1、第二节基本不等式考情解读命题规律考点利用基本不等式求最值基本不等式的综合应用基本不等式的实际应用考查频次5年0考5年0考5年0考考查难度/常考题型及分值/命题趋势 预计高考对本部分的考查以基本不等式的应用为主.复习时,要注意公式的灵活使用,另外,利用基本不等式求最值要多加强训练基础导学2.基本不等式：+2 （1）基本不等式成立的条件是 3 （2）等号成立的条件是：当且仅当 4 时取等号.（3）其中+2 称为正数,的,5 ,称为正数,的6 .知识梳理算术平均数几何平均数1.重要不等式 2+2 1 (,)（当且仅当 2 时等号成立）.2 =0,0 =3.利用基本不等式求最值问题 已知 0,0,则：
2、（1）如果积 是定值,那么当且仅当=时,+有 7 是2 （简记：8 ）（2）如果和+是定值,那么当且仅当=时,有 9 是24 （简记：10 ）.知识梳理最小值积定和最小最大值和定积最大知识拓展1.基本不等式的两种常用变形形式（1）(+2)2(,当且仅当=时取等号）.（2）+2(0,0,当且仅当=时取等号）.2.几个重要的结论（1）2+22(+2)2.（2）+2(0).（3）21+1 +2 2+22(0,0).重难突破考点一 利用基本不等式求最值典例研析考查角度一 配凑【例1】5（1）已知 54,则()=4 2+145 的最小值为 .解析 因为 54,所以4 5 0,所以()=4 2+145=(
3、4 5)+145+3 2(4 5)145+3=2+3=5,当且仅当4 5=145,即=32 时取等号,所以()的最小值为 5.0方法技巧：（2）函数=2+1(1)的最小值为 .解析 因为=21+1+1=1+1+1=+1+1+1 2,因为 1,所以+1 0,所以 2 1 2=0,当且仅当=0 时,等号成立.配凑,以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标,根据代数式的结构特征,利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形,注意做到等价变形,一般地,形如()=+的函数求最值时可以考虑配凑法.【例2】（1）已知 0,0,2+=1,则1+1 的最小值为 .2 2+3 解析 因为2+=1,所以1+1=(1+1)
4、(2+)=+2+3 2 2+3=2 2+3,当且仅当 =2,2+=1 即=2 22,=2 1 时取等号.所以1+1 的最小值为2 2+3.C方法技巧：解析由lg2+lg8=lg2 得lg2+3=lg2,则+3=1,1+13=(1+13)(+3)=2+3+3 4（当且仅当 3=3 时,等号成立）.故选 .（2）已知 0,0,lg2+lg8=lg2,则1+13 的最小值是()A.2 B.2 2 C.4 D.2 3 本题突破的关键是利用“1”的代换构造积为定值的形式,一般形如“已知+或+为定值,求+(或+)的最值（其中,均为常参数）”时可用常值代换处理.考查角度三 减元3本题中出现了三个变元,所以我
5、们要利用题中所给的条件构建不等关系,并减元,在减元后应注意新变元的取值范围.方法技巧：【例 3】已知,均为正实数,且 2+3=0,则2 的最小值为 .解析由 2+3=0 得=+32 ,所以2=2+92+64=4+94+32.又,均为正实数,所以4 0,94 0,所以 2=4+94+32 2 4 94+32=3,当且仅当4=94 即=3 时取“=”.所以2 的最小值为 3.对点训练DC1.若 1,则+11 的最小值是()A.0 B.2 C.2 1 D.3 解析+11=1+11+1,1,1 0.1+11+1 2+1=3,当且仅当 1=11 即 =2 时取等号.故选 .2.若,都是正数,则(1+)(
6、1+4)的最小值为()A.7 B.8 C.9 D.10 解析,都是正数,(1+)(1+4)=5+4 5+2 4=9,当且仅当=2 时取等号.故选 .53.若正数,满足+3=5,则3+4 的最小值为 .解析由+3=5 可得15+35=1,所以3+4=(3+4)(15+35)=135+35+125 135+125=5（当且仅当35=125 ,即=1,=12 时,等号成立）.所以3+4 的最小值是 5.重难突破考点二 基本不等式的综合应用典例研析【例4】（1）若对,1,2,=2,总有不等式2 4 成立,则实数 的取值范围是 .(,0 解析由题意知 (2 )(4 )恒成立,则只需 (2 )(4 )mi
7、n,(2 )(4 )=8 4 2+=8 (4+2)+2=10 (4+2)=10 (4+4).令()=10 (4+4),1,2,则()=(4 42)=4(12)2,()0,故()在 1,2 上是减函数,所以当=2 时()取最小值 0,即(2 )(4 )的最小值为 0,所以 0.（2）某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费用为4 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则 的值是 .30解析 总费用4+600 6=4 (+900)4 2 900=240,当且仅当=900 ,即=30 时等号成立.方法技巧：基本不等式综合应用求解策略（1）应用基本不等
