1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年宁夏银川一中高三高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1设集合Mx|x2x0，Nx|1，则（）AMNBNMCMNDMNR2复数z满足zi|+i|，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A（1，0）B（0，1）C（1，0）D（0，1）3在下列向量中，可以把向量表示出来的是（）A，B，C，D，4已知函数f（x）4cos2x，则下列说法中正确的是（）Af（x）为奇函数Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图象关于直线对称Df（x）的值域为0，45已知a，b，cln3，则（）AacbBabcCbcaDbac6如图，共顶点的椭圆、与双曲线、的离心率分别
2、为e1、e2、e3、e4，其大小关系为（）Ae1e2e4e3Be1e2e3e4Ce2e1e3e4De2e1e4e37古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足0.618后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为（）AB2CD8函数在1，1的图象大致为（）ABCD9已知倾斜角为的直线l与直线x+2y30垂直，则sin2的值为（）ABCD10地铁某换乘站设有编
3、号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）AABBCDDE11已知椭圆（ab0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（）A1，2BCD1，412已知aR设函数f（x）若关于x的不等式f（x）0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A0，1B0，2C0，eD1，e二、填空题（每小题5分）.13已知x与y之间的一组数据：
4、x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程2.1x+0.85，则m的值为 14已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 15若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则x2dx 16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分）17已知等比数列an的前n项和为Sn，且an+12+Sn对一切正整数n恒成立（1）求a1和数列an的通项公式；（2）求数列Sn的前n项和Tn18如图，ABC为正三角形，半圆O以线段BC为直径，D是圆弧上的动点（不包括B，C点）平面ABC平面BCD（1）是否存在点D，使得BDAC？若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由；（2）CBD30，求直线AC与平面ABD所成角的正弦值19水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其
6、污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0p1）经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验化验次数的
7、期望值越小，则方案越“优“（1）若，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；（2）若，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？若“方案三”比“方案四“更“优”，求p的取值范围20已知椭圆C1：（ab0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直（）求椭圆C1的方程；（）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x24y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）x2+kx+1，g（x）（x+1）ln（x+1），h（x）f（x）+g（x
8、）（）若函数g（x）的图象在原点处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（）若h（x）在0，2上单调递减，求实数k的取值范围；（）若对于t0，1，总存在x1，x2（1，4），且x1x2满足f（xi）g（t）（i1，2），其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l过定点P（3，0），倾斜角为（0），曲线C的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知直线l交曲线C
9、于M，N两点，且|PM|PN|，求l的参数方程选修4-5：不等式选讲23函数f（x）（x+1）2（1）证明：f（x）+|f（x）2|2；（2）若存在xR，且x1，使得+f（x）|m2m1|成立，求m取值范围参考答案一、选择题（每小题5分）.1设集合Mx|x2x0，Nx|1，则（）AMNBNMCMNDMNR解：解x2x0得，x0或x1；解得，x1，或x0；MN故选：C2复数z满足zi|+i|，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A（1，0）B（0，1）C（1，0）D（0，1）解：zi|+i|，z，复数z在复平面内对应的点的坐标为（0，1）故选：D3在下列向量中，可以把向量表示出来的是（）A，B
