1、2016年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知全集U=y|y=x3，x=1，0，1，2，集合A=1，1，B=1，8，则A（UB）=（）A1，1B1C1D2函数的定义域为（）A（，1B1，1C1，2）（2，+）D3已知数据x1，x2，x3，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A平均数增大，中位数一定变大B平均数增大，中位数可能不变C平均数可能不变，中位数
2、可能不变D平均数可能不变，中位数可能变小4下列函数为偶函数的是（）Af（x）=x2xBf（x）=xcosxCf（x）=xsinxD5已知aR，“关于x的不等式x22ax+a0的解集为R”是“0a1”（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6函数f（x）=的图象与函数的图象的交点个数是（）A1B2C3D47如图，非零向量=， =，且NPOM，P为垂足，若向量=，则的值为（）ABCD8已知x，yR，且满足，则的最大值为（）A3B2C1D9如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥NPAC与四棱锥PABCD的体积比为（）A1：2B1：3C
3、1：6D1：810如图所示的程序框图，输出S的值为（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知i是虚数单位，m，nR，且m+2i=2ni，则的共轭复数为_12已知圆C的圆心坐标为（3，2），抛物线x2=4y的准线被圆C截得的弦长为2，则圆C的方程为_13已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）是偶函数，它的部分图象如图所示M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且KLM为等腰直角三角形，则f（x）=_14若a0，b0，则的最小值是_15已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，F
4、1F2P=120，则双曲线的离心率为_三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.162016年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户已知这10名用户的评分分别为：7.6，8.3，8.7，8.9，9.1，9.2，9.3，9.4，9.9，10（）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于18的概率；（）从这10名用户的满意用户和
5、基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率17在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且（）求角B的大小；（）若sinAsinC=sin2B，求ac的值18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BCA=45，AP=AD=AC=2，E、F、H分别为PA、CD、PF的中点（）设面PAB面PCD=l，求证：CDl；（）求证：AH面EDC19已知等差数列an的公差d=2，其前n项和为Sn，数列an的首项b1=2，其前n项和为Tn，满足（）求数列an、bn的通项公式；（）求数列|anbn14|的前n项和Wn20已知椭圆的长轴长为
6、，点A，B，C在椭圆E上，其中点A是椭圆E的右顶点，直线BC过原点O，点B在第一象限，且|BC|=2|AB|，（）求椭圆E的方程；（）与x轴不垂直的直线l与圆x2+y2=1相切，且与椭圆E交于两个不同的点M，N，求MON的面积的取值范围21已知函数f（x）=sinxax，（）对于x（0，1），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0时，h（x）=x（lnx1）f（x），证明h（x）存在唯一极值点2016年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知全集U=y|y=x3，x=1，0，1，2，集合A=1，1，B=1，8，则A
7、（UB）=（）A1，1B1C1D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简全集U，求出B在U中的补集，再计算A（UB）【解答】解：全集U=y|y=x3，x=1，0，1，2=1，0，1，8，集合A=1，1，B=1，8，UB=x|xZ，且x1，x8，A（UB）=1故选：B2函数的定义域为（）A（，1B1，1C1，2）（2，+）D【考点】函数的定义域及其求法【分析】由函数列出不等式组，求出解集即可【解答】解：由函数，得，解得，即1x1且x；所以函数y的定义域为1，）（，1故选：D3已知数据x1，x2，x3，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，x50，是某班50个学生的体重，设这50个
8、学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A平均数增大，中位数一定变大B平均数增大，中位数可能不变C平均数可能不变，中位数可能不变D平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等故选：B4下列函
