1、S1I3WhileS200SSIII2EndWhilePrintI（第 4 题图）第 10第 6 题省华中 2015 届高三数学考前热身训练一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应的位置上1.已知集合=1 0 1 2A，=0 2 4B，则 AB=.1,0,1,2,42.复数 z 满足(1)(43)34zii,则 z 的虚部为.13.某校高三年级学生年龄分布在 17 岁，18 岁，19 岁的人数分别为 500，400，200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为 n 的样本，已知每位学生被抽到的概率都为 0.2，则 n 2204.执行右边的伪代
2、码，输出的结果是115.已知 4 本不同的教科书中有 2 本是数学书，从这 4 本书中随机取 2 本，则所取的两本书中至少有一本是数学书的概率是 5621c6.函数()2sin()(0,f xx 且|)2 的部分图像如图所示,则(0)f的值为.37.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C 的中心在原点，以抛物线24xy的焦点为一 个 顶 点，以 直 线12yx为 一 条 渐 近 线，则 双 曲 线 C 的 方 程 为2214xy 8.函数2()ln1f xaxbx 在与 x 轴交点处的切线方程为1yx，则 a b39.已知等比数列 na的前 n 项和为nS，若2244aSaS，则12015SS
3、等于110.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D中，点 P 在线段1B C 上，且11B P，则三棱锥11PAC D的体积为4311.在直角梯形 ABCD 中，/,90,2,1ADBCABCABBCAD，梯形所在平面内一点 P 满足2BABCBP，则 PC PD 的值为112.平面直角坐标系 xOy 中，已知圆222:(2)(2)Mxyr，若过原点O 可作两条直线被圆 M 截得的弦长为 2，则半径 r 的取值范围是13r13.在ABC中，角,A B C 的对边分别是,a b c，tan3,1tan2BcC，则ABC的面积最大值为 5814.已知(1)(ln)0axxax对
4、(0,)x 恒成立，则实数 a 的取值范围是1ae或ae 二解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分 14 分）已知ABC 的面积为 S，且 2S=AB2BABC（1）求角 A 的大小；（2）若 S=1，BC=5，求ABC 的最短边的长【解】（1）法一：设角,A B C 所对的边分别为 a，b，c，因为 2S=AB2BABC即 212acsinB=c2accosB，2 分由正弦定理化得 sinAsinB=sinCsinAcosB，三角形中 sinC=sin(A+B)0，即有 sinAsinB=sin(A+
5、B)sinAcosB，4 分亦即 sinAsinB=cosAsinB，由 sinB0，得 tanA=1，因为 A(0，)，即 A=4 7 分法二：设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，因为 AB2BABC=AB2+ABBC=AB(AB+BC)=ABAC，3 分所以 2S=AB2BABC可化为 bcsinA=bccosA，即 sinA=cosA，5 分因为 A(0，)，即 A=4 7 分（2）因为 a=5，S=1，所以 12bcsinA=1，即 bc=2 2，9 分由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA，得 b2+c2=9 11 分由 bc=2 2，b2+c2=9得 b=2 2，c
6、=1或b=1，c=2 2 13 分所以最短边的长为 1 14 分16.（本小题满分 14 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是平行四边形.（1）若,CFAE ABAE，求证：平面 ABFE 平面CDEF；（2）求证：/EF平面 ABCD证明：（1）ABAE，/ABCDAECD-2 分,AECF CF CD平面CDEF，CFCDCAE 平面CDEF-5 分AE 平面 ABFE平面 ABFE 平面CDEF-7 分（2）/ABCD，AB 平面CDEF，CD 平面CDEF/AB平面CDEF-9 分AB 平面 ABFE，平面 ABFE 平面CDEFEF/ABEF-12 分EF 平面
