1、2.2.3直线的一般式方程 知识要点要点直线的一般式方程1定义：关于 x，y 的二元一次方程_(其中A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式2适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示3系数的几何意义：当 B0 时，则ABk(斜率)，CBb(y 轴上的截距)；当 B0，A0 时，则CAa(x 轴上的截距)，此时不存在斜率AxByC0方法技巧解读直线方程的一般式：方程是关于 x，y 的二元一次方程方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排列x 的系数一般不为分数和负数虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程答疑解惑在方程 A
2、xByC0 中，当 A0、BC0 时，方程为 yCB，表示的直线平行于 x轴当 B0、AC0 时，方程为 xCA，表示的直线平行于 y轴当 AC0，B0 时，方程为 y0，表示 x 轴当 BC0，A0 时，方程为 x0，表示 y 轴基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示()(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线()(3)直线l：AxByC0的斜率为AB.()(4)当C0时，方程AxByC0表示过原点的直线()2在直角坐标系中，直线x 3y30的倾斜角是()A30 B60C150 D120解析：
3、直线斜率k 33，所以倾斜角为150，故选C.答案：C3已知过点A(5，m2)和B(2m,3)的直线与直线x3y10平行，则m的值为()A4 B4C10 D10解析：kABm2352m，直线x3y10的斜率为k13，由题意得 m552m13，解得m4.故选A.答案：A4斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为_解析：由直线点斜式方程可得y32(x1)，化为一般式为：2xy10.答案：2xy10题型一求直线的一般式方程根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是12，经过点 A(8，2)；(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴；(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3
4、2、3；(4)经过两点 P1(3，2)，P2(5，4)解析：选择合适的直线方程形式(1)由点斜式得y(2)12(x8)，即x2y40.(2)由斜截式得y2，即y20.(3)由截距式得x32 y31，即2xy30.(4)由两点式得 y242x353，即xy10.方法技巧求直线一般式方程的策略1当 A0 时，方程可化为 xBAyCA0，只需求BA，CA的值；若 B0，则方程化为 ABxyCB0，只需确定AB，CB的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程2在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式题型二直线一般式下的平行与垂
5、直问题例 1(1)已知直线 l1：2x(m1)y40 与直线 l2：mx3y20 平行，求 m 的值；(2)当 a 为何值时，直线 l1：(a2)x(1a)y10 与直线 l2：(a1)x(2a3)y20 互相垂直？分析：注意考虑斜率不存在情况解析：(1)方法一 若m10，即m1时，直线l1：x20与直线l2：x3y20显然不平行若m10，即m1时，直线l1，l2的斜率分别为k12m1，k2m3，若l1l2时，k1k2，即2m1m3，解得m2或m3，经验证，m2或3符合条件，所以m的值为2或3.方法二 令23m(m1)，解得m3或m2.当m3，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2
6、不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，l1与l2不重合，l1l2，m的值为2或3.(2)方法一由题意，直线 l1l2，若 1a0，即 a1 时，直线 l1：3x10 与直线 l2：5y20，显然垂直若 2a30，即 a32时，直线 l1：x5y20 与直线 l2：5x40 不垂直若 1a0，且 2a30，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，k1a21a，k2 a12a3，当 l1l2 时，k1k21，即(a21a)(a12a3)1，所以 a1.综上可知，当 a1 或 a1 时，直线 l1l2.方法二由直线 l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2
7、a3)0，解得 a1.将 a1 代入方程，均满足题意故当 a1 或 a1 时，直线 l1l2.方法技巧1利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线 l1：A1xB1yC10，直线 l2：A2xB2yC20，(1)若 l1l2 A1B2 A2B1 0 且 B1C2 B2C10(或 A1C2 A2C10)(2)若 l1l2A1A2B1B20.2与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线 AxByC0 平行的直线方程可设为 AxBym0，(mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线方程可设为 BxAym0.变式训练 1已知直线 l 的方程为 3x4y120，求直线 l的一般式方程，l满足：
8、(1)过点(1,3)，且与 l 平行；(2)过点(1,3)，且与 l 垂直解析：方法一由题设 l 的方程可化为 y34x3，l 的斜率为34.(1)由 l与 l 平行，l的斜率为34.又l过(1,3)，由点斜式知方程为 y334(x1)，即 3x4y90.(2)由l与l垂直，l的斜率为43，又过(1,3)，由点斜式可得方程为y343(x1)，即4x3y130.方法二(1)由 l与 l 平行，可设 l方程为 3x4ym0.将点(1,3)代入上式得 m9.所求直线方程为 3x4y90.(2)由 l与 l 垂直，可设其方程为 4x3yn0.将(1,3)代入上式得 n13.所求直线方程为 4x3y13
9、0.题型三由含参一般式求参数的值或取值范围例 2已知直线 l：5ax5ya30.(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围分析：1当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；2直线不过第二象限，即斜率大于 0 且与 y 轴的截距不大于 0.解析：(1)方法一将直线 l 的方程整理为 y35a(x15)，直线 l 的斜率为 a，且过定点 A(15，35)，而点 A(15，35)在第一象限内，故不论 a 为何值，l 恒过第一象限方法二直线 l 的方程可化为(5x1)a(5y3)0.上式对任意的 a 总成立，必有5x10
10、，5y30，即x15，y35.即 l 过定点 A(15，35).以下同方法一(2)直线OA的斜率为k3501503.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率akOA3，a的取值范围为3，)变式探究 1本例中若直线不经过第四象限，则 a 的取值范围是什么？解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a3.变式探究2 本例中将方程改为“x(a1)ya20”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？解析：当a10，即a1时，直线为x3，该直线不经过第二象限，满足要求当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为y1a1 xa2a1，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于
11、等于零，且在y轴的截距小于等于零，即 1a10，a2a10，解得a1a2或a1，所以a1.综上可知a1.方法技巧求直线过定点的策略1将方程化为点斜式，求得定点的坐标；2将方程变形，把 x，y 看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得 x，y 的值，即为直线过的定点变式训练 2已知(k1)x(k1)y2k0 为直线 l 的方程，求证：不论 k 取何实数，直线 l 必过定点，并求出这个定点的坐标证明：整理直线 l 的方程得(xy)k(xy2)0.无论 k 取何值，该式恒成立，所以xy0，xy20，解得x1，y1.所以直线 l 经过定点 M(1，1)易错辨析忽视斜率不存在的情况引发错误例 3已知直线 l1：mx8ym100 和直线 l2：x2my40 垂直，则 m_.解析：若 m0 时，kl1m8，kl2 12mkl1kl2(m8)(12m)1161，显然不成立，因此两条直线不能垂直；若 m0 时，直线 l1 的方程为 y54和 x4，这两条直线垂直综上 m0.答案：0【易错提醒】易错原因纠错心得忽视斜率不存在，把直线的一般式化为斜截式得，kl1m8，kl2 12m导致出错.含参数的直线方程中，一定注意垂直于 x 轴的情况，此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解.谢谢 观 看
