1、第二节等差数列及前n项和考情解读命题规律考点等差数列的通项公式及前n项和公式等差数列的性质及应用考查频次卷,5年4考 卷,5年4考卷,5年1考考查难度容易中等常考题型及分值选择题,5分;解答题,612分填空题,5分命题趋势 预计新课标高考仍会对本部分的内容重点考查,一般是运用等差数列的性质求解数列的项与通项公式,前n项和的最大、最小值等问题.近年来,保留了等差数列部分性质的“类等差数列”等新颖题目值得关注.复习的重点是在理解性质的基础上培养应用意识,巧用性质,减少运算量基础导学知识梳理第2项差同1.等差数列的有关概念（1）定义：文字语言：从 1 起,每一项与它的前一项的 2 都等于 3 一个常
2、数.符号语言：4 （,为常数）.（2）等差中项：数列,成等差数列的充要条件是=+2 ,其中 5 叫做,的等差中项.2.等差数列的有关公式（1）通项公式：=6 .（2）前 项和公式：=1+(1)2=7 .1+(1)(1+)2 3.等差数列的性质（1）通项公式的推广：=8 (,).（2）若 为等差数列,且+=+(,),则 9 .（3）若 是等差数列,公差为,则,+,+2,(,)是公差为 10 的等差数列.（4）若 为等差数列 的前 项和,则数列,2 ,3 2,也是等差数列.()+=+知识拓展1.两个重要技巧（1）若奇数个数成等差数列,可设中间三项为 ,+.（2）若偶数个数成等差数列,可设中间两项为
3、 ,+,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.2.三个必备结论（1）若等差数列 的项数为偶数 2,则2=(1+2)=(+1);偶 奇=,奇偶=+1.（2）若等差数列 的项数为奇数 2+1,则2+1=(2+1)+1;奇偶=+1.（3）在等差数列 中,若1 0,0,则满足 0,+1 0的项数 使得 取得最大值;若1 0,则满足 0,+1 0 的项数 使得 取得最小值.3.两个函数 等差数列,当 0 时,=+(1 )是关于 的一次函数;=2 2+(1 2)是无常数项的二次函数.重难突破考点一 等差数列的性质与基本量的运算典例研析【例1】A（1）2019全国卷理记 为等差数列 的前 项和.已知4=
4、0,5=5,则()A.=2 5 B.=3 10 C.=22 8 D.=122 2 解析 由题意知 4=41+2 4 3=0,5=1+4=5,解得 1=3,=2,则=2 5.故选.本题也可用排除法解,对于 项,5=5,4=4(7+2)2=10 0,排除;对于 项,4=0,5=5 4=2 52 8 5 0=10 5,排除;对于 项,4=0,5=5 4=12 52 2 5 0=52 5,排除.故选.BD（2）2018全国卷理记 为等差数列 的前 项和,若33=2+4,1=2,则5=()A.12 B.10 C.10 D.12 （3）已知等差数列 的前 项和为,若2+3+10=9,则9=()A.3 B.
