1、对高中数学微积分的理解及教学建议摘 要：微积分是新课改后增加进来的主要知识点之一，也是高考的一个主要考点，正因为它是新增的知识点，所以在学生的学习和老师的教学过程中都产生了很多的不解和困惑，从高中数学新教材出发，对教材中导数与积分给出了理解与思考。同时针对教材给出了对于这部分内容教学的一些建议和想法。包括极限思想的合理引入、导数极值点和最值点的全面正确认识、如何将复杂难懂的积分转化为学生容易理解的知识的一些想法和建议。关键词：微积分；导数；定积分；极限随着新课改的不断深入和全面推行，新课改的一些理念和教学探究越来越被广大师生关注，特别是一些新增内容的教学和学习，给老师和学生都带来了一些迷茫和困
2、惑，其中微积分就是新增加进来的主要知识点之一。这里的微积分指的是微分与积分，高中阶段目前只要求学习导数与定积分这两部分，新课改中将微积分纳入了高中数学教材，并作为高考考点，这并非我国首创，此前美、英、德、法、日等国家和地区均已率先将微积分引入了高中数学教材，所以我们只是顺应时代的潮流，弥补我国传统数学课程的不足。同时微积分在我们的经济、生活、科技等领域有着广泛的应用。这也在现实上促使新课改把微积分纳入高中数学教材。一、对高中数学教材中微积分的定位与分析（以北师大版教材为例，后面所指教材均指北师大版）虽然新教材将微积分作为选修部分，但却是高考的考点之一。教材中关于微积分的内容主要分布在：文科在选
3、修 1-1，理科在选修 2-2。从总体上来看有以下特点：1.充分考虑到文、理科学生对于微积分需求和自身数学能力的差异。选修 1-1 课时少，内容也较少，要求较低。只要求学生掌握导数及其应用，不要求学习积分。而选修 2-2 课时则多了近一倍，内容增加了不少，相应要求也有较大提高。除选修 2-2 要求的极限与导数外，还增加了一章专门讲授定积分。这三部分的知识要点和要求均高于选修 1-1，更接近大学里的“高等数学”中对这部分内容的要求。所以对于理科学生来说学好选修 2-2，能为以后学习高等数学打下基础。2.对微积分的定位比较好，充分考虑到学生的理解能力。没有过多地涉及极限的理论知识和极限的运算，也没
4、有给出导数公式的推导与证明，只需直观认识和应用。3.重视微积分在中学阶段的应用。尽管选修 1-1 和选修 2-2课时相差很大，但都用了足够的课时讲授导数的应用（选修 2-2 还有定积分的应用），包括求函数的单调性、极值和最值等，开拓了学生的思维。定积分的应用使学生明白怎样去求一个不规则图形的面积。让学生觉得微积分与实际生活有着紧密的联系，并非那么遥不可及，增强了学生学习数学的兴趣。二、对高中数学微积分的理解与思考1.对导数的理解。（1）导数这个概念是高中微积分的第一个概念，对于它的理解直接决定学生对后面积分的理解。教材中对于导数概念的引入是从“变化率”入手的。先给出瞬时变化率再用平均变化率（去
5、逼近瞬时变化率，如果函数的平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数 y=对于导数的这种定义方式与高等数学基本上是一致的，但是在引入这个定义之前，对于极限这个概念要有一定的认识和理解，而教材中没有出现任何关于极限知识的理解和简单运算，所以往往导致许多学生似懂非懂，甚至有的教师干脆说，如果理解不了，就把它记住，以后上了大学，学习高等数学再慢慢理解，这就在无形中造成了高中数学与高等数学的脱节。对于导数的几何意义，也要用极限的思想来给出。因此教材中引入了极限形式的表示，却未给出对于极限的认识与理解，这一点是否合理，是值得考虑的。（2）关于导数的应用，新教材中给出了利用导数来判断一个多项式函数的单
6、调性或单调区间，求函数在某个区间上的极值和最值。这里为什么要说是多项式函数，这也是教材中没有明确指出的一点，甚至有些教师都不明白为什么说是多项式函数呢？对于任意函数行不行？答案是否定的，因为多项式函数在其定义域内都是连续的。这也就可以保证教材中的所有可能的极值点都来源于导数等于零的点（又叫驻点），如果是任意函数，所有可能的极值点还是不是都来源于驻点就不一定了，因为如果函数不连续，导数不存在的点也有可能作为函数的极值点。如：求函数 f（x）=（x-4）的极值。先求出导数f（x）=，令 f（x）=0 的驻点 x=1；x=-1 为 f（x）的不可导点。所以对定义域分区间时，还要考虑不可导点，经列表讨