9、数为偶函数的是（）Af（x）=x2xBf（x）=xcosxCf（x）=xsinxD【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：f（x）=x2x的对称轴是x=，为非奇非偶函数，f（x）=xcosx=f（x），则f（x）=xcosx为奇函数，f（x）=xsin（x）=xsinx=f（x），则f（x）=xsinx为偶函数，f（x）+f（x）=lg（x）+lg（+x）=lg1=0，即f（x）=f（x），函数f（x）为奇函数，故选：C5已知aR，“关于x的不等式x22ax+a0的解集为R”是“0a1”（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件
10、【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】不等式x22ax+a0的解集为R，则0，解出即可【解答】解：关于x的不等式x22ax+a0的解集为R，0，即4a24a0，解得0a1实数a的取值范围是0，1故“关于x的不等式x22ax+a0的解集为R”是“0a1”的充要条件，故选：C6函数f（x）=的图象与函数的图象的交点个数是（）A1B2C3D4【考点】对数函数的图象与性质【分析】在同一个坐标系内分别画出函数的图象，数形结合求交点个数【解答】解：两个函数图象如图：由图可知两个函数图形交点个数为1：故选A7如图，非零向量=， =，且NPOM，P为垂足，若向量=，则的值为（）ABCD【考点】平面
11、向量数量积的运算【分析】由题意可知，向量与的数量积等于0，把向量与都用向量与表示，整理后即可得到的值【解答】解：由图可知，即，所以，因为0，所以故选C8已知x，yR，且满足，则的最大值为（）A3B2C1D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用t的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点到点（0，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，2），则的最大值为t=3，故选：A9如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥NPAC与四棱锥PABCD的体积比为（）A1：2B1：3C1：6D1：8【
12、考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】VNPAC=VPABC，而VPABC=VPABCD，故VNPAC=VPABCD【解答】解：设四棱锥PABCD的体积为V，四边形ABCD是平行四边形，SABC=SABCD，VPABC=VNB=2PN，VNPAC=VPABC=V三棱锥NPAC与四棱锥PABCD的体积比为1：6故选C10如图所示的程序框图，输出S的值为（）ABCD【考点】程序框图【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2ncosn的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解【解答】解：通过分析知该算法是求和2cos+22cos2+
13、23cos3+2100cos100，由于2cos+22cos2+23cos3+2100cos100=2+2223+24+2100=故选：C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知i是虚数单位，m，nR，且m+2i=2ni，则的共轭复数为i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式【解答】解：m，nR，且m+2i=2ni，可得m=2，n=2，=i它的共轭复数为i故答案为：i12已知圆C的圆心坐标为（3，2），抛物线x2=4y的准线被圆C截得的弦长为2，则圆C的方程为（x3）2+（y2）2=2【考点】抛物线的简单性质【分析】求出准线方程，
14、计算圆心到直线的距离，利用垂径定理计算圆的半径，得出圆的方程【解答】解：抛物线x2=4y的准线方程为：y=1圆心C（3，2）到直线y=1的距离d=1圆的半径r=，圆的方程为：（x3）2+（y2）2=2故答案为：（x3）2+（y2）2=213已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）是偶函数，它的部分图象如图所示M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosx【考点】正弦函数的图象【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出的值，由周期求出，可得函数的解析式【解答】解：由题意可得A=，=2k+，kZ，再结合0，可得=，函
15、数f（x）=sin（x+）=cosx再根据=，可得=，函数f（x）=cosx，故答案为： cosx14若a0，b0，则的最小值是2+3【考点】基本不等式【分析】化简可得=+3，从而利用基本不等式求解即可【解答】解：=2+1=+32+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+315已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，F1F2P=120，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，即为2c2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解
