1、第九节函数模型及其应用【考纲下载】1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用1三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同2.几种常见的函数模型(1)一次函数模型：yaxb，(a0)；(2)反比例函数模型：y(k0)；(3)二次函数模型：yax
2、2bxc(a0)；(4)指数函数模型：yN(1p)x(x0，p0)(增长率问题)；(5)对数函数模型yblogax(x0，a0且a1)；(6)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)；(7)yx型(x0)；(8)分段函数型1直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢2函数y1ex，y2100ln x，y3x100，y41002x中，随x的增大而增大速度最快的函数是哪一个？提示：y1ex.1下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(
3、)x45678910y15171921232527 A一次函数模型 B幂函数模型C指数函数模型 D对数函数模型解析：选A根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型2某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过()A12小时 B4小时 C3小时 D2小时解析：选C由题意知24t4 096，即16t4 096，解得t3.3据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y
4、元，则y关于x的函数关系是()Ay0.1x800(0x4 000)By0.1x1 200(0x4 000)Cy0.1x800(0x4 000)Dy0.1x1 200(0x4 000)解析：选Dy0.2x(4 000x)0.30.1x1 200.4(2014渭南模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元每提高一个档次，每件利润增加2元用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品则获得利润最大时生产产品的档次是_解析：由题意，第k档次时，每天可获利润为：y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10)，配方可得y6(k9)2864，k9时，获
5、得利润最大答案：95某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利_元解析：九折出售时价格为100(125%)90%112.5元，此时每件还获利112.510012.5元答案：12.5高频考点考点一 一次函数、二次函数模型1由于受到新课标中概率模块的冲击，实际应用题被概率问题占据了位置，逐步退出命题的热点，但以二次函数为模型的应用题还是常出现在高考试题中，既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题2高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数
6、和二次函数例1(1)(2013陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_m.(2)(2011湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数当0x200时，求函数v(x)的表达式；当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f
7、(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)自主解答(1)设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40)，当x20时，Smax400.(2)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.
8、综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时答案(1)20一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型解决此类问题应注意三点：二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题(2)以分段函数的形式考查解决此类问题应关注以下三点：实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票
9、价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)1(2013上海高考)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每一小时可获得的利润是100元(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润解：(1)证明：生产a千克该产品所用的时间是 小时，每一小时可获得的利润是100元，获得的利润为100 元因此生产a千克该产品所获得的利润为100 a元(2)生产900千克该产品获
10、得的利润为90 000元，1x10.设f(x)5,1x10.则f(x)325，当且仅当x6取得最大值故获得最大利润为90 000457 500元因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)(1)当t4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭
11、到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由解：(1)由图象可知：当t4时，v3412，s41224.(2)当0t10时，st3tt2；当10t20时，s103030(t10)30t150；当20t35时，s10301030(t20)30(t20)2(t20)t270t550.综上，可知s(3)沙尘暴会侵袭到N城t0,10时，smax102150650，t(10,20时，smax3020150450650，当t(20,35时，令t270t550650.解得t130，t240.20t35，t30.沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城. 考点二函数yx模型的应用 例2为了
12、在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值自主解答(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x10102 1070(万元)，当且仅当6x10，即x5时等号成立所以当
13、隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元【方法规律】把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解：设温室的左侧边长为x
14、 m，则后侧边长为 m.蔬菜种植面积y(x4)8082(4x0)(1)如果m2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围自主解答(1)若m2，则22t21t2，当5时，2t，令2tx(x1)，则x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此时t1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即2恒成立，亦m2t2恒成立亦即m2恒成立令y，则00)x.3建联系，找解题突破口令y0，得xx10，从而可求炮的最大射程第(2)问1审结论，明解题方向观察所求结论：横坐标a不超过多少时，炮弹可击中目标炮弹击中目标，即点(a,3.2)
15、满足炮弹发射后的轨迹方程2审条件，挖解题信息观察条件：ykx(1k2)x2(k0)3建联系，找解题突破口 炮弹击中目标，即3.2ka(1k2)a2(k0)有解利用0求得结论准确规范答题(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，2分故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米 5分(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使32ka(1k2)a2成立 8分即关于k的方程a2k220aka2640有正根 10分所以判别式(20a)24a2(a264)0，解得a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标 12分答题模板速成解决函数建模问题的一般步骤：第一步审清
