1、高三数学试题第 1 页（共 6 页）2022-2023 学年度第一学期期末学业水平检测高三数学试题本试题卷共 6 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
2、中，只有一项是符合题目要求的。1复数i12i的虚部为Ai23B 23C32D122若34()()axax的展开式中含有2x 项的系数为18，则 a A 2B 23C 23 或 2D23或 23已知集合22()|20()|(1)Ax yxyxBx yyk x，若 AB ，则A3333kB33kC33k 或33k D3k 或3k 4“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正
3、三角形所在平面的夹角正切值为A22B1C2D 2 2高三数学试题第 2 页（共 6 页）5“1m”是“函数mmxfxx 22)(为奇函数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知函数()2sin()(0)f xx的部分图象如下图所示，将()f x 的图象向左平移12个单位后得到函数()yg x的图象，则函数()()2xyg xg的最小值为A 4B94C74D07为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查 20 个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班
4、级的物理成绩，下列结论正确的是A甲班众数小于乙班众数B乙班成绩的75百分位数为79C甲班的中位数为74D甲班平均数大于乙班平均数估计值8已知定义域为0 1，的“类康托尔函数”()f x 满足：1201xx，12()()f xf x；()2()3xf xf；()(1)1f xfx则1()2023fA 132B 164C 1128D 1256xOy3131220.030234579050 60 70 80 90 1000.005频率组距分数0.0250.0200 57 58 59 67 68 691频数分数87 88 89 9867甲班物理成绩乙班物理成绩高三数学试题第 3 页（共 6 页）二、多
5、项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9通过长期调查知，人类汗液中 A 指标的值 X 服从正态分布2(10 2.5)N，则A估计100 人中汗液 A 指标的值超过10 的人数约为50B估计100 人中汗液 A 指标的值超过12.5 的人数约为16C估计100人中汗液 A 指标的值不超过15 的人数约为95D随机抽检5 人中汗液 A 指标的值恰有 2 人超过10 的概率为 516参考数据：若2()XN ，则()0.6827PX；(22)0.9545PX10已知对任意平
6、面向量()ABx y，把 AB绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 AP(cossinsincos)xyxy，叫做把点B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 角得到点P 已知平面内点(2 1)A，点(21)Btt，|2 2AB，0AB OA，点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 3角得到点 P，则A|2 2BP B(2 2)AB ，C B 的坐标为(41)，D P 的坐标为(333)，11已知O 为坐标原点，离心率为63的椭圆2222:1(00)xyCabab，的左，右焦点分别为12FF，C 与曲线cosyx恰有三个交点，则A椭圆C 的长轴长为3BC 的内接正方形面积等于3C点W 在C 上，12WFWF
7、，则12WF F的面积等于1D曲线C 与曲线24ln2ln 2 1yxx没有交点12已知数列na和 nb满足1111331 21024214nnnnnnbabbaaab，则A22122abB数列2 nnab是等比数列C数列2 nnab是等差数列D1nnaa 全科免费下载公众号高中僧课堂高三数学试题第 4 页（共 6 页）三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知sinsin1 coscos2，则cos()14将8 块完全相同的巧克力分配给 A B C D，四人，每人至少分到1块且最多分到3 块，则不同的分配方案共有种（用数字作答）15已知O 为坐标原点，抛物线2:2
8、(0)C ypx p的焦点为 F，过 F 的直线交C 于 A B，两点，A B，中点 D 在 x 轴上方且其横坐标为1，|3AB，则直线 AB 的斜率为16已知球O 的半径为 2，圆锥W 的顶点和底面圆周上的点均在球O 上，记球心O 到圆锥W 底面的距离为 h，圆锥W 的底面半径为 r 则（1）h r的最大值为；（2）圆锥W体积的最大值为（本题第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）在 ABC中，sinsincosBCA2sinsincos3sinsincosACBABC，内角A B C，的对边分别记为
9、 a b c，（1）求2222abc的值；（2）求cosC 的最小值18（12分）如图1所示，在 ABC中，点E F，在线段 AB 上，点 D 在线段BC 上，1AEEFFB，21CEDF，CEAB将 ACE，BDF分别沿CE DF，折起至点 A B，重合为点G，形成如图2 所示的几何体W，在几何体W 中作答下面的问题（1）证明：平面 EFG 平面CEFD；（2）求点 D 到平面CFG 的距离B图 1ACEDFGCEDF图 2高三数学试题第 5 页（共 6 页）19.（12 分）记数列na的前 n 项和为nS，11a，给出下列两个条件：条件：数列na和数列1nSa均为等比数列；条件：11212
