1、2.1.2两条直线平行和垂直的判定 知识要点要点一两直线平行的判定1对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有_l1l2.2若直线 l1 和 l2 可能重合时，我们得到 k1k2_或l1 与 l2 重合3若直线 l1 和 l2 的斜率都不存在，且不重合时，得到_方法技巧l1l2k1k2 成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1 与 l2 不重合k1k2l1l2l1l2要点二两直线垂直的判定1如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于_；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们_，即_2若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为_时，它们互相垂直
2、方法技巧l1l2k1k21 成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k10 且 k20.1垂直l1l2k1k210基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若直线 l1 与 l2 倾斜角相等，则 l1l2.()(2)若直线 l1l2，则 k1k21.()(3)若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于 y 轴()(4)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行()2已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率k等于()A3 B3C13 D.13解析：kAB30323，lAB，kl3.故选B.答案：B3已知直线l1的斜率k12，直线l2的斜率k212，则l1与l2()A平行
3、B垂直C重合 D非以上情况解析：k1k22(12)1，l1l2.故选B.答案：B4l1过点A(m,1)，B(3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1l2，则m_.解析：kl221011，l1l2，kl1 413m1，m0.答案：0题型一两条直线平行的判定及应用1(多选)下列直线 l1 与直线 l2 平行的有()Al1 经过点 A(2,1)，B(3,5)，l2 经过点 C(3，3)，D(8，7)Bl1 的斜率为 2，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)Cl1 的倾斜角为 30，l2 经过点 M(1，3)，N(2，2 3)Dl1 经过点 E(3,2)，F(3,10)，l2 经过点
4、P(5，2)，Q(5,5)解析：A中，kAB 513245，kCD7383 45kABkCD，l1l2.B中，k221211k12l1不平行l2.C中，k1tan 30 33，k2 32 312 3.k1k2，l1不平行l2.D中，l1的斜率不存在，l2的斜率也不存在，l1l2.故选AD.答案：AD2使过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行，则m_.解析：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在kABm05m1m6m，kCD530412，由于ABCD，所以kABkCD，即m6m12，得m2.经验证m2时直线AB的斜率存在，所以m2.答
5、案：2方法技巧判断两直线是否平行的方法题型二两条直线垂直的判定及应用例 1(1)判断下列各题中 l1 与 l2 是否垂直l1 经过点 A(1，2)，B(1,2)；l2 经过点 M(2，1)，N(2,1)；l1 的斜率为10；l2 经过点 A(10,2)，B(20,3)；l1 经过点 A(3,4)，B(3,10)；l2 经过点 M(10,40)，N(10,40)(2)已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a2，3)，直线 l2 经过点C(2,3)，D(1，a2)，如果 l1l2，求 a 的值解析：(1)k122112，k2112212，k1k21，l1与l2不垂直k110，k2 322010
6、 110，k1k21，l1l2.由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90，则l1x轴k2404010100，则l2x轴，l1l2.(2)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，且21，l2的斜率存在当k20时，a23，则a5，此时k1不存在，符合题意当k20时，即a5，此时k10，由k1k21，得 3aa23a2312 1，解得a6.综上可知，a的值为5或6.方法技巧利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步2二代
7、：就是将点的坐标代入斜率公式3三求：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论变式训练 1直线 l1 的斜率为 k1a2a1，直线 l2 的斜率为 k21a2a23，若 l1 与 l2 互相垂直，则实数 a 的值为()A1B1 或12C1D12解析：由题意，得k1k2a2a1 1a2a231，解得a12或a1(舍去)答案：D题型三两条直线平行与垂直的综合应用例 2已知 A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接 A，B，C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状分析：画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形
8、形状.解析：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如题图所示，由斜率公式可得kAB532413，kCD 033613，kAD03343，kBC356212.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD.由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD13(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形方法技巧利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤变式训练 2已知 A(0,3)，B(1,0)，C(3,0)，求 D 点的坐标，使四边形 ABCD 为直角梯形(A，B，C，D 按逆时针方向排列)解析：设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于kAB3，kBC0，kABkBC
9、01，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰若AD是直角梯形的直角腰，则ADAB，ADCD.kADy3x，kCD yx3，由于ADAB，y3x 31.又ABCD，yx33.解两式可得x185，y95.此时AD与BC不平行若DC为直角梯形的直角腰，则DCBC，且ADBC.kBC0，DC的斜率不存在故x3，又ADBC，则y3.故D点坐标为(3,3)综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或(185，95).易错辨析忽视直线斜率不存在的情况致错例 3已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a2,3)，直线 l2 经过点C(2,3)，P(1，a2)，若 l1l2，则 a 的值为_解析：当直线 l1 的斜率存在时，则由 l1l2 知 k1k21即3aa5a53 1，解得 a0当直线 l1 的斜率不存在时，则 a23，得 a5，此时 k20，故 l1l2.综上 a 的值为 0 或 5.答案：0 或 5【易错警示】易错原因纠错心得本题容易由 k1k21 得 a0 而出错，误认为直线 l1 的斜率存在.已知点的坐标中有参数的，首先判断直线的斜率是否存在，本题中直线 l1 的斜率就要分存在与不存在两种情况解答.谢谢 观 看