7、 ABCD，AB 平面 ABCD/EF平面 ABCD-14 分17.（本题满分 14 分）已知平面直角坐标系中椭圆 E：x2a2y2b21(0)ab过点 D(1，32)，且右焦点为 F(1,0)，右顶点为 A过点 F 的弦为 BC直线 BA，直线 CA 分别交直线 l:xm,(m2)于 PQ 两点（1）求椭圆方程；（2）若 FPFQ，求 m 的值解：（1）1a2 94b21,a2b21,解之得 a24，b23，所以椭圆方程为x24y231；-6 分（2）设 B(x0，y0)，）当01x 时，33(1,),(1,)22BC33(,(2),(,(2)22P mmQ mm292()141mm 即4m
8、）当01x 时，则 BC：y y0 x01(x1)，与椭圆 E：x24y231 联立方程组：y y0 x01(x1)，x24y231解得 xx0，yy0 或 x85x052x0，y 3y052x0，所以 C(85x052x0,3y052x0)-8 分法一：直线00:(2)2yAB yxx与直线l 交点00(2)(,)2myP mx直线003:(2)2yAC yxx与直线l 交点003(2)y(,)2mQ mx-10 分00003(2)(2),(1)2(1)2PFPQyymmkkmxmx-12 分2222002222009(4)3(2)(2)41(1)4(1)4PFQFxymmkkmxmx 22
9、(2)4(1)9mm又 m2，所以m2m123，所以 m4-14 分法二：kABkAC y0 x023y052x085x052x02 y0 x02 3y0 x02 3y02x0249(1x024)x02494-10 分显然 kABkAP,kACkAQ，所以 kAPkAQ94设 Q(m,y1)kFQ y1m1 y1m2m2m1m2m1kAQ，同理 kFPm2m1kAP-12 分所以 kFP kFQ(m2m1)2kAPkAQ94(m2m1)21,又 m2，所以m2m123，所以 m4-14 分【说明】本题考查了椭圆的标准方程直线的斜率重点考查学生的计算能力，即应用解析的方法证OFADCBQPxy明
10、圆锥曲线性质的能力本题中要证明 FPFQ，即证明 kFP kFQ1，通过分析可以发现 kFQ 与kAQ 成比例，同理 kFP 与 kAP 成比例，故只需证明 kABkAC即可18.（本题满分 16 分）如图，某城市有一个五边形的地下污水管网主通道 ABCDE，四边形 BCDE是矩形，其中 CD=8km，BC=3km；ABE 是以 BE 为底边的等腰三角形，AB=5km现欲在 B，E 的中间点 P 处建地下污水处理中心，为此要过点 P 建一个“直线型”的地下水通道 MN 接通主管道，其中接口处 M 点在矩形 BCDE 的边 BC 或 CD 上（1）若点 M 在边 BC 上，设BPM=，用表示 B
11、M 和 NE 的长；（2）点 M 设置在哪些地方，能使点 M，N 平分主通道 ABCDE 的周长？请说明理由解：（1）当点 M 在边 BC 上，设BPM=(0tan34)，在 RtBPM 中，BM=BPtan=4tan 2 分在PEN 中，不妨设PEN=，其中 sin=35，cos=45；则PEsin()=NEsin，即 NE=4sinsin(+)=20sin4sin+3cos=20tan4tan+3；6 分（2）若点 M 在边 BC 上，由 BM+AB+AN=MC+CD+DE+EN，得 BMEN=2；即 2tan 10tan4tan+3=1；所以 8tan28tan3=0，-8 分解得 ta
12、n=2 1040 或 tan=2+10434，与 0tan34矛盾，所以均不符合题意；10 分当点 M 在边 CD 上时，令 CD 中点为 Q，由对称性，不妨设点 M 在线段 CQ 上；设QPM=(0tan34)，在 RtQPM 中，QM=QPtan=3tan在PAN 中，设PAE=，其中 sin=45，cos=35；PAsin()=ANsin，由PAsin()=ANsin，得 AN=3sinsin()=15sin3sin+4cos=15tan3tan+4；-12 分由 MC+CB+BA+AN=MQ+QD+DE+EN，得 AN=MQ；即 3tan=15tan3tan+4；所以3tan2+4ta
13、n=5tan，即 3tan2tan=0，所以 tan=0 或 tan=13，符合题意 14 分当 tan=0，CM=4，M 位于 CD 中点 Q 处；当 tan=13，CM=41=3，M 在到 C 距离为 3km 处；由对称，M 在到 C 距离为 5km 处也可；答：当 M 位于 CD 中点 Q 处，或 M 在到 C 的距离为 3km 或 5km 处时，M，N 平分总通道 ABCDE 的周长 16 分19.（本题满分 16 分）已知函数2()2ln()2xf xaxx aR 有一个极值点为1x （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）设函数 F(x)()(2)f xfx，当3,1)4t
