1、2011高考数学萃取精华30套（18）1. 揭阳一模19（本题满分14分）已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由19解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM，, M是线段的中点，|-2分 = =点P在椭圆上 4，-4分当点P在x轴上时，M与P重合
2、M点的轨迹T的方程为：.-6分（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点A，B满足,分别过A、B作直线OE的两条平行线、. 同底等高的两个三角形的面积相等符合条件的点均在直线、上.-7分 直线、的方程分别为：、-8分设点 （ ）在轨迹T内，-9分分别解与得 与 -11分为偶数，在上对应的在上，对应的-13分满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：-14分20（本题满分14分）设函数 （1）当时，求函数在上的最大值；（2）记函数，若函数有零点，求的取值范围.20解：（1）当时，当时， -2分当时，函数在上单调递增 -4分由得又当时，当时，.-6分（2）函数有零点即方程有解即有解-7分令当时-9分
3、函数在上是增函数，-10分当时，-12分函数在上是减函数，-13分方程有解时即函数有零点时-14分21（本题满分14分） 已知：（）是方程的两根，且，. （1）求的值； （2）设，求证：； （3）求证：对有 w。.w.21解：（1）解方程得，-1分-2分，-3分,-4分（2）由得即-6分当时，于是（）-9分（3）当时，结论成立；-10分当时，有-12分 对有-14分2. 徐州一模17. （本小题满分15分）设常数，函数（1）令，求的最小值，并比较的最小值与0的大小；（2）求证：在上是增函数；（3）求证：当时，恒有17. 解：（）， ， 2分，令，得， 4分列表如下：20极小值在处取得极小值，即
4、的最小值为 6分，又， 8分证明（）由（）知，的最小值是正数，对一切，恒有， 10分从而当时，恒有， 11分故在上是增函数 12分证明（）由（）知：在上是增函数， 当时， 13分 又， 14分，即， 15分故当时，恒有 16分18. （本小题满分14分），其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（I）对任何具有性质的集合，证明：；（II）判断和的大小关系，并证明你的结论18.解：（I）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个因为，所以；又因为当时，时，所以当时，从而，集合中元素的个数最多为，即（II）解：，证明如下：（
5、1）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，19（本小题满分16分）公民在就业的第一年就交纳养老储备金，以后每年交纳的数目均比上一年增加，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，以表示到第年末所累计的储备金总额求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列19.解: ，对反复使用上述关系式，得 ，在式两端同乘，得，得即如果记，则其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列20. （本小题满分16分）数列中,其前项的和为.求证：.20.证明： 假设 1分， 3分是首项为2，公差为1的等差数列. 4分 =, 6分 =. 8分 ， 9分. 13分 .16
