx+a的导数为f（x）=lnx+1，可得切线的斜率为1+lnm，由切线的方程y=x，可得1+lnm=1，即m=1，切点为（1，1），可得a=1；（）证明：xex1f（x）2+f（x）=xex1（xlnx1）+xlnx+1=（1+xex1）（xlnx1）+2，令g（x）=（1+xex1）（xlnx1）+2，g（x）=（1+x）ex1（xlnx1）+（1+xex1）（1+lnx）当x=1时，g（x）=2（1）+21=0，当x1时，（1+x）ex12，xlnx11，（1+x）ex1（xlnx1）2
29、，（1+xex1）（1+lnx）21=2，则g（x）0，g（x）递增；当0x1时，（1+x）ex1（xlnx1）2，（1+xex1）（1+lnx）2，则g（x）0，g（x）递减即有g（x）在x=1处取得极小值，且为最小值0则有xex1f（x）2+f（x）0请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD内接于圆O，AC与BD相交于点F，AE与圆O相切于点A，与CD的延长线相交于点E，ADE=BDC（）证明：A、E、D、F四点共圆；（）证明：ABEF【考点】弦切角；圆內接多边形的性质与判定【分析】（）由题意证明CAE=AD
30、E，又已知ADE=BDC，可证BDC=CAE，从而可得A，E，D，F四点共圆（）由圆內接四边形的性质得ADE=AFE=BDC，又BDC=BAC，从而可证AFE=BAC，即可证明ABEF【解答】（本题满分为10分）证明：（）因为AE与圆O相切于点A，所以CAE=CBA；因为四边形ABCD内接于圆O，所以CBA=ADE；又已知ADE=BDC，所以BDC=CAE，故A，E，D，F四点共圆（）由（）得ADE=AFE=BDC，又BDC=BAC（同弧所对的圆周角相等），所以AFE=BAC，故ABEF选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，0），曲线C2与曲线C1关于原点对
31、称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为=2（0），过极点O的直线l分别与曲线C1，C2，C3相交于点A，B，C（）求曲线C1的极坐标方程；（）求|AC|BC|的取值范围【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（I）利用同角三角函数的关系消元得到C1的普通方程，在将普通方程转化为极坐标方程；（II）求出三条曲线的普通方程，设直线方程为y=kx（k0），求出A，B，C的坐标，利用三点的位置关系得出|AC|BC|=（|OC|OA|）（|OA|+|OC|）=|OC|2|OA|2将|AC|BC|转化为关于k的函数【解答】解：（I）曲线C1的直角坐标方程为（
32、x1）2+y2=1，即x2+y22x=0（0y1）曲线C1的极坐标方程为22cos=0，即=2cos（0）（II）曲线C2的普通方程为（x+1）2+y2=1（1y0），曲线C3的普通方程为x2+y2=4（0y2）设直线l的方程为y=kx（k0）则A（，），B（，），C（，）A，B关于原点对称，|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|，|AC|BC|=（|OC|OA|）（|OA|+|OC|）=|OC|2|OA|2=4设f（k）=4，则f（k）在（0，+）上单调递增，f（0）=0，0f（k）4即|AC|BC|的取值范围时（0，4）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+1|+m|
33、x1|（）当m=2时，求不等式f（x）4的解集；（）若m0，f（x）2m，求m的最小值【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）当m=2时，f（x）=，作出图象，结合图象由f（x）的单调性及f（）=f（1）=4，能求出f（x）4的解集（）由f（x）2m得|x+1|m （2|x1|），从而|x+1|x1|2，在同一直角坐标系中画出y=|x1|2及y=|x+1|的图象，根据图象性质能求出m的最小值【解答】解：（）当m=2时，f（x）=，作出图象，得：结合图象由f（x）的单调性及f（）=f（1）=4，得f（x）4的解集为x|1x（）由f（x）2m得|x+1|m （2|x1|），m0，|x+1|x1|2，在同一直角坐标系中画出y=|x1|2及y=|x+1|的图象，根据图象性质可得1，即1m0，故m的最小值为12016年9月4日
