1、2.1 直线的倾斜角与斜率 选择性必修一第二章 2.1.1 倾斜角与斜率 知识梳理 知识要点要点一直线的倾斜角1倾斜角的定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x轴_与直线 l_方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角如图所示，直线 l 的倾斜角是APx，直线 l的倾斜角是BPx.2倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是_，并规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为_正方向向上0，180)0知识梳理 知识梳理 要点二直线的斜率1斜率的定义：一条直线的倾斜角(90)的_值叫做这条直线的斜率常用小写字母 k 表示，即 k_.2斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
2、(x1x2)的直线的斜率公式为 k_，当 x1x2 时，直线 P1P2 没有斜率3斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的_正切tan y2y1x2x1倾斜程度知识梳理 3.532.521.510.50.511.522.5432333234353273832除了90之外，直线的倾斜角与它的斜率是一一对应的关系，倾斜角为90的直线斜率不存在知识梳理 方法技巧斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)0 0 90 90 90 180 斜率(范围)0(0，)不存在(，0)例题解析 例 1下列关于倾斜角的说法中，正确的是（）A任意一条直线都有唯一的倾斜角B一条直线的倾斜角可以为 30C倾斜角为0
3、的直线只有一条，即 x 轴D若直线的倾斜角为，则sin(0,1)A例题解析【答案】A【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，故 A 正确；若直线的倾斜角 的取值范围是0,180，不可能是 30，故 B 错误，若直线的倾斜角 的取值范围是0,180，所以sin0,1，故 D 错误；倾斜角为0 的直线不唯一，所有与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角都是0，故 C 错误故选:A例题解析 例 2已知一条直线过点(3，2)与点(1，2)，则这条直线的倾斜角是()A0 B45C60 D90解析：k040，0.答案：AA例题解析 例 3 设直线 l 过原点，其倾斜角为，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 4
4、0，得直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为()A40B140C140D当 0140时为 40，当 140180时为 140D例题解析 解析：根据题意，画出图形，如图所示：因为 0180，显然 A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当 0a140时，l1 的倾斜角为 40；当 140180时，l1 的倾斜角为 40180140.故选 D.答案：D例题解析 例 4.(1)已知过两点 A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为 135，则 y_；(2)过点 P(2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为_解析：(1)直线 AB 的斜率 ktan 1351，
5、又 k3y24，由3y24 1，得 y5.(2)由斜率公式 k4mm21，得 m1.答案：(1)5(2)1例题解析 例 5 已知两点 A(3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(2)求直线 l 的倾斜角 的取值范围分析：结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线 PB 与直线 PA 的倾斜角之间，要特别注意，当 l 的倾斜角小于 90 时，有 kkPB；当 l 的倾斜角大于 90 时，则有 kkPA.例题解析 解析：如图，由题意可知 kPA40311，kPB20311，(1)要使 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l
6、的斜率 k 的取值范围是(，11，)(2)由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间，又 PB 的倾斜角是 45，PA 的倾斜角是 135，的取值范围是 45135.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 知识梳理 知识要点要点一两直线平行的判定1对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有_l1l2.2若直线 l1 和 l2 可能重合时，我们得到 k1k2_或l1 与 l2 重合3若直线 l1 和 l2 的斜率都不存在，且不重合时，得到_方法技巧l1l2k1k2 成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1 与 l2 不重合k1k2l1l2l1l2知识
7、梳理 要点二两直线垂直的判定1如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于_；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们_，即_2若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为_时，它们互相垂直方法技巧l1l2k1k21 成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k10 且 k20.1垂直l1l2k1k210例题解析 例 1.两条直线平行的判定及应用1(多选)下列直线 l1 与直线 l2 平行的有()Al1 经过点 A(2,1)，B(3,5)，l2 经过点 C(3，3)，D(8，7)Bl1 的斜率为 2，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)Cl1 的倾斜角为 30，l2 经
8、过点 M(1，3)，N(2，2 3)Dl1 经过点 E(3,2)，F(3,10)，l2 经过点 P(5，2)，Q(5,5)AD例题解析 解析：A 中，kAB513245，kCD7383 45kABkCD，l1l2.B 中，k221211k12l1 不平行 l2.C 中，k1tan 30 33，k232 312 3.k1k2，l1 不平行 l2.D 中，l1 的斜率不存在，l2 的斜率也不存在，l1l2.例题解析 例 2(1)判断下列各题中 l1 与 l2 是否垂直l1 经过点 A(1，2)，B(1,2)；l2 经过点 M(2，1)，N(2,1)；l1 的斜率为10；l2 经过点 A(10,2)
9、，B(20,3)；l1 经过点 A(3,4)，B(3,10)；l2 经过点 M(10,40)，N(10,40)(2)已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a2，3)，直线 l2 经过点 C(2,3)，D(1，a2)，如果 l1l2，求 a 的值例题解析 解析：(1)k122112，k2112212，k1k21，l1 与 l2 不垂直k110，k2322010 110，k1k21，l1l2.由 A，B 的横坐标相等得l1 的倾斜角为 90，则 l1x 轴k2404010100，则 l2x 轴，l1l2.例题解析(2)设直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，直线 l2 经过点 C(2,3
10、)，D(1，a2)，且 21，l2 的斜率存在当 k20 时，a23，则 a5，此时 k1 不存在，符合题意当 k20 时，即 a5，此时 k10，由 k1k21，得3aa23a2312 1，解得 a6.综上可知，a 的值为 5 或6.例题解析 例 3直线 1l：6 0 x ay 与2l：2320axya 平行，则 a 的值等于（）A 1 或 3B1 或 3C3D 1D例题解析【答案】D【解析】由题意，直线 1l：60 xay 与 2l：2320axya 平行，可得1 3(2)0a a ，即2230aa ，解得1a 或3a ，当1a 时，直线 1l：60 xy 与 2l：3320 xy，此时
11、12l l/；当3a 时，直线 1l：360 xy 与 2l：360 xy，此时 1l 与 2l 重合.故选：D.例题解析 例 4.若点 A(0，8)，B(4，0)，C(m，4)共线，则实数 m 的值为_ 若点 A(0，8)，B(4，0)，C(m，4)共线，则 kABkBC，所以084040m（4），解得 m6.经过验证可知满足题意 所以实数 m 的值为6.例题解析 例 5已知直线 1:10 l mxy，直线2:2120 lxmy，若直线 1l 与直线 2l 互相垂直，则实数m 的值为（）A2 或1B1C2D 13D例题解析【答案】D【解析】因为直线 1l 与直线 2l 互相垂直，所以 210
12、mm ，13m.故选：D例题解析 例 6.已知 A(0,3)，B(1,0)，C(3,0)，求 D 点的坐标，使四边形 ABCD 为直角梯形(A，B，C，D 按逆时针方向排列)例题解析 解析：设所求点 D 的坐标为(x，y)，如图，由于 kAB3，kBC0，kABkBC01，即 AB 与 BC 不垂直，故 AB，BC 都不可作为直角梯形的直角腰例题解析 若 AD 是直角梯形的直角腰，则 ADAB，ADCD.kADy3x，kCD yx3，由于 ADAB，y3x 31.又 ABCD，yx33.解两式可得x185，y95.此时 AD 与 BC 不平行例题解析 若 DC 为直角梯形的直角腰，则 DCBC，且 ADBC.kBC0，DC 的斜率不存在故 x3，又 ADBC，则 y3.故 D 点坐标为(3,3)综上可知，使四边形 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为(3,3)或(185，95).课堂小结 1直线的倾斜角;2直线的斜率；3两直线平行与垂直。感谢您的观看