7、论最后得f（-1）=0 为极大值；f（1）=-3 为极小值。对于最值也是一样的。2.对定积分的理解与思考。（1）教材中对于定积分的定义也是从求曲边梯形面积入手，按照：分割、近似、求和、取极限这一过程来分析的，只不过没有用形式化的极限来表示罢了，这与高等数学是如出一辙的。顺便给出定积分的几何意义是平面图形所形成的面积的代数和（规定 x 轴上方的面积为正值，x 轴下放的面积为负值）。（2）微积分基本公式将定积分问题转化为求原函数的函数值问题。而原函数本来是不定积分产生的，这部分教师要注意这里的原函数 F（x）只是被积函数 f（x）的一个原函数，因为F（x）+C=f（x）（C 为任意常数）。另外，对
8、于个别原函数不能确定的定积分，可用定积分的几何意义来解决，如，显然用微积分基本公式不能求出，而利用定积分几何意义，这个积分可以看作一个半径为 1 的半圆的面积，所以=。对于这类问题，如被积函数为下列形式：这一类问题，高等数学用换元积分法的第二类换元积分法做三角代换即可求解。但在高中没有学习基本积分方法，只能采用其他方式处理。（3）对于定积分的应用，教材上是通过两个实例来讲解的，一个是求平面图形的面积，另一个是求简单旋转体的体积。教材上用定积分的定义和几何意义来处理此类问题，之所以没有用高等数学中的元素法（或者叫微元法），是因为微分的思想和微分与积分的关系，如果学生之前学习了微分，就可以用元素法
9、，作为处理此类问题的一个通用方法。三、对高中微积分教学的建议1.适当地引入极限思想。对于导数的教学而言，如果引入形式化极限，就应把极限的思想解释清楚，可以用“无限逼近”的思想来给出极限的定义和理解。如函数极限的定义可以这样来给出：当 x时函数的极限：设函数 xa（a0）时有定义，若当自变量 x 的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于一个确定的常数 A，则称 A 为 x时，函数的极限，记作：f（x）=A 或 f（x）A（x）；当 xx0，函数的极限：设函数 f（x）在点 x0 的某邻域内有定义（在 x0 可以没有定义），若 xx0（但始终不等于 x0）时，函数 f（x）无限接近于一个确定的常
10、数 A，那么 A 就叫做 xx0 时函数 f（x）的极限，记作：f（x）=A 或 f（x）A（xx0）。这样能使学生对极限的定义和思想有个相对清晰的了解，为理解后面的导数与定积分定义打下基础。2.对于导数应用来说，首先也是最重要的一点，应使学生明白，微积分并非解决复杂问题的唯一方法，教师不要给学生造成一种错觉，认为微积分是一个比初等数学厉害的工具，致使学生过分依赖于微积分，则可能失去更多观察和思考的机会，应鼓励学生从多种途径考虑问题。其次使学生明白极值与最值的关系，可用局部与整体的概念来解释，也可用图像直观来理解。最后使学生知道极值并非全部来源于驻点，还有可能是导数不存在的点。3.在定积分定义
11、的教学中可引入数学史中刘徽割圆术中关于圆的面积公式产生的推导思想，而且还比课本上关于曲边梯形的面积的求法更易让学生明白定积分的思想。因为对学生而言圆要比曲边梯形更熟悉和好理解。也可以让学生明白圆的面积并非是个精确值，而是个近似值。4.在讲微积分基本公式（牛顿莱布尼茨公式）时可适当引入微积分的历史背景，使学生知道这两位数学家牛顿、莱布尼茨生平及对微积分的重大贡献，对微积分的产生和今天微积分的表示原因给予数学史方面的解释，譬如：积分符号来源于英文单词 Sum 的首字母 S 拉长；y来源于等，更能加深学生对于微积分的理解和了解产生的背景，增强学生学习微积分的兴趣。5.在定积分的教学中，让学生体会和感
12、受“化曲为直”的思想在整个定积分中的使用，定积分应用中求曲线所围成的平面图形面积是用“直线来逼近曲线”，这都是化曲为直思想的体现。而这一思想本身就包含极限的思想。另外，对于对称区间上函数的定积分可利用函数的奇偶性来计算，可证明：（1）若 f（x）在-a，a上为偶函数，则 f（x）dx=2f（x）dx；（2）若 f（x）在-a，a上为奇函数，则 f（x）dx=0。如：要求这个定积分 x4sinxdx，因为 f（x）=x4sinx为奇函数，所以 x4sinxdx=0。因此在教学中要善于挖掘微积分与以前数学知识的联系，将复杂难懂的新问题转化為学过的知识来理解和处理，这也正体现了化归法的主旨。总之，如何进行微积分的教学在高中仍是一个新的课题，虽然新课改已进行了好几年，但毕竟时间尚短，相对于代数和几何等经典内容已臻于完善的教学研究，高中微积分的教学研究还不够成熟，处于摸索阶段，也正因为如此，探究微积分的教学才更有价值和意义。参考文献：1张红.数学简史M.北京：科学出版社.2美克莱因.古今数学思想：第二册M.朱学贤，译.上海：上海科学技术出版社.3严士健，王尚志.普通高中课程教科书数学（选修 1-1）M.北京：北京师范大学出版社.（作者单位 陕西省西安市陕西师范大学数科院）