16、题意弄清题意，理顺条件和结论，找到关键量，明确数量关系第二步找数量关系把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙 第三步建数学模型将数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型 第四步解数学问题利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论 第五步返本还原将数学结论还原为实际问题本身所具有的意义 第六步反思回顾查看关键点、易错点，如本题函数关系式，定义域等全盘巩固1(2014日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量
17、Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：选B由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大2客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系式正确的是()As(t)60t,0t Bs(t)Cs(t) Ds(t)解析：选D由题意可得路程s与时间t之间的关系式为s(t)3在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x210123y0.240.5112.023.988.02
18、则下列函数与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)()Ayabx ByabxCyax2b Dya解析：选B由数据可知x，y之间的函数关系近似为指数型4一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么()A人可在7 s内追上汽车B人可在10 s内追上汽车C人追不上汽车，其间距最少为5 mD人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：选D设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则st2，车与人的间距d(s25)6tt26t25(t6)27，当t6时，d取得最小值为7.5图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高
19、为2和3的两个矩形所构成，函数SS(a)(a0)是图形M介于平行线y0及ya之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是()解析：选C法一：依题意，当0a1时，S(a)2aa23a；当1a2时，S(a)2a；当23时，S(a)23，于是S(a)由解析式可知选C.法二：直线ya在0,1上平移时S(a)的变化量越来越小，故可排除选项A、B.而直线ya在1,2上平移时S(a)的变化量比在2,3上的变化量大，故可排除选项D.6(2014汉中模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9 m2，且高度不低于 m记防
20、洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y m要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5 m，则其腰长x的取值范围为()A2,4 B3,4 C2,5 D3,5解析：选B根据题意知，9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，9(2BCx)x，得BC，由得2x6.由yBC2x10.5，得3x4.3,42,6)，腰长x的范围是3,47一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析：依题意有aeb8a，b
21、，yae t若容器中只有开始时的八分之一，则有aeta.解得t24，所以再经过的时间为24816 min.答案：168某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_万元解析：设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15x)辆，利润为L(x)5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.1520.1530，由于x为整数，所以当x10时，L(x)取最大值L(10)45.6，即能获得的最大利润为45.6万元答案：45.69某商场宣传在节假日对顾客购物实行一
22、定的优惠，商场规定：如一次购物不超过200元，不予以折扣；如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款_元解析：由题意知付款432元，实际标价为432480元，如果一次购买标价176480656元的商品应付款5000.91560.85582.6元答案：582.610设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购
23、票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元设每天的购票人数为x，盈利额为y元(1)求y与x之间的函数关系；(2)该旅游景点希望在人数达到20人时就不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？(参考数据： 1.41, 1.73, 2.24)解：(1)根据题意，当购票人数不多于100时，可设y与x之间的函数关系为y30x500k(k为常数，kR且k0)人数为25时，该旅游景点收支平衡，3025500k0，解得k50.y(2) 设每张门票价格提高为m元，根据题意，得m20505000，(3) m25536.2，故每张门票最少要37元11为了保护环境，发展低碳经济，某
24、单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为x2002 200200，当且仅当x，即x400时，上式取等号，即当每月处理量为400
25、吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(2)设该单位每月获利为S，则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因为400x600，所以当x400时，S有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损12某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪
26、念章的销售价格为x(元)(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值解：(1)依题意yy此函数的定义域为(0,40)(2)y若0x20，则当x16时，ymax32 400(元)若20x10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分
27、则乙所得奖励比甲所得奖励多()A600元 B900元 C1 600元 D1 700元解析：选Dk(18)200，f(18)200(1810)1 600.又k(21)300，f(21)300(2110)3 300，f(21)f(18)3 3001 6001 700.故乙所得奖励比甲所得奖励多1 700元2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过的部分为每吨3.00元若甲、乙两户某月共交水费y元，且甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨，则y关于x的函数关系式为_解析：依题意可知，当甲、乙两户用水量都不超过4吨，即0x时，y1.8(5x3x)
28、14.4x；当甲户用水量超过4吨，乙户用水量不超过4吨，即时，y3(5x43x4)41.8224x9.6.故y答案：y高频滚动1定义域为R的奇函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x0,1时，f(x)x，方程f(x)log2 013x的实数根的个数为()A1 006 B1 007 C2 012 D2 014解析：选A因为f(x)在R上是奇函数，其图象关于直线x1对称，且当x0,1时，f(x)x，所以f(x)在1,1上单调递增，在1,3上单调递减，且f(x)为周期函数，周期T4.令log2 013x1，得x2 013，故f(x)log2 013x的实根有25031 006个2对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(1,1(2，) B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1解析：选B由题设知f(x)画出函数f(x)的图象，如图，A(2,1)、B(2,2)、C(1，1)、D(1，2)从图象中可以看出，直线yc与函数的图象有且只有两个公共点时，实数c的取值范围是(2，1(1,2