5、9 C.18 D.27 解析 设等差数列 的公差为,则3 (31+3)=21+41+6,即=32 1,1=2,=3.5=1+4=10.故选.解析设等差数列 的首项为1,公差为,2+3+10=9,31+12=9,即1+4=3,5=3,9=9(1+9)2=9252=27.故选.方法技巧：方法解读适合题型基本量法用1 和 表示条件和所求,用方程思想求出1 和 五个基本量,1,中知三求二性质法用等差数列的性质将已知和所求联系起来,用性质表示 和 当已知中有“+”式的表达式 等差数列的计算技巧 对点训练DB1.已知等差数列 中,2=1,前 5 项和5=15,则数列 的公差为()A.3 B.52 C.2
6、D.4 解析设等差数列 的首项为1,公差为,因为 2=1,5=15,所以 1+=1,51+542 =15,解得=4,故选.2.等差数列 中,3(3+5)+2(7+10+13)=24,则该数列的前 13 项和为()A.13 B.26 C.52 D.156 解析 3(3+5)+2(7+10+13)=24,64+610=24,4+10=4,13=13(1+13)2=13(4+10)2=1342=26,故选.1003.2019全国卷文记 为等差数列 的前 项和,若3=5,7=13,则10=.解析设等差数列 的公差为,则=734=1354=2,于是1=3 2=5 4=1,10=10+1092 2=100
7、.重难突破考点二 等差数列的判定与证明典例研析【例 2】已知数列 的前 项和为 且满足+2 1=0(2),1=12.（1）求证：1 是等差数列.答案证明：因为=1(2),又=2 1,所以1 =2 1,0.因此1 11=2(2).故由等差数列的定义知1 是以11=11=2 为首项,2 为公差的等差数列.（2）求 的表达式.答案解：由（1）知1=11+(1)=2+(1)2=2,即=12.由于当 2 时,有=2 1=12(1),又因为1=12,不适合上式.所以 12,=1.12(1),2.方法技巧：判定数列 是等差数列的常用方法（1）定义法：对任意 ,+1 是同一个常数.（证明用）（2）等差中项法：
8、对任意 2,满足2=+1+1.（证明用）（3）通项公式法：数列的通项公式 是 的一次函数.（4）前 项和公式法：数列的前 项和公式 是 的二次函数,且常数项为 0.提醒：判断是否为等差数列,最终一般都要转化为定义法判断.对点训练4.数列 满足1=1,2=2,+2=2+1 +2.（1）设=+1 ,证明 是等差数列;答案证明：由+2=2+1 +2,得+2 +1=+1 +2,即+1=+2.又1=2 1=1,所以 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.（2）求 的通项公式.答案解：由（1）得=1+2(1),即+1 =2 1.于是(=1+1 )=(=1 2 1),所以+1 1=2,即+1=2+1.又1=
9、1,所以 的通项公式为=2 2+2.重难突破考点三 等差数列的前n项和及综合问题典例研析【例3】B（1）在等差数列 中,1+3+5=105,2+4+6=99,以 表示 的前 项和,则使 达到最大值的 是()A.21 B.20 C.19 D.18 解析（1）1+3+5=33=105,3=35.又2+4+6=34=99,4=33,=4 3=2.=4+(4)=33+(4)(2)=2+41.20 0,21 0 知 0,求使得 的 的取值范围.方法技巧：关于等差数列前 项和问题,主要是求和方法及性质 的应用,其关键点为：（1）定性质,根据已知条件判断出数列具有哪些特性.（2）定方法,根据已知条件或具有的
10、性质,确定解决问 题的方法.求和：用哪个公式,需要哪些量.求 最值：()借助 的二次函数法;（ii）借用通项的邻项变号法 1 0,0,满足 0 +1 0,取得最大值;1 0,满足 0 +1 0,取得最小值.对点训练5.2018全国卷记 为等差数列 的前 项和,已知1=7,3=15.（1）求 的通项公式;答案设 的公差为.由题意得 31+3=15.由1=7 得=2.所以 的通项公式为=1+(1)=2 9.（2）求,并求 的最小值.答案由（1）得=1+2 =2 8=(4)2 16.所以当=4 时,取得最小值,最小值为16.课时作业一、单项选择题BB1.等差数列 中,1=1,=100(3).若 的公
11、差为某一自然数,则 的所有可能取值为()A.3,7,9,15,100 B.4,10,12,34,100 C.5,11,16,30,100 D.4,10,13,43,100 解析由等差数列的通项公式得,公差=11=991.又因为 ,3,所以 1 可能为 3,9,11,33,99,的所有可能取值为 4,10,12,34,100,故选.2.在单调递增的等差数列 中,若3=1,24=34,则1=()A.1 B.0 C.14 D.12 解析由题知,2+4=23=2.又 24=34,数列 单调递增,2=12,4=32.公差=422=12.1=2 =0.AA3.设 是等差数列 的前 项和,若1+3+5=3,
12、则5=()A.5 B.7 C.9 D.11 解析 是等差数列,1+5=23,即1+3+5=33=3,3=1,5=5(1+5)2=53=5,故选.4.等差数列 的前 项和为,若8 4=36,6=24,则1=()A.2 B.0 C.2 D.4 解析设等差数列 的公差为,8 4=36,6=24,81+872 41+432 =36,1+5=21+6,解得 1=2,=2.故选.BC5.若等差数列 的前 5 项之和5=25,且2=3,则7=()A.12 B.13 C.14 D.15 解析由5=(2+4)52,得25=(3+4)52,解得4=7,所以7=3+2,即=2,所以7=4+3=7+3 2=13.6.
