1、课后素养落实(二十四)椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1椭圆3x24y212的长轴长、短轴长分别为()A2，B，2C4,2D2，4C把3x24y212化成标准形式为1，得a24，b23，则长轴长为4，短轴长为2.2已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()AB CDCa24228，a2，e.3与椭圆9x24y236有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是()A1B1C1D1D由1可知，所求椭圆的焦点在y轴上，且c25，故A，C不正确；再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意4焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为()A
2、1B1C1D1A依题意得c2，ab10，又a2b2c2，所以解得a6，b4.5已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()AB CDA以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以C的离心率e.二、填空题6若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为_依题意，得b3，ac1.又a2b2c2，解得a5，c4，椭圆的离心率为e.7已知椭圆x2my21的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m_.4将椭圆方程化为标准形式为x21，所
3、以长轴长为2，短轴长为2，由题意得222，解得m4.8在平面直角坐标系Oxy中，若椭圆E：1(ab0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E的离心率是_由题意知2b2c，即bc，a2b2c22c2，e.三、解答题9.如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，ADAB，ADBC，|AB|8，|BC|6，以A，B为焦点的椭圆经过点C求椭圆的标准方程解根据题意，设椭圆的标准方程为1(ab0)，|AB|8且AB的中点为O，则A的坐标为(4,0)，B的坐标为(4,0)，即椭圆中c4，则a2b216；又由|BC|6，故C的坐标为(4,6)，椭圆经过点C，则有1；解得：
4、a264，b248，故椭圆的标准方程为1.10(1)求与椭圆1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程解(1)c，所求椭圆的焦点为(，0)，(，0)设所求椭圆的方程为1(ab0)e，c ，a5，b2a2c220，所求椭圆的方程为1.(2)椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)，2c8，c4，又a6，b2a2c220.椭圆的方程为1.1(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为
5、R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有()A长轴长为mn2RB焦距为nmC短轴长为D离心率eABD由题意，得nRac，mRac，可解得2cnm，a，2amn2R.2b22，e，故ABD正确，C不正确2已知椭圆1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为()AB CDD在RtABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac，由|AB|2|BF|2|AF|2，得a2b2a2(ac)2.将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10, 解得e，因为0eb0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为_由椭圆1
6、(ab0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积Sbc，周长为2a2c.由题意可得Sbc(2a2c)，得ac5c，所以e，因此该椭圆的离心率为.4已知椭圆1(ab0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e，则椭圆的标准方程是_若点P为椭圆上任意一点，则的取值范围是_10,12因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a2.因为离心率e，所以c1，b，则椭圆的方程为1，所以点A的坐标为(2,0)，点F的坐标为(1,0)设P(x，y)，则(x2，y)(x1，y)x23x2y2.由椭圆的方程，得y23x2，所以x23xx25(x6)24.因为x2,2，所以0,12设F1
7、，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.
