1、51&5.2 对数函数的概念 ylog2x 的图像和性质读教材填要点1对数函数的概念(1)对数函数的定义：一般地，函数 ylogax(a0，a1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数(2)两种特殊的对数函数：我们称以 10 为底的对数函数 ylg_x 为常用对数函数；称以无理数 e 为底的对数函数 yln_x 为自然对数函数2反函数指数函数 yax 与对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数3函数 ylog2x 的图像和性质图像性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过点(1，0)，即 x1，y0(4)当 x1 时，y0；当 0 x1 时，y0)，ylog12x(x0)，y2l
2、og2x，ylog12x2 都是对数函数吗？为什么？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合 ylogax(a0，a1，x0)形式的函数才是对数函数因此 ylog3x(x0)，ylog12x(x0)是对数函数，而 y2log2x，ylog12x2 等都不是对数函数2函数 ylogax2 与 y2logax(a0 且 a1)是同一个函数吗？为什么？提示：不是，因为定义域不同3对数函数 ylog2x 与指数函数 y2x 有何关系？提示：(1)对数函数 ylog2x 与指数函数 y2x 互为反函数，其图像关于直线 yx 对称；(2)对数函数 ylog2x 与指数函数 y2x 的定义域与值域互换，即 y
3、log2x 的定义域(0，)是 y2x 的值域，而 ylog2x 的值域 R 恰好是 y2x 的定义域(3)对数函数 ylog2x 与指数函数 y2x 的单调性一致，即都是增函数研一题例 1 求下列函数的定义域(1)y log2（1x）；(2)ylg(x1)log(x1)(164x)自主解答(1)要使函数有意义，需有1x0，log2（1x）0，即x1，log2（1x）0，解得 0 x0，164x0，x10，x11，即x1，x1，x0.1x2，故所求函数的定义域为(1，2)悟一法求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解注意保证真数有意义：如 log2x
4、1，有人常由此得到 x0.同时应保证底数大于 0 且不等于 1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式通一类1求下列函数的定义域(1)y 1log2x；(2)ylg(x1)1log2（x）1.解：(1)要使函数有意义，需有x0，1log2x0，即 0 x2，所求函数的定义域为(0，2(2)要使函数有意义，需有：x10，x0，log2（x）10.即1x0 且 x12.所求函数的定义域为(1，12)(12，0).研一题例 2 写出下列函数的反函数(1)ylog0.13x；(2)y3.05x.自主解答(1)ylog0.13x 的反函数是 y0.13x.(2)y3.
5、05x 的反函数是 ylog3.05x.悟一法函数 ylogax 的反函数是 yax(a0，a1)；函数 yax 的反函数是 ylogax(a0，a1)通一类2写出下列函数的反函数(1)ylg x；(2)yln x；(3)y(13)x.解：(1)ylg x 的反函数为 y10 x.(2)yln x 的反函数为 yex.(3)y(13)x 的反函数为 ylog13x.研一题例 3 根据函数 f(x)log2x 的图像和性质解决以下问题(1)若 f(a)f(2)，求 a 的取值范围(2)ylog2(2x1)在 x2，14上的最值自主解答 函数 ylog2x 的图像如图(1)因为 ylog2x 是增
6、函数，若 f(a)f(2)，即 log2alog22，则 a2.所以 a 的取值范围为(2，)(2)2x14，32x127，log23log2(2x1)log227.函数 ylog2(2x1)在 x2，14上的最小值为 log23，最大值为 log227.悟一法(1)研究函数 ylog2x 的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质(2)函数 ylog2x 的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用通一类3(1)比较 log245与 log234的大小；(2)若 log2(2x)0，求 x 的取值范围解：(1)函数 f(x)
7、log2x 在(0，)上为增函数，又4534，log245log234.(2)log2(2x)0 即 log2(2x)log21，函数 ylog2x 为增函数，2x1，即 x1.x 的取值范围为(，1)当 m 为何值时，关于 x 的方程|log2(x1)|m 无解？有一解？有两解？巧思 将关于 x的方程解的问题转化为函数 y|log2x1|的图像与直线 ym 的交点个数问题，利用数形结合法求解妙解 在同一坐标系，分别作出函数 y|log2(x1)|和 ym 的图像，如图所示由图像得：当 m0 时，方程有两解1下列函数是对数函数的是()Ayloga(2x)Bylg(10 x)Cyloga(x2x
8、)Dyln x解析：形如 ylogax(a0 且 a1)的函数为对数函数，所以只有 yln x 符合此形式答案：D2函数 ylog2x(1x8)的值域是()ARB0，)C(，3 D0，3解析：ylog2x 在1，8上为增函数，log21ylog28，即 y0，3答案：D3图中所示图像对应的函数可能是()Ay2xBy2x 的反函数Cy2xDy2x 的反函数解析：由 y(12)x 的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为 ylog12x 的图像答案：D4若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的反函数图像过点(2，1)，则 a 的值是_解析：依题意，f(x)的图像过点(1，2)，a1