10、22nnnnaaana试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列na的通项公式；（2）记正项数列nb的前 n 项和为nT，122314 nnnbabaTbb，求211(1)niiiibb 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20（12 分）由 mn 个小正方形构成长方形网格有 m 行和 n 列每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮每次放白球的概率为 p，放红球的概率为 q，1pq（1）若2m，12pq，记 y 表示100 轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如下：n12345y7656423026求 y 关于 n 的
11、回归方程ln ybna，并预测10n 时，y 的值（精确到1）；（2）若2m，2n，13p，23q，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望；（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：(1)(1)1mnnmpq附：经验回归方程系数：1221iiiiikkxkxyybxkx，aybx；51ln53,ln3.8iiinyy高三数学试题第 6 页（共 6 页）21（12分）已知O 为坐标原点，动直线:(0)l ykxm km与双曲线222:1(0)yC xbb的渐近线交于 A B，两点，与椭圆22:12 xDy交于E F，两点当210k 时，
12、2()3()OAOBOEOF（1）求双曲线C 的方程；（2）若动直线l 与C 相切，证明：OAB的面积为定值22（12分）已知函数1()lnef xxx的最小值和()ln(1)g xxax的最大值相等（1）求 a；（2）证明：2lneexxx；（3）已知 m 是正整数，证明：112211e2(1)mmm m高三数学答案第 1页（共 5页）2022-2023 学年度第一学期期末学业水平检测高三数学评分标准一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1-8：B C A DA B D C二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。9ABD10ACD11BCD1
13、2BCD三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13 12；1419；152；16（1）2；（2）25681四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（10 分）解：（1）由正弦定理得：cos2cos3cosbcAacBabC 2 分由余弦定理得：222222222()2()3()222bcaacbabcbcacabbcacab4 分所以222222222()2()3()bcaacbabc化简得22223abc，所以22223abc 5 分(2)由余弦定理：22222221(2)3cos22abababcCabab 6 分2
14、221332abab1 2()6abba 7 分1226a bba23 9 分当仅当2ba（即:3:6:5a b c）时取等号所以cosC 的最小值为23 10 分18.（12 分）解：（1）由题知：因为,CEEG CEEF EGEFE，所以CE 平面 EFG 3 分又因为CE 平面CEFD，平面 EFG 平面CEFD 4 分（2）在平面 EFG 内过点 F 做 EF 的垂线 FH，因为平面 EFG 平面CEFD，所以 FH 平面CEFD 5 分如图，以 F 为坐标原点，直线 FE，FH，FD 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系6 分则13(0,0,0),(1,0,2),(,0),(0
15、,0,1)22FCGD 7 分所以0,0,1FD uuur，13(,0),(1,0,2)22FGFC 8 分yHGCEDFxz高三数学答案第 2页（共 5页）设平面CFG 的法向量为(,)na b c，因为00FCn FGn ，即302220abac，取2b，从而(2 3,2,3)n 11 分所以 D 到平面CFG 的距离为|3571919|nhnFD 12 分19.（12 分）解：（1）方案一：选条件因为数列1nSa为等比数列所以2211131()()()SaSaSa，即2121123(2)2(2)aaaaaa 2 分设等比数列na的公比为 q，因为11a 所以22(2)2(2)qqq，解得
16、2q 或0q（舍）5 分所以1112nnnaa q*(N)n 6 分方案二：（1）选条件当2n 时，因为1121222nnnnaaana*(N)n所以12121222(1)nnnnaaana所以121212222(1)nnnnaaana 3 分 得122(1)nnnanana，即+1=2nnaa(2)n 4 分当1n 时，122aa，21=2aa适合上式 5 分所以数列na是首项为1，公比为 2 的等比数列所以1112nnnaa q*(N)n 6 分（2）由题知：11124,4nnnnnnTbbTbb两式做差得：11214()nnnnnnTTbbbb所以1124()nnnnbbbb，得24nn
17、bb 8 分所以2kb*(N)k 为首项24b，公差等于4 的等差数列，所以24(1)44kbkk同理：21kb*(N)k 为首项12b，公差等于 4 的等差数列，所以212(1)442kbkk 所以2nbn所以22111(1)4(1)(1)nniiiiiibbi i所以2214(1)(1)4(26)(1220)4 88niii innn 12 分全科免费下载公众号高中僧课堂高三数学答案第 3页（共 5页）20.（12 分）解：（1）由题知：51221ln5ln53 5 3.8 340.455 45105iiiniinynybnn 1分所以3.80.4 35a，2分所以线性回归方程为：ln0.
