1、第 2 课时 椭圆的简单几何性质核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P43P46“探究”的内容，回答下列问题观察教材 P44图 2.27，思考以下问题：(1)椭圆x2a2y2b21(ab0)中 x，y 的取值范围各是什么？提示：(2)椭圆x2a2y2b21(ab0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：(3)椭圆x2a2y2b21(ab0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：axa，byb对称轴为 x 轴和 y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)与 x 轴的交点坐标为(a，0)，与 y 轴的交点坐标为(0，b)(4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？提示：.(5)椭圆的离心率是什么
2、？用什么符号表示？其取值范围是什么？提示：.(6)如果保持椭圆的长半轴长 a 不变，改变椭圆的短半轴长 b的值，你发现 b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：长轴为 A1A2，短轴为 B1B2离心率 eca；0e1b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁(7)根据离心率的定义及椭圆中 a，b，c 的关系可知，ecac2a2a2b2a21ba2，所以 e 越接近于 1，则 c 越接近于 a，从而 b a2c2就越小；e 越接近于 0，则c 越接近于 0，从而 b 越接近于 a.那么 e 的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆2归纳总结，核心必记椭圆的简
3、单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程 22221(0)xya bab22221(0)yxa bab续表焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上范围顶点轴长短轴长，长轴长焦点焦距|F1F2|对称性对称轴，对称中心离心率eaxa 且byb bxb 且ayaA1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)2b2aF1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)2c(0，0)ca(0e0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解：椭圆的方程 m2x24m2y21(m0)，可转化为
4、x21m2 y214m21.m2 14m2，椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a1m，短半轴长 b 12m，半焦距长 c 32m.椭圆的长轴长 2a2m，短轴长 2b1m，焦点坐标为 32m，0，32m，0，顶点坐标为1m，0，1m，0，0，12 m，0，12 m.离心率 eca32m1m 32.讲一讲2求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的 5 倍，且过点 A(5，0)；(2)离心率 e35，焦距为 12.尝试解答(1)若椭圆焦点在 x 轴上，设其标准方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意得 2a52b，25a20b21，解得a5，b1.故所求椭圆的标准方程为x225y
5、21；若焦点在 y 轴上，设其标准方程为y2a2x2b21(ab0)，由题意，得2a52b，0a225b21，解得a25，b5.故所求椭圆的标准方程为 y2625x2251.综上所述，所求椭圆的标准方程为x225y21或 y2625x2251.(2)由 eca35，2c12，得 a10，c6，b2a2c264.当焦点在 x 轴上时，所求椭圆的标准方程为 x2100y2641；当焦点在 y 轴上时，所求椭圆的标准方程为 y2100 x2641.综上所述，所求椭圆的标准方程为 x2100y2641 或 y2100 x2641.(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先
6、定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍练一练2求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点 A(2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.解：(1)若椭圆的焦点在 x 轴上，设标准方程为 x24b2
7、y2b21(b0)，椭圆过点 A(2，3)，1b29b21，b210.方程为x240y2101.若椭圆的焦点在 y 轴上 设椭圆方程为 y24b2x2b21(b0)，椭圆过点 A(2，3)，94b24b21，b2254.方程为y2254x225 1.综上所述，椭圆的标准方程为x240y2101 或y2254x2251.(2)由已知a2c，ac 3，a2 3，c 3.从而 b29，所求椭圆的标准方程为x212y291 或x29 y2121.讲一讲3已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1(c，0)，A(a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果 F1 到直线 AB 的距离为 b7，求椭圆
8、的离心率 e.尝试解答 由 A(a，0)，B(0，b)，得直线 AB 的斜率为 kABba，故 AB 所在的直线方程为 ybbax，即 bxayab0.又 F1(c，0)，由点到直线的距离公式可得 d|bcab|a2b2 b7，7(ac)a2b2.又 b2a2c2，整理，得 8c214ac5a20，即 8ca214ca50.8e214e50.解得 e12或 e54(舍去)综上可知，椭圆的离心率 e12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知 a，c，可直接利用 eca求解若已知 a，b或 b，c，可借助于 a2b2c2 求出 c 或 a，再代入公式 eca求解(2)方程法：若 a，c
9、 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c的关系式，借助于 a2b2c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围练一练3如图，已知 F1 为椭圆的左焦点，A，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当 PF1F1A，POAB(O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率解：由已知可设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，则由题意可知 Pc，b2a.PF1O BOA，PF1BOF1OOA.b2ab ca，即 bc，a22c2，eca 22.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率 2由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点3本节课要重点掌握的规律方法(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲 1.(2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲 2.(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲 3.
