1、第5讲指数与指数函数1根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*，且n1)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；ars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yax(a0且a1)a10a0时，y1；
2、当x0时，0y0时，0y1；当x1在R上是增函数在R上是减函数常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象(2)函数yax与y(a0，且a1)的图象关于y轴对称(3)指数函数yax与ybx的图象特征，在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函数yax是R上的增函数()(4)函数ya(a1)的值域是(0，)()(5)函数y2x1是指数函数()(6)若am0，且a1)，则mn.()答案：(1)(2)(3)(
3、4)(5)(6)诊断自测1化简(x0，y0)得()A2x2yB2xyC4x2y D2x2y解析：选D因为x0，y0时，函数f(x)(3a2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A B(，1)C(1，) D解析：选C根据指数函数性质知3a21，解得a1.故选C3若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_解析：由题意知a2，所以a，所以f(x)，所以f(1).答案：4已知函数f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值比最小值大，则实数a的值为_解析：当0a1时，a2a，所以a或a0(舍去)综上所述，a或.答案：或指数幂的化简与求值(自主练透)1若实数a0，则下列等式成立的
4、是()A(2)24B2a3C(2)01 D(a)4解析：选D对于A，(2)2，故A错误；对于B，2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，(a)4.2计算：(0.002)_解析：原式1010.答案：103已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)_解析：由f(a)3得2a2a3，所以(2a2a)29，即22a22a29.所以22a22a7，故f(2a)22a22a7.答案：74化简：_(a0)解析：原式a(a2b)a2.答案：a2提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一 指数函数的图象及应用(典例迁移) (1)已知y1，y23x，y
5、310x，y410x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()(2)若函数y|3x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_【解析】(1)y23x与y410x在R上单调递增；y1与y310x在R上单调递减，在第一象限内作直线x1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A(2)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以k的取值范围为(，0【答案】(1)A(2)(，0【迁移探究】1(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)|3x1|k有一个零点，则k的取值范围为_解析：
6、函数f(x)有一个零点，即y|3x1|与yk有一个交点由本例(2)得y|3x1|的图象如图所示，故当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点答案：01，)2(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_解析：作出函数y|3x1|m的图象如图所示由图象知m1，即m(，1答案：(，1指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，
7、往往利用相应指数型函数图象数形结合求解1函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b0解析：选D由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以bbc BacbCbca Dcba【解析】方法一：由指数函数y0.3x在定义域内单调递减，得ab，故选D方法二：因为0.31，且ba，故选D【答案】D比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底二是取中
8、间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小 角度二解指数方程或不等式 若2x21，则函数y2x的值域是()A BC D2，)【解析】因为2x21242x，则x2142x，即x22x30，所以3x1，所以y2.【答案】B解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论 角度三研究指数型函数的性质 (1)函数f(x)的单调递减区间为_(2)已知函数f(x)2|2xm|(m为
9、常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_【解析】(1)设ux22x1，因为y在R上为减函数，所以函数f(x)的减区间即为函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，所以函数f(x)的减区间为(，1(2)令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4【答案】(1)(，1(2)(，4求指数型复合函数的单调区间和值域的方法(1)形如yaf(x)(a0，且a1)的函数求值域时，要借助换元法：令uf(x)，先求出uf(x)的值域，再利用ya
10、u的单调性求出yaf(x)的值域(2)形如yaf(x)(a0，且a1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)D)具有单调性，则函数yaf(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；当0a0且a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的关系是()Af(4)f(1) Bf(4)f(1)Cf(4)1，所以f(4)a3，f(1)a2，由指数函数的单调性知a3a2，所以f(4)f(1)2若函数f(x)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2解析：选B将原函数看成复合函数f(x)，u|x2|，f(x)是关于u的减函数，u在2，)为增函数，在(，2为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是2，)3定义：区间x1，x2(x1x2)的长度为x2x1.已知函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1，2，则区间a，b的长度的最大值与最小值的差为()A B1C D2解析：选B如图是函数y2|x|值域为1，2上的图象，使函数y2|x|的值域为1，2的区间长度最小的区间为1，0，0，1，区间长度最大的区间为1，1，从而由定义可知区间a，b的长度的最大值与最小值的差为211.
