1、第 2 课时 导数的运算法则学习目标 1.了解求导法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数知识点一 函数和、差的导数已知 f(x)x，g(x)1x.思考 1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案 f(x)1，g(x)1x2.思考 2 若 h(x)f(x)g(x)，I(x)f(x)g(x)，那么 h(x)，I(x)分别与 f(x)，g(x)有什么关系？答案 y(xx)1xxx1xx xxxx，yx11xxx.h(x)limx0yxlimx0 11xxx 11x2.同理，I(x)11x2.梳理 和、差的导数f(x)g(x)f(x)g
2、(x)特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算(2)c(x)cf(x)(3)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程知识点二 函数积、商的导数1函数积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)2函数商的导数fxgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)1f(x)2x，则 f(x)x2.()2f(x)1ex1，则 f(x)exex1.()3函数 f(x)sin(x)的导数为 f(x)cos x()类型一 利用导数四则运算法则求导例 1 求下列函数的导数(1)y2x33x x1x x；(2)yx21x23；(3
3、)y(x1)(x3)(x5)；(4)yxsin x 2cos x.考点 导数的运算法则题点 导数乘除法则的混合运用解(1)y322x 123xx132x，y123x 3232 xx25232 x.(2)方法一 yx21x23x21x23x2322xx232xx21x2324xx232.方法二 yx21x23x232x23 12x23，y12x23 2x23 2x232x23x2324xx232.(3)方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二 y(x1)(x3)(x
4、5)(x24x3)(x5)x39x223x15，y(x39x223x15)3x218x23.(4)y(xsin x)2cos x xsin xx(sin x)2cos x2cos xcos x2sin xxcos x2sin xcos2x.反思与感悟(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导跟踪训练 1 求下列函数的
5、导数(1)yx2log3x；(2)ycos xln x；(3)y exsin x.考点 导数的运算法则题点 导数乘除法则的混合运用解(1)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x 1xln 3.(2)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln xcos xx.(3)yexsin xexsin xexsin xsin2xexsin xexcos xsin2xexsin xcos xsin2x.类型二 导数运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式例 2(1)已知函数 f(x)ln xx 2xf(1)，试比较 f(e)与 f(1)的大小关系；(
6、2)设 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数 a，b，c，d，使得 f(x)xcos x.考点 导数的应用题点 导数的应用解(1)由题意得 f(x)1ln xx22f(1)，令 x1，得 f(1)1ln 112f(1)，即 f(1)1.所以 f(x)ln xx 2x，得 f(e)ln ee 2e1e2e，f(1)2，由 f(e)f(1)1e2e20，得 f(e)0)在 xx0 处的导数为 0，那么 x0 等于()AaBaCaDa2考点 导数的运算法则题点 导数除法法则及运算答案 B解析 y1a2x2，0|x xy1a2x200，x0a.3已知物体的运动方程为 st23t
7、(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻 t2 时的速度为()A.194B.174C.154D.134考点 导数的应用题点 导数的应用答案 D解析 s2t3t2，s|t2434134.4若曲线 f(x)xsin x1 在 x2处的切线与直线 ax2y10 互相垂直，则实数 a 等于()A2B1C1D2考点 导数的应用题点 导数的应用答案 D解析 f(x)sin xxcos x，由题意知 f 2 a2 1，a2.5若函数 f(x)exx在 xx0 处的导数值与函数值互为相反数，则 x0 的值等于()A0B1C.12D不存在考点 导数的应用题点 导数的应用答案 C解析 f(x)xexexx2，由题
8、意知 f(x0)f(x0)0，即x0ex0ex0 x20ex0 x0 0，解得 x012.6若函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)x22f(2)xm，则()Af(0)f(5)Df(0)f(5)考点 导数的应用题点 导数的应用答案 C解析 f(x)x22f(2)xm，f(x)2x2f(2)，f(2)222f(2)，f(2)4.f(x)x28xm，f(0)m，f(5)2540m15m.f(0)f(5)7在下面的四个图象中，其中一个图象是函数 f(x)13x3ax2(a21)x1(a0)的导函数 yf(x)的图象，则 f(1)等于()A.13B13C.73D13或53考点 导数的应用题点 导数
9、的应用答案 B解析 f(x)x22ax(a21)，导函数 f(x)的图象开口向上又a0，f(x)不是偶函数，其图象不关于 y 轴对称，故其图象必为.由图象特征知 f(0)0，且对称轴a0，a1，则 f(1)131113，故选 B.二、填空题8设 f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，若 h(x)fx2gx，则 h(5)_.考点 导数的运算法则题点 导数除法法则及运算答案 516解析 f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，又 h(x)fxgxfx2gxgx2，h(5)f5g5f52g5g523452142 516.9已知函数 f(x)f 4 cos xsin x，则 f 4
10、的值为_考点 导数的应用题点 导数的应用答案 1解析 f(x)f 4 sin xcos x，f 4 f 4 22 22，得 f 4 21.f(x)(21)cos xsin x，f 4 1.10曲线 yxex2x1 在点(0,1)处的切线方程为_考点 导数的应用题点 导数的应用答案 3xy10解析 yexxex2，ky|x0e0023，所以切线方程为 y13(x0)，即 3xy10.11已知 f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)6，则 f(0)_.考点 导数的运算法则题点 导数乘法法则及运算答案 120解析 因为 f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)6，所以 f(x)
11、(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，所以 f(0)12345120.三、解答题12若曲线 yx2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，求实数 a 的取值范围考点 导数的应用题点 导数的应用解 yx2axln x，y2xa1x，由题意可知存在实数 x0 使得 2xa1x0，即 a2x1x成立，a2x1x2 2(当且仅当 2x1x，即 x 22 时等号成立)a 的取值范围是2 2，)13已知函数 f(x)ax2bx3(a0)，其导函数 f(x)2x8.(1)求 a，b 的值；(2)设函数 g(x)exsin xf(x)，求曲线 g(x)在 x0 处
12、的切线方程考点 导数的应用题点 导数的应用解(1)因为 f(x)ax2bx3(a0)，所以 f(x)2axb，又 f(x)2x8，所以 a1，b8.(2)由(1)可知 g(x)exsin xx28x3，所以 g(x)exsin xexcos x2x8，所以 g(0)e0sin 0e0cos 02087，又 g(0)3，所以曲线 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37(x0)，即 7xy30.四、探究与拓展14已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是_考点 导数的应用题点 导数的应用答案 34，解析 y4exex124exe2x2ex1，设 tex(
13、0，)，则 y4tt22t14t1t2，t1t2(当且仅当 t1 时，等号成立)，y1,0)，34，.15设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值考点 导数的应用题点 导数的应用解(1)由 7x4y120，得 y74x3.当 x2 时，y12，f(2)12，又 f(x)abx2，f(2)74，由得2ab212，ab474，解得a1，b3，故 f(x)x3x.(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2知，曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为yy013x20(xx0)，即 yx03x0 13x20(xx0)令 x0，得 y6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为126x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
