1、第四讲指数与指数函数1.2021山东省烟台市期中若a=(13)0.6,b=3-0.8,c=ln 3,则a,b,c的大小关系为()A.bcaB.cabC.cbaD.acb2.原创题已知函数f(x)=2x+x-5,则不等式-2f(4x-1)6的解集为()A.-1,-12B.-12,12C.12,1D.1,323.2021湖南六校联考若函数f(x)=(12)x-a的图象经过第一、二、四象限,则f(a)的取值范围为()A.(0,1)B.(-12,1)C.(-1,1)D.(-12,+)4.2020合肥市三检已知函数f(x)=1ax-ax(a1),则不等式f(2x2)+f(x-1)0的解集是()A.(-,
2、-1)(12,+)B.(-,-12)(1,+)C.(-12,1)D.(-1,12)5.2021嘉兴市高三测试函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=2x-4,则f(-1)=;不等式f(x)0的解集为.6.答案不唯一能说明“已知f(x)=2|x-1|,若f(x)g(x)对任意的x0,2恒成立,则在0,2上,f(x)ming(x)max”为假命题的一个函数g(x)=.(填出一个函数即可) 7.2021黑龙江省六校阶段联考物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0 ,经过一段时间t min后的温度是T ,则T-Ta=(T0-Ta)(12)th,其中Ta(单
3、位:)表示环境温度,h(单位:min)称为半衰期.现有一份88 的热饮,放在24 的房间中,如果热饮降温到40 需要20 min,那么降温到32 时,需要的时间为()A.24 minB.25 minC.30 minD.40 min8.2021河北石家庄二中模拟已知0(cos )cos (sin )cos B.(sin )cos (cos )sin (cos )cos C.(cos )cos (sin )cos (cos )sin D.(cos )cos (cos )sin (sin )cos 9.2021惠州市一调对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)
4、为“局部奇函数”.若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是()A.1-3,1+3B.1-3,22C.-22,22D.-22,1-310.设函数f(x)=2-x,x1,x2,x1,则y=2f(f(x)-f(x)的取值范围为()A.(-,0B.0,22-12C.22-12,+)D.(-,022-12,+)11.多选题已知实数m,n满足2m2n,则下列不等式恒成立的是()A.cos m0,n0,则log13me3n+2D.若m0,n0,则mn12.多选题已知函数f(x)=2x2-a|x|,则下列结论中正确的是()A.函数f(x)的图象关于原点对称B.当
5、a=-1时,函数f(x)的值域为4,+)C.若方程f(x)=14没有实数根,则a1,b1,则aln b的最大值为.14.已知函数f(x)=ex,若关于x的不等式f(x)2-2f(x)-a0在0,1上有解,则实数a的取值范围为.答 案第四讲指数与指数函数1.B因为a=(13)0.6=3-0.6,由指数函数y=3x在R上单调递增,且-0.6-0.8可得a=3-0.63-0.8=b,且baln e=1,所以cab.故选B.2.C因为函数y=2x与y=x-5在R上均为增函数,所以函数f(x)=2x+x-5在R上为增函数.易知f(1)=-2,f(3)=6,所以不等式-2f(4x-1)6等价于f(1)f(
6、4x-1)f(3),等价于14x-13,解得12x1,故选C.3.B依题意可得f(0)=1-a,则01-a1,-a0, 解得0a1时,y=1ax和y=-ax均为减函数,所以函数f(x)=1ax-ax(a1)在R上为减函数.又f(-x)=1a-x-a-x=ax-a-x=-f(x),所以f(x)为奇函数.不等式f(2x2)+f(x-1)0可化为f(2x2)f(1-x),所以2x21-x,即2x2+x-10,解得-1x0时,令f(x)=2x-40,得0x2,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x0时,令f(x)0,得x-2,当x=0时,f(0)=0,此时不满足f(x)0.所以f(x)0的解集为(