9、2，即 a12.答案：125函数 ylog2(3x11)的定义域为_，值域为_解析：由已知得 x10，得 x1，故定义域为1，)又 x10 得 3x1301，3x112.ylog2(3x11)log221.值域为1，)答案：1，)，1，)6已知对数函数 f(x)log2(x3)1.(1)求此对数函数的定义域；(2)若 f(a)f(1)，求 a 的取值范围解：(1)由题意知 x30，即 x3，函数的定义域为(3，)(2)f(a)log2(a3)1，f(1)log2(13)11，f(x)为增函数a30log2（a3）11，即a30a34a1.即 a 的取值范围是(1，)一、选择题1下列各组函数中，
10、表示同一函数的是()Ay x2和 y(x)2B|y|x|和 y3x3Cylogax2 和 y2logaxDyx 和 ylogaax解析：对于 A，定义域不同，对于 B，对应法则不同，对于 C，定义域不同，对于 D，ylogaaxyx.答案：D2函数 ylog2|x|的图像大致是()解析：ylog2|x|log2x （x0），log2（x）（x0 时，f(x)log2x，则当 x0 时，f(x)等于()Alog2xBlog2(x)Clogx2 Dlog2(x)解析：x0，f(x)log2(x)又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)log2(x)答案：D二、填空题5集合 Ay|ylog2x
11、，x1，By|y(12)x，x1，则(RA)B_解析：x1，log2xlog210，Ay|y0而当 x1 时，0(12)x(12)1，By|0y12(RA)By|y0y|0y12.答案：6若函数 yf(x)是函数 yax(a0，且 a1)的反函数，其图像经过点(a，a)，则 f(x)_解析：yf(x)的图像过点(a，a)，其反函数 yax 的图像过点(a，a)，aa aa12，a12，f(x)log12x.答案：log12x7若 log2alog2b0，则 a，b，1 的大小关系是_解析：log2alog2b0log2alog2blog21，ylog2x 在(0，)上是增函数，ab1.答案：a
12、b18函数 f(x)log2x 在区间a，2a(a0)上的最大值与最小值之差为_解析：f(x)log2x 在区间a，2a上是增函数，f(x)maxf(x)minf(2a)f(a)log22alog2alog221.答案：1三、解答题9求下列函数的定义域(1)ylg(x1)2x2x；(2)ylog(x2)(5x)解：(1)要使函数有意义，需x10，2x0，即x1，x0，x20，x21，即x2，x3.定义域为(2，3)(3，5)10已知函数 f(x)log2(x1)，g(x)log2(1x)(1)若函数 f(x)的定义域为3，63，求函数 f(x)的最值；(2)求使 f(x)g(x)0 的 x 的
13、取值范围；(3)判断函数 F(x)f(x)g(x)的奇偶性解：(1)由题意知，3x63，4x164，函数 ylog2x 是增函数，log24log2(x1)log264，2f(x)6，f(x)的最大值为 6，最小值为 2；(2)f(x)g(x)0f(x)g(x)，即 log2(x1)log2(1x)，则x10，1x0，x11x，得：0 x1，x 的取值范围为(0，1)；(3)要使函数 F(x)f(x)g(x)有意义，需1x0，1x0，即1x1，定义域为(1，1)又 F(x)f(x)g(x)log2(1x)log2(1x)log2(1x2)f(x)g(x)F(x)F(x)为偶函数53 对数函数的
14、图像和性质读教材填要点对数函数的图像和性质底数a10a1图 像性 质定义域(0，)值域(，)过定点恒过点(1，0)，即 x1 时，y0有界性当 x1 时，y0；当 0 x1 时，y0当 x1 时，y0；当 0 x1 时，y0单调性在定义域内是增函数在定义域内是减函数小问题大思维 对数函数 ylogax(a0，a1)的底数变化对图像位置有何影响？提示：在同一坐标系中作出对数函数 ylog2x，ylog5x，ylog12x，ylog15x 的图像如图所示：观察这些图像，可得如下规律：(1)上下比较：在直线 x1 的右侧，a1 时，a 越大，图像越靠近 x 轴，0a1 时，a越小，图像越靠近 x 轴
15、(2)左右比较(比较图像与 y1 的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大研一题例 1 比较大小(1)log23.4，log28.5;(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log67，log76;(4)log3，log20.8；(5)log712，log812.自主解答(1)考察对数函数 ylog2x，21，它在(0，)上是增函数log23.4log28.5；(2)考察对数函数 ylog0.3x，00.31，它在(0，)上是减函数，log0.31.8log0.32.7；(3)log67log661，log76log771，log67log76；(4)log3log31