10、，C，D，解：根据平面向量的基本定理可知，作为平面向量基底的一组向量必须为非零不共线向量，而A中的为零向量，不符合条件；C，D中的两组向量均为共线向量，不符合条件；故选：B4已知函数f（x）4cos2x，则下列说法中正确的是（）Af（x）为奇函数Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图象关于直线对称Df（x）的值域为0，4解：函数f（x）4cos2x42+2cos2x，故函数为偶函数，故A错误；f（x）的最小正周期为 ，故B错误；令x，求得f（x）2，不是最值，故f（x）的图象不关于直线对称，故C错误；显然，由于cos2x1，1，故f（x）的值域为0，4，故D正确，故选：D5已知a，b，cln3
11、，则（）AacbBabcCbcaDbac解：a，b，ba1，又cln31，则bac，故选：D6如图，共顶点的椭圆、与双曲线、的离心率分别为e1、e2、e3、e4，其大小关系为（）Ae1e2e4e3Be1e2e3e4Ce2e1e3e4De2e1e4e3解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0e1e21根据双曲线开口越大离心率越大得到1e4e3可得到e1e2e4e3故选：A7古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足0.618后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金
12、分割点在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为（）AB2CD解：设BCa，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ，CP，所以PQBQ+CPBC（）a，SAPQ：SABCPQ：BC（2）a：a2，由几何概型中的面积型可得：在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为，故选：B8函数在1，1的图象大致为（）ABCD解：，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD；又，故排除A故选：B9已知倾斜角为的直线l与直线x+2y30垂直，则sin2的值为（）ABCD解：直线l与直线x+2y30垂直，kl2tan2sin22si
13、ncos故选：B10地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）AABBCDDE解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客
14、比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D故选：C11已知椭圆（ab0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（）A1，2BCD1，4解：由2b2可得b1，即A（0，1），又F（c，0）
15、，B（a，0），又a2c21，a2，c|PF1|+|PF2|2a4，2|PF1|2+，|PF1|（4|PF1|）（|PF1|2）2+4，1|PF1|（4|PF1|）414故选：D12已知aR设函数f（x）若关于x的不等式f（x）0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A0，1B0，2C0，eD1，e解：当x1时，f（1）12a+2a10恒成立；当x1时，f（x）x22ax+2a02a恒成立，令g（x）（1x+2）（22）0，2ag（x）max0，a0当x1时，f（x）xalnx0a恒成立，令h（x），则h（x），当xe时，h（x）0，h（x）递增，当1xe时，h（x）0，h（x）递减，xe时，h（
16、x）取得最小值h（e）e，ah（x）e，综上a的取值范围是0，e故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程2.1x+0.85，则m的值为0.5解：，这组数据的样本中心点是（，），关于y与x的线性回归方程2.1x+0.85，2.1+0.85，解得m0.5，m的值为0.5故答案为：0.514已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于解：可设ABC的三边分别为a3，b5，c7，由余弦定理可得，cosC，可得sinC，可得该三角形的外接圆半径为故答案为：15若二项式（x2+）6的展开
17、式中的常数项为m，则x2dx解：二项式（x2+）6的展开式的通项公式为：，令123r0，则r4即有m则1mx2dx，故答案为：16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体SABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作S
18、O平面ABC，垂足O在AD上，则ADSD，OD，SO，该六面体的体积：V2VSABC2当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OESD，则OE就是球半径，SOODSDOE，球半径ROE，该球体积的最大值为：V球故答案为：，三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分）17已知等比数列an的前n项和为Sn，且an+12+Sn对一切正整数n恒成立（1）求a1和数列an的通项公式；（2）求数列Sn的前n项和Tn解：等比数列an的前n项和
19、为Sn，且an+12+Sn对一切正整数n恒成立，当n1时，a22a1，a22+S1，解得：a12，当n2时，an2+Sn1，两式相减得：an+12an，即：（常数），故：数列an是以a12，公比为2的等比数列所以：（2）由于：，所以：，则：，2n+22n418如图，ABC为正三角形，半圆O以线段BC为直径，D是圆弧上的动点（不包括B，C点）平面ABC平面BCD（1）是否存在点D，使得BDAC？若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由；（2）CBD30，求直线AC与平面ABD所成角的正弦值解：（1）D是圆弧BC上的动点（不包括B，C点），假设存在点D，使得BDAC过点D作DEBC，平面ABC