13、已知等差数列 前 9 项的和为27,10=8,则100=()A.100 B.99 C.98 D.97 解析由题意可知,1+4=3,1+9=8,解得1=1,=1,所以100=1+99 1=98.BD解析设等差数列 的公差为,由题意得11=11(1+11)2=11(21+10)2=22,即1+5=2,所以3+7+8=1+2+1+6+1+7=3(1+5)=6,故选.8.设等差数列 的前 项和为,1 0 且65=911,则当 取最大值时,的值为()A.9 B.10 C.11 D.12 解析由题意,不妨设6=9,5=11,则公差=2,其中 0,因此10=,11=,即当=10 时,取得最大值,故选.7.已
14、知等差数列 的前 项和为,若11=22,则3+7+8=()A.18 B.12 C.9 D.6 二、多项选择题ACABD9.已知数列 是等差数列,前 项和为,且1+53=8,下列选项正确的有()A.10=0 B.10 最小 C.7=11 D.20=0 解析由已知得：1+51+10=81+28,即1=9,又=1+(1)=(10),则有10=0,正确;由于1 和 的符号不能确定,不确定;又由=1+(1)2=9+(1)2=2(2 19)可知7=12,正确;而20=10,错误.故选.10.已知数列 是等差数列,是其前 项和,且5 8,则下列结论正确的是()A.5D.6 与7 均为 的最大值解析由5 0,
15、又 6=7,7=0,=7 6 5,即6+7+8+9 0,可得2(7+8)0,由结论7=0,8 0,错误;又5 6 知6=7 均为 的最大值,正确.故选.三、填空题1011.已知等差数列 中,0,若 2 且1+1 2=0,21=38,则 等于 .解析 是等差数列,2=1+1,又 1+1 2=0,2 2=0,即(2 )=0.0,=2.21=(2 1)=2(2 1)=38,解得=10.12.设等差数列,的前 项和分别为,若对任意正整数 都有=2343,则95+7+38+4 的值为 .1941 解析因为,为等差数列,所以95+7+38+4=926+326=9+326=66,因为1111=1+111+1
16、1=2626=21134113=1941.所以66=1941.四、解答题13.已知等差数列的前三项依次为,4,3,前 项和为,且=110.（1）求 及 的值.答案解：设该等差数列为,则1=,2=4,3=3,由已知有 +3=8,得1=2,公差 4 2 2,所以=1+(1)2 =2+(1)2 2=2+.由=110,得2+110 0,解得 =10 或 11（舍去）,故 =2,=10.答案证明：由（1）得=(2+2)2=(+1),则=+1,故+1 =(+2)(+1)=1,即数列 是首项为 2,公差为 1 的等差数列,所以=(2+1)2=(+3)2.（2）已知数列 满足=,证明数列 是等差数列,并求其前
17、 项和.14.已知数列 满足1=2,(+1 1)=(+1)(+)().（1）求证数列 是等差数列,并求其通项公式;答案(+1 1)=(+1)(+)(),+1 (+1)=2(+1),+1+1 =2,数列 是等差数列,其公差为 2,首项为 2,=2+2(1)=2.（2）设=2 15,求数列|的前 项和.答案由（1）知=22,=2 15 2 15,则数列 的前 项和=(13+215)2=2 14.令=2 15 0,解得 7.7 时,数列|的前 项和 1 2 2+14.8 时,数列|的前 项和 1 2 7+8+27+2 (72 14 7)+2 14=2 14+98.=14 2,7,2 14+98,8.