16、0，log20.8log210，log3log20.8；(5)法一：在同一坐标系中作出函数 ylog7x 与 ylog8x 的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log7 12log8 12.法二：log7 12log8 12lg 12lg 7lg 12lg 8lg 8lg 7log781.log8120，log712log812.悟一法比较对数值大小的类型及相应方法：注 当底数为字母时要分类讨论通一类1比较下列各组中两个值的大小(1)ln 0.3，ln 2；(2)log23，log0.32；(3)loga，loga3.141；(4)log143，log153.解：(1)(单调性法)因为 yl
17、n x 在(0，)上是增函数，所以 ln 0.3ln 2；(2)(中间量法)因为 log23log210，log0.320，所以 log23log0.32；(3)(分类讨论)当 a1 时，函数 ylogax 在定义域上是增函数，则有 logaloga3.141；当 0a1 时，函数 ylogax 在定义域上是减函数，则有 logaloga3.141.综上所得，当 a1 时，logaloga3.141；当 0a1 时，logaloga3.141；(4)(图像法)借助 ylog14x 及 ylog15x 的图像，如右图，在(1，)上，ylog14x 的图像在 ylog15x 图像的下方，log14
18、3log153.研一题例 2 画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)ylog3(x2)；(2)y|log12x|.自主解答(1)函数 ylog3(x2)的图像可看作把函数 ylog3x 的图像向右平移 2 个单位得到的，如图.其定义域为(2，)，值域为 R，在区间(2，)上是增加的；(2)y|log12x|log12x，0 x1，log2x，x1，其图像如图.其定义域为(0，)，值域为0，)，在(0，1上是减少的，在1，)上是增加的把例 2(2)变为 ylog12|x|，画出其图像，并根据图像写出定义域，判断奇偶性及单调性解：ylog12|x|log12x （
19、x0），log12（x）（x0），其图像如图所示其定义域为x|x0，为偶函数在(，0)为增加的，在(0，)上为减少的悟一法(1)与对数函数有关的一些对数型函数，如 ylogaxk，yloga|x|，y|logaxk|等，其图像可由 ylogax 的图像，通过平移，对称或翻折变换而得到(2)对能画出图像的对数型函数性质及对数型方程解的研究，常先画出图像，再利用数形结合法求解通一类2已知函数 f(x)|log2(x1)|(1)画出其图像，并写出函数的值域及单调区间；(2)若方程 f(x)k 有两解，求实数 k 的取值范围解：(1)函数 y|log2(x1)|的图像如图由图像知，其值域为0，)，单调
20、减区间是(1，0，单调增区间是0，)；(2)由(1)的图像知，k0 即可.研一题例 3 已知 f(x)loga(1x)，g(x)loga(1x)，其中 a0，a1.(1)求函数 f(x)g(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)g(x)的奇偶性，并予以证明；(3)求使 f(x)g(x)0 的 x 的取值范围自主解答(1)要使函数 f(x)g(x)有意义，需有1x01x0，解得1x1，所以 f(x)g(x)的定义域为(1，1)；(2)任取 x(1，1)，则x(1，1)f(x)g(x)loga(1x)loga(1x)f(x)g(x)所以 f(x)g(x)在(1，1)上是奇函数；(3)由 f(x)g
21、(x)0 得 loga(1x)loga(1x)当 a1 时，则可化为1x1x1x1，解得 0 x1；当 0a1 时，由1x1x1x1，解得1x0.所以当 a1 时，x 的取值范围是(0，1)，当 0a1 时，x 的取值范围是(1，0)悟一法(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称而对于类似于 f(x)logag(x)的函数，利用 f(x)f(x)0 来判断奇偶性更简捷(2)判断函数的单调性有两种思路，利用定义；利用图像通一类3已知 f(x)loga(ax1)(a0 且 a1)(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的单调性解：(1)要使函数 f(x)loga(ax1
22、)(a0，且 a1)有意义，则 ax10.当 a1 时，由 ax10 得 ax1，即 x0，故函数的定义域为(0，)；当 0a1 时，由 ax10 得 ax1，即 x0，故函数的定义域为(，0)；(2)当 a1 时，设 0 x11，解得 a0.答案：D2函数 y1log3x 的图像一定经过点()A(1，0)B(0，1)C(2，0)D(1，1)解析：ylog3x 一定过定点(1，0)y1log3x 的图像一定过点(1，1)答案：D3(2012天津高考)已知 a21.2，b(12)0.8，c2log52，则 a，b，c 的大小关系为()AcbaBcabCbacDbc2，而 b(12)0.820.8，所以 1b2，c2log52log541，所以 cb0，x30，即x1.(1)求 f(log232)的值；(2)求 f(x)的最小值解：(1)log2320，f(x)(t1)(t2)t32214.t0，当 t32时，f(x)min140，a1)，求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值解：由 f(log2a)b 可得，(log2a)2log2abb，log2a1 或 log2a0.a2 或 a1(舍去)又log2f(a)2，即 log2(2b)2，2b4，b2.f(x)x2x2.f(log2x)(log2x12)274.当 log2x12，即 x 2时，ymin74.