8、式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形,然后利用基本不等式求解.（2）条件不等式的最值问题;通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.（3）求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得到参数的值或范围.5.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润（单位：万元）与机器运转时间（单位：年）的关系为=2+18 25(),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元.对点训练A84.若对于任意的 0,不等式2+3+1 恒成立,则实数 的取值范围为()A.15 B.15 C.0,得2+3+1=1+1+3 12 1+3=15,当且仅
9、当=1 时,等号成立.故 15.解析年平均利润为=25+18=(+25)+18,因为+25 2 25=10,所以=18 (+25)18 10=8,当且仅当=25 ,即=5 时,取等号.课时作业一、单项选择题DC1.若()=11+2(1),则()的最小值为()A.2 2 B.2 2+1 C.2 2 2 D.2 2+2 解析因为()=11+2=11+2(1)+2,又 1,即 1 0,所以()2 11 2(1)+2=2 2+2,当且仅当11=2(1),即=1+22 时等号成立.所以()的最小值为2 2+2.故选 .2.若,且 0,则下列不等式中,恒成立的是()A.+2 B.1+1 1 C.+2 D.
10、2+2 2 解析因为 0,所以 0,0,所以+2 =2,当且仅当=时取等号.4.下列不等式一定成立的是()A.lg(2+14)lg(0)B.sin+1sin 2(,)C.2+1 2|()D.12+1 1()BC3.已知 0,0,+2+2=8,则+2 的最小值为()A.3 B.4 C.92 D.112 解析因为 +2+2=8.所以 =82(+1)0,即 1 0 时,2+14 =(12)2 0,lg(2+14)lg,故不成立;对选项,当sin 0 时显然不成立;对选项,2+1=|2+1 2|,一定成立;对选项,2+1 1,0 0,0,=+2 2 2,2 2.（解法二）由题设易知 0,0,=1+2
11、2 2,即 2 2,故选 .6.当 0 时,函数()=22+1 有()A.最小值 1 B.最大值 1 C.最小值 2 D.最大值 2 解析()=2+122 1=1.当且仅当=1,0 即=1 时取等号,所以()有最大值 1.DB7.若log4(3+4)=log2 ,则+的最小值是()A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3 解析因为log4(3+4)=log2 ,所以log4(3+4)=log4(),即3+4=,且 3+4 0,0,即 0,0,所以4+3=1(0,0),+=(+)(4+3)=7+4+3 7+2 4 3=7+4 3,当且仅当4=3 时取等号.故选 .8.对一切
12、实数,不等式2+|+1 0 恒成立,则实数 的取值范围是()A.(,2)B.2,+)C.2,2 D.0,+)解析当=0 时,不等式2+|+1 0 恒成立,此时 ,当 0 时,则有 1|2|=(|+1|),设()=(|+1|),则 ()max,由基本不等式得|+1|2（当且仅当|=1 时取等号）,则()max=2,故 2.故选.二、多项选择题AD9.下列结论正确的是()A.当 0 时,+1 2 B.当 2 时,+1 的最小值是 2 C.当 0,0 时,+2 解析在 中,当 0 时,+1 2 1 =2,当且仅当=1 时取等号,结论成立;在 中,当 2 时,+1 2 1=2,当且仅当=1 时取等号,
13、但 2 取不到 1,因此+1 的最小值不是 2,结论错误;在 中,因为 0,则=4 2+145=(5 4+154)+3 2 (5 4)154+3=1,当且仅当5 4=154,即=1 时取等号,结论错误;显然 正确.10.设、是正实数,下列不等式中正确的是()A.2+B.|C.2+2 4 32 D.+2 2 BD解析对于,2+1 2+2 ,当=0 时,不等式不成立,故 中不等式错误;对于,+|,故 中不等式正确；对于,2+2 4 32 2+42 4 0 (2)2 0,当=2 时,不等式不成立,故 中不等式错误;对于,+2 2 2 2,故 中不等式正确.12.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 件,则平均仓储时间为8 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 件.三、填空题48011.已知函数=+2(2)的最小值为 6,则正数 的值为 .解析 2,0,=2+2+2 2(2)2+2=2 +2,当且仅当=2+时取等号,又函数=+2(2）的最小值为6,2 +2=6,解得=4.解析设每件产品的平均费用为 元,由题意得=800+8 2 800 8=20.当且仅当800=8(0),即=80 时“=”成立.