20、平面BCD，平面ABC平面BCDBCDE平面ACB，AC平面ABC，DEAC，又DEBDD，AC平面BCD，而ACB60，得出矛盾假设不正确因此不存在点D，使得BDAC（2）设圆心为点O，连接OA，分别以OC，OA，为y轴作空间直角坐标系设OC1，O（0，0，0），A（0，0，），B（0，1，0），D（，0），C（0，1，0）（0，1，），（，0），（0，1，），设平面ABD的法向量为：（x，y，z），则0，y+z0，x+y0，取（3，1），直线AC与平面ABD所成角的正弦值|cos，|19水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下
21、：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0p1）经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验化验次数的期望值越小，则方
22、案越“优“（1）若，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；（2）若，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？若“方案三”比“方案四“更“优”，求p的取值范围解：（ 1）该混合样本达标的概率是，所以根据对立事件原理，不达标的概率为（ 2）方案一：逐个检测，检测次数为4方案二：由知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为故方案二的检测次数记为2，2的可能取值为2，4，6其分布列如下，2246p可求得方案二的期望为方案四：混在一起检测，记检测次数为4，4可取1，5其分布列如下，415p可求得方案四的期望为比较可得E（4）E（2）4
23、，故选择方案四最“优”方案三：设化验次数为3，3可取2，5325pp31p3；方案四：设化验次数为4，4可取1，5415pp41p4；由题意得故当时，方案三比方案四更“优”20已知椭圆C1：（ab0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直（）求椭圆C1的方程；（）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x24y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由解：（）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则kNE1，NE的方程为yx椭圆C1的（ab0）的
24、离心率为，即，则a2c，b，椭圆C1的方程：，联立，得由，得c1椭圆C1的方程为；（）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由x24y，得，y，抛物线C2：x24y在点B处的切线l1为，即，y点P（x0，y0）在切线l1上，同理，综合得，点B，C的坐标都满足方程经过B，C两点的直线是唯一的，直线BC的方程为点A（1，1）在直线BC上，点P的轨迹方程为y又点P在椭圆C1上，又在直线y上，直线y经过椭圆C1内一点（0，1），直线y与椭圆C1有两个交点，满足条件的P有两个21已知函数f（x）x2+kx+1，g（x）（x+1）ln（x+1），h（x）f（x）+g（x）（）若函数g（x
25、）的图象在原点处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（）若h（x）在0，2上单调递减，求实数k的取值范围；（）若对于t0，1，总存在x1，x2（1，4），且x1x2满足f（xi）g（t）（i1，2），其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围解：（）函数g（x）的定义域为（1，+），g（x）ln（x+1）+1，则g（0）0，g（0）1，切线l：yx，由，l与函数f（x）的图象相切，；（），导数，令，对x0，2恒成立，则在0，2递增，即h（x）在0，2上为增函数，h（x）在0，2上单调递减，h（x）0对x0，2恒成立，即，；（）当时，g（x）ln（x+1）+10，g（x）（x+1）l
26、n（x+1）在区间上为增函数，时，的对称轴为xk，为满足题意，必须1k4，此时，f（x）的值恒小于f（1）和f（4）中最大的一个，对于，总存在x1，x2（1，4），且x1x2满足f（xi）g（t）（i1，2），（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l过定点P（3，0），倾斜角为（0），曲线C的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知直线l交曲线C于M，N两点，且|PM|PN|，求l的参数方程解：（1）曲线C
27、的参数方程为（t为参数）；整理得，故，转换为直角坐标方程为x24y24，根据，转换为极坐标方程为2cos242sin24（2）直线l过定点P（3，0），倾斜角为（0），转换为参数方程为（为参数），把直线的参数方程代入x24y24，得到（cos24sin2）t2+6cost+50，所以，解得，由于0，故，所以所以直线的参数方程为（t为参数）选修4-5：不等式选讲23函数f（x）（x+1）2（1）证明：f（x）+|f（x）2|2；（2）若存在xR，且x1，使得+f（x）|m2m1|成立，求m取值范围解：（1）证明：函数f（x）（x+1）2f（x）0，f（x）+|f（x）2|f（x）|+|f（x）2|f（x）f（x）2|2f（x）+|f（x）2|2（2）解：存在xR，且x1，使得+f（x）|m2m1|成立，f（x）0，+f（x）21，当且只当，即f（x）时等号成立，|m2m1|1，m2m11或m2m11，解得m取值范围是（，10，12，+）- 23 - 版权所有高考资源网
