1、第七节数学归纳法【知识重温】一、必记3个知识点1归纳法由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为_归纳法和_归纳法2数学归纳法数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：(1)当n取第1个值n0时命题成立；(2)假设当nk，(kN，且kn0)时，命题成立的前提下，推出当nk1时命题也成立，那么可以断定这个命题对于n取第1个值后面的所有正整数成立3数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_时，命题成立(2)(归纳递推)假设_(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整
2、数n都成立二、必明2个易误点应用数学归纳法时应注意两点：1数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n2)时，初始值n03.2数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；解题时要搞清从nk到nk1增加了哪些项或减少了哪些项【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()二、教材改编2下列结论能用数学归纳法证明的是()Axsin x，x(0
3、，)Bexx1(xR)C12n1(nN*)Dsin()sin cos cos sin (，R)3若f(n)1(nN)，则f(1)为()C1 D非以上答案三、易错易混4已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)5用数学归纳法证明：“11)”，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_用数学归纳法证明等式自主练透型1求证：1222n2.2设f(n)1(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)悟技法用数
4、学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且必须用上假设.考点二用数学归纳法证明不等式互动讲练型例1已知数列an，an0，a10，aan11a.求证：当nN*时，an1且x0，整数p1时，(1x)p1px.考点三归纳、猜想、证明互动讲练型例2已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性悟技法“归纳猜想证明”的一般环节 变式练(着眼于举一反三)2已知数列an满足Snan2n1.(1)写出a1，a2，a3，推测an的表达式；(2)用数学归
5、纳法证明所得结论第七节数学归纳法【知识重温】一般结论完全不完全nn0nknk1【小题热身】1答案：(1)(2)(3)2解析：数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C符合题意答案：C3解析：等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5，故选C.答案：C4解析：由f(n)可知，共有n2n1项，且n2时，f(2).答案：D5解析：当nk时，不等式为1k.则nk1时，左边应为：1则增加的项数为2k112k12k.答案：2k课堂考点突破考点一1证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立(2)假设nk(kN*，且k1)时，等式成
6、立，即1222k2，则当nk1时，1222k2(k1)2(k1)2，所以当nk1时，等式仍然成立，由(1)、(2)可知，对于nN*等式恒成立2证明：(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)考点二例1证明：(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根
7、，所以a2，即a1a2成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，0ak0，又ak1ak0，所以ak2ak110，所以ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立综上，由(1)(2)可知an12x，原不等式成立(2)假设pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合(1)(2)可得，当x1且x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立考点三例2解析：(1)当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a
8、2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明：由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立由可知对所有nN*，an都成立变式练2解析：(1)由Snan2n1，得a1，a2，a3，推测an2(nN*)(2)证明：an2(nN*)，当n1时，a12，结论成立假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即ak2，那么当nk1时，a1a2akak1ak12(k1)1，a1a2ak2k1ak，2ak1ak2，2ak14，ak12，当nk1时结论成立由知对于任意正整数n，结论都成立