7、-,-2)(0,2).6.x-12(答案不唯一)图D 2-4-4易知函数f(x)=2|x-1|在x0,2上的最小值是1,取g(x)=x-12,作出f(x),g(x)在0,2上的图象如图D 2-4-4,满足f(x)g(x)对任意的x0,2恒成立,但g(x)=x-12在0,2上的最大值是32,不满足f(x)ming(x)max,所以 g(x)=x-12能说明题中命题是假命题.7.C由题意,得40-24=(88-24)(12)20h,即14=(12)20h,解得h=10,所以T-24=(88-24)(12)t10,即T-24=64(12)t10,将T=32代入上式,得32-24=64(12)t10,
8、即18=(12)t10,解得t=30,所以需要30 min,可降温到32 ,故选C.8.A设a=cos,b=sin ,因为0ab0,则函数f(x)=ax为减函数,所以abaa,根据幂函数的性质可得aaba,故有abaaba,即(cos )sin (cos )cos (sin )cos ,故选A.9.B因为函数f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义在R上的“局部奇函数”,所以方程f(x)=-f(-x)有解,即方程4x-m2x+1+m2-3=-(4-x-m2-x+1+m2-3)有解,整理得(4x+14x)-2m(2x+12x)+2(m2-3)=0,即方程(2x+12x)2-2m(2x+12x)
9、+2m2-8=0有解,令t=2x+12x,则t2,即方程t2-2mt+2m2-8=0(*)在t2,+)上有解,设g(t)=t2-2mt+2m2-8.(1)当方程(*)有两个相等的解时,由=0,m2,解得m=22.(2)当方程(*)有两个不相等的解,其中一个解小于2,另一个解大于等于2时,则g(2)0或g(2)=0,m2,解得1-3m0,g(2)0,m2,解得1+3m1的图象如图D 2-4-5中实线所示,由图可知f(x)12,+),设f(x)=t,则t12,+),因为y=2f(f(x)-f(x),所以y=2f(t)-t,t12,+),所以12t1,y=21-t-t或t1,y=0.因为y=21-t
10、-t在12,1上单调递减,所以0y22-12,所以y=2f(f(x)-f(x)的取值范围为0,22-12,故选B.11.BCD因为y=2x为R上的增函数,所以mn.因为函数y=cos x在R上有增有减,所以A中的不等式不恒成立,A错误.因为函数y=log13x在(0,+)上单调递减,所以当m0,n0,mn时,log13mn时,e3m+2e3n+2,故C正确.因为函数y=x在(0,+)上单调递增,所以当m0,n0,mn时,mn,故D正确.12.BD由题意知,函数f(x)的定义域为x|x0,且f(-x)=2(-x)2-a|-x|=f(x),因此函数f(x)是偶函数,其图象不关于原点对称,故A选项错
11、误.当a=-1时,f(x)=2x2+1|x|,而x2+1|x|=|x|+1|x|2,所以f(x)=2x2+1|x|4,即函数f(x)的值域为4,+),B选项正确.由f(x)=14,得x2-a|x|=-2,得x2+2|x|-a=0.要使原方程没有实数根,应使方程x2+2|x|-a=0没有实数根.令|x|=t(t0),则方程t2+2t-a=0没有正实数根,于是需0或0,-20,-a0,即4+4a0或4+4a0,-20,-a0,解得a0),则ln t=ln a2-ln a=-(ln a)2+2ln a=-(ln a-1)2+11,所以ln a=1时,t取得最大值e,即aln b的最大值为e.14.(-,e2-2e由f(x)2-2f(x)-a0在0,1上有解,可得存在x0,1,af(x)2-2f(x),即ae2x-2ex.令g(x)=e2x-2ex(0x1),则ag(x)max.因为0x1,所以1exe,则当ex=e,即x=1时,g(x)max=e2-2e,即ae2-2e,故实数a的取值范围为(-,e2-2e.
