1、专题十：函数的性质2023年高考第一轮复习知识分步落实 1.函数的单调性增函数减函数定义要求 x1，x2一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D I，如果对于任意 x1，x2D，且 x1x2要求 f(x1)与f(x2)都有_都有_结论函数 f(x)在区间 D 上是_函数 f(x)在区间 D 上是_f(x1)f(x2)增函数减函数【基础知识回顾】增函数与减函数形式的等价变形：x1，x2a，b且 x1x2，则(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)x1x20f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)x1x20f(x)在a，b上是减函数判
2、断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)f(3)，则函数 f(x)在 R上为增函数()(2)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数 f(x)的单调递增区间是1，)()(3)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(4)所有的单调函数都有最值()(5)闭区间上的单调 函数，其最值一定在区 间端点处取到()2.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)是偶函数关于_对称奇偶性定义图象特点奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)是奇函数关
3、于_对称3.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个_就叫做 f(x)的最小正周期判断正误(正确的打“”，错误的打“”)1.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(x)f(x)0.()2.偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()3.如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)是偶函数()4.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一
4、个必要条件()5.若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期()【典例分析 1】1下列函数中，既是偶函数又在+（0，）单调递增的函数是（）A3yxB1yxC21yx D2xy2下列函数中，定义域是R 且为增函数的是AxyeB3yxClnyxDyx3下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为Acos2,yx xRB2log|,0yx xRx且C,2xxeeyxRD3 1yx【典例分析 2】1已知函数1()3()3xxf x，则()f x（）A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减
5、函数2设函数()ln(1)ln(1)f xxx，则()f x 是（）A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数【典例分析 2】1【2022 年乙卷文科第 16 题】若1()ln|1f xabx是奇函数，则 a _，b _.2(2015 新课标)若函数2()ln()f xxxax为偶函数，则 a=3.（2019 全国理 14）已知()f x 是奇函数，且当0 x 时，()eaxf x 若(ln 2)8f，则a _【典例分析 3】1（2014 新课标 1）设函数()f x，()g x 的定义域都为 R，且
6、()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（）A()f x()g x 是偶函数B()f x|()g x|是奇函数C|()f x|()g x 是奇函数D|()f x()g x|是奇函数函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇【跟踪训练】1下列函数为奇函数的是（）AyxBsinyxCcosyxDxxyee2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A21yxB1yxxC122xxy D
7、xyxe3.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()f xx=321xx，(1)(1)fg则（）A3B1C1D3【典例分析 4】1(2021 年高考全国甲卷理科)设函数 fx 的定义域为 R，1f x 为奇函数，2fx 为偶函数，当1,2x时，2()f xaxb若 036ff，则92f ()A94B32C 74D 52函数对称性常用结论(1)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(3)若函数 yf(
8、xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称【跟踪训练】1(2021 年高考全国乙卷理科)设函数1()1xf xx，则下列函数中为奇函数的是()A11f x B11f x C11f x D11f x 2已知函数2()ln(193)1f xxx，则1(lg 2)(lg)2ffA 1B0C1D23已知 fx 是奇函数，g x 是偶函数，且 112fg，114fg，则 1g等于_【典例分析 5】1设 fx 是定义域为R 的偶函数，且在0,单调递减，则()A233231log224fff B233231log224fff C23332122log 4fffD32323122log
9、4fff【典例分析 5】2.设函数21()ln(1|)1f xxx，则使 得()(21)f xfx成立的 x 的取值范围是（）A 1,13B1,1,3C.1 1,3 3D.11,33 3 已 知 偶 函 数 fx在 0,单 调 递 减，20f 若10f x，则 x 的取值范围是_【典例分析 6】1.已知()f x 是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx 若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff()A.-50B0C2D502设函数()f x 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当0,1x时，()1f xx，则3()2f=_【典例分析 6】8（2022 新高考 2 卷第
10、8 题）若函数 f(x)的定义域为 R，且 f(xy)f(xy)f(x)f(y)，f(1)1，则 221kfkA3B 2C0D1函数的对称性与周期性的关系：若函数 f(x)关于直线 xa 与直线 xb 对称，那么函数的周期是 2|ba|.若函数 f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，那么函数的周期是 2|ba|.若函数 f(x)关于直线 xa 对称，又关于点(b，0)对称，那么函数的周期是 4|ba|.【典例分析 6】3函数()f x 满足(4)()()f xf x xR，且在区间(2,2上，cos,02,2()1|,20,2xxf xxx-则(15)f f的值 为4设()f x 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 1,1)x 时，242,10,(),01,xxf xxx ，则3()2f谢谢大家！THANK YOU FOR WATCHING