14、 时，比较()F t 与(1)F的大小（3）若方程()()f xm mR 有三个实数根1x，2x，3x，且123xxx证明：12(2,3)xx(参考数据 ln 20.6931，ln31.0986，ln51.6094)解(1)2()fxxax，则(1)30fa，3a ，且2232()xxfxxaxx-1 分当 01x 时，()0fx，()f x 在区间(0,1)上为增函数；当12x时，()0fx，()f x 在区间(1,2)上为减函数；当2x 时，()0fx，()f x 在区间(2,)上为增函数；因此，函数()f x 的单调增区间为(0,1)，(2,)；减区间为(1,2)-3 分当2x 时，极小
15、值为(2)2ln 24f；当1x 时，极大值为5(1)2f-5 分(2)因为3,1)4t，32,2)2t，由(1)可知()(1)f tf，(2)(2)ftf设函数()()(1)()(2)(1)(2)g tF tFf tftff，其中 314t-6 分则(1)(54)()ttg tt，当 3445t 时，()0g t；当 415t 时，()0g t；-7 分那么，当 3445t 时，34()()()45gg tg；当 415t 时，4(1)()()5gg tg；-8 分经计算(1)0g，333()()(2)()(1)424gffff4527913(2ln)(2ln 2)032482，ANEDCM
16、BPQ(第 18 题)ANEDCMBPQ(第 18 题)ANEDCMBPQ(第 18 题)因此，当3,1)4t 时，()0g t 恒成立，即()F t(1)F-10 分(3)由(1)可知1(0,1)x，2(1,2)x，3(2,)x ，首先有123xx-12 分且211132ln2xmxx222232ln2xxx，整理得221212121()2 lnln3()02 xxxxxx，即1212124(lnln)6()xxxxxx，-13 分法一：问题等价于12121212124(lnln)()()6()xxxxxxxxxx，令1212()6()wxxxx，12(01)xuux，则4(1)ln1uwu
17、u-14 分下要证明122xx，即证明8w，只要证明2(1)ln1uuu(01)u设函数2(1)()ln1uh uuu(01u)，则22(1)()(1)uh uu u0，即()0h u 恒成立，有()(1)0h uh，因此2(1)ln1uuu综上可知，1223xx-16 分法二：由1212124(lnln)6()xxxxxx得：12121246()lnlnxxxxxx由对数平均不等式得：1212121246()lnln2xxxxxxxx-14 分解得：122xx-16 分20.（本题满分 16 分）已知数列na的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为 2，并且2415aaaa，79
18、8aaa（1）求数列na的通项公式；（2）求使得1212mmmmmmaaaaaa成立的所有正整数 m 的值；（3）在数列na的奇数项中任取 s 项，偶数项中任取 k 项（s，kN*，s1，k1），按照某一顺序排列后成等差数列，当 sk 取最大值时，求所有满足条件的数列解（1）由题意，解得2,2,nnnnan 为奇数，为偶数.-4 分（2）当 m 为奇数时，由题意得1122(2)222mmm mmm，-5 分即122(21)22(1)mmmm当 m=1 时，上式成立；-6 分当3m 时，1222(21)2212(1)mmmmmm 所以，m=1-8 分当 m 为偶数时，12mmmaaa为偶数，12
19、mmmaaa为奇数，所以满足条件的偶数 m 不存在综上所述，满足1212mmmmmmaaaaaa的正整数 m 的值为 1-10 分（3）由（1）知，数列na的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，抽出的项按某种顺序排成等差数列，则该等差数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数-11 分假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数设抽出的三个偶数从小到大依次为 2i，2 j，2 p（1i j p），则1122222ijij为奇数，而 i1，j2，则12 j 为偶数，12i 为奇数，所以 i 1又1122222jpjp为奇数，而 j2，p3，则12 j，12 p 均为偶数，矛盾-13 分因为 k 1，所以偶数有 2 项，则奇数最多有 3 项，s+k 的最大值为 5，-14 分设此等差数列为 b1，b2，b3，b4，b5，则 b1，b3，b5 为奇数，b2，b4 为偶数，且 b2 2所以 b1 b3 2b2 4，则 b1 1此数列为 1，2，3，4，5同理，若从大到小排列，此数列为 5，4，3，2，1-16 分.