16、：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，PF2F1=120，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1=4c2+4c224c2（）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，即为2c2c=2a，即有c=a，可得e=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.162016年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满
17、意用户，其它分数的用户为基本满意用户已知这10名用户的评分分别为：7.6，8.3，8.7，8.9，9.1，9.2，9.3，9.4，9.9，10（）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于18的概率；（）从这10名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）从不满意有户和基本满意用户中各抽取一人，利用列举法能求出两名用户评价分之和大于18的概率（）从满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，利用列举法能求出这两名用户至少有一人为满意用户的概率【解答】解：（）从不满意有户
18、和基本满意用户中各抽取一人，包含的所有基本事件为：（7.6，9.1），（7.6，9.2），（7.6，9.3），（7.6，9.4），（8.3，9.1），（8.3，9.2），（8.3，9.3），（8.3，9.4），（8.7，9.1），（8.7，9.2），（8.7，9.3），（8.7，9.4），（8.9，9.1），（8.9，9.2），（8.9，9.3），（8.9，9.4），共16种，设“两名用户评价分之和大于18”为事件M，其包含的基本事件为：（8.7，9.4），（8.9，9.2），（8.9，9.3），（8.9，9.4），共4种，则P（M）=（）从满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，包含的所有基本
19、事件为：（9.1，9.2），（9.1，9.3），（9.1，9.4），（9.1，9.9），（9.1，10），（9.2，9.3），（9.2，9.4），（9.2，9.9），（9.2，10），（9.3，9.4），（9.3，9.9），（9.3，10），（9.4，9.9），（9.4，10），（9.9，10），共15种，设“两名用户至少一人为满意用户”为事件N，其包含的所有基本事件为：（9.1，9.9），（9.1，10），（9.2，9.9），（9.2，10），（9.3，9.9），（9.3，10），（9.4，9.9），（9.4，10），（9.9，10），共9种，这两名用户至少有一人为满意用户的概率p=17在锐
20、角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且（）求角B的大小；（）若sinAsinC=sin2B，求ac的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（I）由，可得2sin（A+C）cos2B=0，解得tan2B=，可得B（II）sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，再利用余弦定理即可得出【解答】解：（I），2sin（A+C）cos2B=0，2sinBcosB=cos2B，即sin2B=cos2B，解得tan2B=，2B（0，），解得B=（II）sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，ac=a2+c
21、22accos，化为（ac）2=0，解得ac=018如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BCA=45，AP=AD=AC=2，E、F、H分别为PA、CD、PF的中点（）设面PAB面PCD=l，求证：CDl；（）求证：AH面EDC【考点】直线与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论【分析】（）由已知可证DCBC，又ABBC，可得ABCD，根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CDl；（）连接AF，EH，连接EF交AH与G，利用CDAF，CDPA，可证CD平面PAF，从而证明CDAH在PAF中，通过证明AG2+GF2=AF2，可证得AHEF，即可证明AH平面EDC【解
22、答】（本题满分为12分）证明：（）在四边形ABCD中，ACAD，AD=AC=2，ACD=45，BCA=45，BCD=BCA+ACD=90，DCBC，又ABBC，ABCD，2分CD面PAB，AB面PAB，CD面PAB，4分CD面PCD，面PAB面PCD=l，根据线面平行的性质得CDl6分（）连接AF，EH，连接EF交AH与G，F为CD的中点，AD=AC，CDAF，PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA，PAAF=A，CD平面PAF，AH平面PAF，CDAH8分如图，在PAF中，ACAD，AD=AC=2，CD=2，F为CD的中点，AF=CD=，PA平面ABCD，AF平面ABCD，PAAFE为