18、45yn 3分所以，估计10n 时，3ye 4分（2）由题知：X 的取值可能为0,1,2 5分记“含红球的行数为 k”为事件(0,1,2)kA k，记“每列都有白球”为事件 B，所以4002 2()1(0)(|)=()125P A BpP XP ABP Bq6分1312214212 2()16(1)(|)=()125P A BC p qC p qP XP A BP Bq 7分122222 2()()8(2)(|)=()125P A BCpqP XP ABP Bq 8分所以 X 的分布列为：X012()P Xk1251625825所以数学期望为13832()01225252525E X 10分（
19、3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为(1)mnp记“不是每一列都至少一个红球”为事件 A，所以()1(1)mnP Ap 11分记“每一行都至少一个白球”为事件 B，所以()(1)nmP Bq显然，AB，所以()()P AP B，所以(1)(1)1mnnmpq 12分21.（12 分）解:（1）设11223344(,),(,),(,),(,)A x yB xyE xyF xy因为 2()3()OAOBOEOF，所以12343()2xxxx1 分由ykxmybx，得1 mxbk；同理可得2 mxbk3 分所以12222kmxxbk 4 分由2212ykxmxy，得222(12)4220kxkm
20、xm，所以342412 kmxxk 5 分高三数学答案第 4页（共 5页）所以2222612 kmkmbkk，即2223312 kbk，解得3b所以双曲线C 的方程为2213yx 6 分（2）由（1）得3(,)33mmAkk，3(,)33mmBkk所以2242|(3)3mmOAkk，2242|(3)3mmOBkk 8 分1|sin2OABSOAOBAOB22221433|2323mmkk9 分由2213ykxmyx，得222(3)230kxkmxm10 分因为直线l 与双曲线C 相切，所以222244(3)(3)0k mkm 即2230mk11 分所以223|33OABmSk为定值12 分22
21、.（12 分）解:（1）由题知：)(xf的定义域为),0(，()g x 的定义域为(1,)1 分因为()ln1fxx 2 分所以，当1(0,)ex 时，()0fx，)(xf在1(0,)e上单调递减；当1(,)ex 时，()0fx，)(xf在 1(,)e 上单调递增；所以1()()0ef xf 3 分又因为1()1gxax，若0a，则()0g x，()g x 在(1,+)上无最大值；4 分若0a，1()01g xax，解得11xa；所以，当1(1,1)xa 时，()0g x，()g x 在1(1,1)a上单调递增；当1(1,)xa 时，()0g x，()g x 在 1(1,)a 上单调递减；所以
22、，1()(1)ln10g xgaaa 高三数学答案第 5页（共 5页）令()ln1(0)h aaaa，则1()1h aa 所以，()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；所以()(1)0h ah综上，1a 5 分（2）要证明：2lneexxx；只需证11lneeexxxx7 分由（1）知：()0f x，当仅当1ex 时取等号；只需证：1e0exx（等号不同取）8 分设1()eexp xx，则()(1)exp xx，所以，()p x 在(0,1)上单调递增，()p x 在(1,)上单调递减；所以，()(1)0p xp，当仅当1x 时取等号综上，命题得证9 分（3）要证明：112211e2(1)mmm m；只需证11(1)ln12(1)2(1)mm mm即证211ln12(1)2(1)m mm 10 分设()ln(1)1mxxxm，11(0,)2(1)xm mm；所以111()011111mxxmxm11 分所以()x在1(0,)m上单调递增，()(0)0 x所以，2111()ln(1)02(1)2(1)2(1)m mm mm综上，112211e2(1)mmm m成立 12 分