23、PA的中点，AE=1，EF=，E，H为PA，PF的中点，EHAF，EH=AF=，EHPA，AH=，EHAF，EHGFAG，AG=AH=，GF=EF=，AG2+GF2=AF2，AGGF，即AHEF，11分EFCD=F，AH平面EDC12分19已知等差数列an的公差d=2，其前n项和为Sn，数列an的首项b1=2，其前n项和为Tn，满足（）求数列an、bn的通项公式；（）求数列|anbn14|的前n项和Wn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得an，Sn可得2n+1=Tn+2，利用递推关系可得bn（II）令c
24、n=anbn14=（2n1）2n14可得：c1=12，c2=2，n3，cn0n3，Wn=c1+c2+cn2c12c2Wn=12+322+（2n1）2n14n+28，令Qn=12+322+（2n1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（I），=T1+2=2+2=4=22，+1=2，解得a1=1an=1+（n1）2=2n1Sn=n22n+1=Tn+2，当n2时，2n+12n=Tn+2（Tn1+2）=bn，bn=2n，当n=1时也成立bn=2n（II）令cn=anbn14=（2n1）2n14c1=12，c2=2，n3，cn0n3，Wn=c1c2+c3+cn=c1+c2
25、+cn2c12c2Wn=12+322+（2n1）2n14n+28，令Qn=12+322+（2n1）2n，2Qn=122+323+（2n3）2n+（2n1）2n+1，Qn=2（2+22+2n）2（2n1）2n+1=22（2n1）2n+1=（32n）2n+16，Qn=（2n3）2n+1+6Wn=20已知椭圆的长轴长为，点A，B，C在椭圆E上，其中点A是椭圆E的右顶点，直线BC过原点O，点B在第一象限，且|BC|=2|AB|，（）求椭圆E的方程；（）与x轴不垂直的直线l与圆x2+y2=1相切，且与椭圆E交于两个不同的点M，N，求MON的面积的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）由题意可得2a
26、=4，解得a由点A是椭圆E的右顶点，直线BC过原点O，点B在第一象限，且|BC|=2|AB|，可得|BO|=|AB|，又，|OA|=a=2，利用余弦定理解得|BO|可得B，代入椭圆方程即可得出（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线L的方程为：y=kx+m与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，0，化为8k2+4m2利用根与系数的关系可得则|MN|=由直线l与圆x2+y2=1相切，可得=1，化为m2=1+k2，利用SMON=|MN|，通过换元再利用二次函数的单调性即可得出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公
27、式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题【解答】解：（I）2a=4，a=2点A是椭圆E的右顶点，直线BC过原点O，点B在第一象限，且|BC|=2|AB|，|BO|=|AB|，|OA|=a=2，|OA|2=|BO|2+|AB|22|BO|AB|cosABO，8=2|BO|2，解得|BO|=B，代入椭圆方程可得： =1=1，解得b2=4椭圆E的方程为=1（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为：y=kx+m联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，直线l与椭圆相交于不同的两点，0，化为8k2+4m2x1+x2
28、=，x1x2=，则|MN|=，直线l与圆x2+y2=1相切，=1，化为m2=1+k2，|MN|=，则SMON=|MN|1=，令1+2k2=t1，则k2=代入上式可得：，t1，SMON即MON的面积的取值范围是21已知函数f（x）=sinxax，（）对于x（0，1），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0时，h（x）=x（lnx1）f（x），证明h（x）存在唯一极值点【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（）由a，令g（x）=，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围；（）求出h（x）的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调
29、区间，从而证出结论【解答】解：（）由f（x）0，得：sinxax0，0x1，a，令g（x）=，g（x）=，令m（x）=xcosxsinx，m（x）=cosxxsinxcosx=xsinx0，m（x）在（0，1）递减，m（x）m（0）=0，g（x）0，g（x）在（0，1）递减，g（x）g（1）=sin1，asin1；（）证明：h（x）=xsinxxcosx，h（x）=lnx+sinx，x1，e时，lnx0，sinx0，h（x）0，x（e，+）时，lnx1，sinx1，h（x）0，x（0，1）时，令y=lnx+sinx，则y=+cosx0，y=lnx+sinx在（0，1）递增，由ln2sin，ln知：h（）=ln+sin0，h（）=ln+sin0，故存在x0（，）使得h（x0）=0，且当x（0，x0）时，h（x）0，当x（x0，1）时，h（x）0，综上，当x（0，x0）时，h（x）0，h（x）在（0，x0）递减，x（x0，+）时，h（x）0，h（x）在（x0，+）递增，h（x）存在唯一极值点x=x02016年9月9日
