1、专题强化练1空间向量的运算及应用一、选择题1.()已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、M为空间任意两点,如果PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1,那么点M必()A.在平面B1D1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内2.(2020浙江宁波九校高二期末联考,)下列命题正确的是()A.|a|-|b|a-b|是向量a,b不共线的充要条件B.在空间四边形ABCD中,ABCD+BCAD+CABD=0C.在棱长为1的正四面体ABCD中,ABBC=12 D.设A、B、C三点不共线,O为平面ABC外一点,若OP=13OA+23OB+OC,则P、A、B、C四点共面3.(
2、多选)(2020山东济南高二下检测,)已知几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列说法中正确的是()A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2 B.A1C(A1B1-A1A)=0 C.向量AD1与向量A1B的夹角是60D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|ABAA1AD| 4.(多选)()在四面体PABC中,下列说法正确的是()A.若AD=13AC+23AB,则BC=3BDB.若Q为ABC的重心,则PQ=13PA+13PB+13PCC.若PABC=0,PCAB=0,则PBAC=0D.若四面体PABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则|MN|=1二、填空题
3、5.(2020江苏扬州邗中高二下期中,)如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知A1A=a,A1B1=b,A1D1=c,O为底面ABCD的中心,G为D1C1O的重心,则AG=.6.()已知点P为棱长等于2的正方体ABCD-A1B1C1D1内部一动点,且|PA|=2,则PC1PD1的值达到最小时,PC1与PD1的夹角为.7.(2020上海华东师范大学第二附属中学高二下期末,)点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则PAPC1的取值范围是.8.(2021山东师范大学附属中学高二上月考,)点P是棱长为4的正四面体表面上的动点,MN是该四面体内切球的一条直
4、径,则PMPN的最大值是.三、解答题9.(2021山东德州高二上检测,)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且DAB=BAA1=DAA1=3.(1)求B1D的长;(2)求CD1 与B1D 夹角的余弦值.答案全解全析一、选择题1.CPM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1=PB1+BA+6BA1-4A1D1 =PB1+B1A1+6BA1-4A1D1=PA1+6(PA1-PB)-4(PD1-PA1) =11PA1-6PB-4PD1,11-6-4=1,M、B、A1、D1四点共面.故选C.2.B对于A,由|a|-|b|a-b|,向量a,b可能共线,比如同向的
5、两个共线向量a,b的模分别是3、2,则|a|-|b|=|a-b|,故A错误;对于B,在空间四边形ABCD中,ABCD+BCAD+CABD=(AC+CB)CD-CBAD-ACBD=AC(CD-BD)+CB(CD-AD) =ACCB+CBCA=0,故B正确;对于C,在棱长为1的正四面体ABCD中,ABBC=11cos 120=-12,故C错误;对于D,因为OP=13OA+23OB+OC,而13+23+1=21,所以P、A、B、C四点不共面,故D错误.故选B.3.AB对于A,由向量加法得A1A+A1D1+A1B1=A1C,A1C2=3A1B12,(A1C)2=3(A1B1)2,A正确;对于B,A1B
6、1-A1A=AB1,AB1A1C,A1CAB1=0,B正确;对于C,易得AD1C是等边三角形,AD1C=60,又A1BD1C,异面直线AD1与A1B所成的夹角为60,但是向量AD1与向量A1B的夹角是120,故C不正确;对于D,ABAA1,ABAA1=0,故|ABAA1AD|=0,因此D不正确.故选AB.4.ABC对于A,AD=13AC+23AB,3AD=AC+2AB,2AD-2AB=AC-AD,2BD=DC,3BD=BD+DC,即3BD=BC,故A正确;对于B,若Q为ABC的重心,则QA+QB+QC=0,3PQ+QA+QB+QC=3PQ,3PQ=PA+PB+PC,即PQ=13PA+13PB+
7、13PC,故B正确;对于C,若PABC=0,PCAB=0,则PABC+PCAB=0,PABC+PC(AC+CB)=0,PABC+PCAC+PCCB=0,PABC+PCAC-PCBC=0,(PA-PC)BC+PCAC=0,CABC+PCAC=0,ACCB+PCAC=0,AC(CB+PC)=0,ACPB=0,故C正确;对于D,MN=PN-PM=12(PB+PC)-12PA=12(PB+PC-PA),|MN|=12|PA-PB-PC|.|PA-PB-PC|=PA2+PB2+PC2-2PAPB-2PAPC+2PBPC=22+22+22-22212-22212+22212=22,|MN|=2,故D错误.
8、故选ABC.二、填空题5.答案23a+12b+56c 解析由已知可得,AG=AO+OG=12(AB+AD)+13(OD1+OC1) =12(b+c)+1312(BA+BC)+DD1+12(AB+AD)+CC1 =12(b+c)+16(-b+c)+13a+16(b+c)+13a=23a+12b+56c.6.答案90解析由题意,取C1D1的中点为M,则PC1PD1=(PM+MC1)(PM+MD1)=(PM+MC1)(PM-MC1)=PM2-MC12=PM2-1.|PA|=2,点P在以A为球心,2为半径的球面上,|PM|min=AM-2=3-2=1,PM=12C1D1,PD1PC1,PC1与PD1的
9、夹角为90.7.答案-12,0 解析设D1P=xD1A1+yD1C1(0x1,0y1),则PA=D1A-D1P=D1D+DA-xD1A1-yD1C1=D1D+(1-x)D1A1-yD1C1,PC1=D1C1-D1P=D1C1-xD1A1-yD1C1=(1-y)D1C1-xD1A1,PAPC1=D1D+(1-x)D1A1-yD1C1(1-y)D1C1-xD1A1=-x(1-x)-y(1-y)=x-122+y-122-12,易知当x=y=12时,PAPC1取得最小值,为-12 ;当x=0或1,且y=0或1时,PAPC1取得最大值,为0,PAPC1的取值范围是-12,0.8.答案163 解析如图所示
10、,正四面体ABCD的棱长为4,设其内切球球心为点O,连接AO并延长交底面BCD于点E,则E为正三角形BCD的中心,且AE平面BCD,连接BE并延长交CD于点F,则F为CD的中点,且BFCD,BF=BC2-CF2=23,BE=23BF=433.AE平面BCD,BE平面BCD,AEBE,AE=AB2-BE2=463,SBCD=12CDBF=43,正四面体ABCD的体积V=13SBCDAE=1623.设球O的半径为R,则V=VO-BCD+VO-ACD+VO-ABD+VO-ABC=4VO-BCD=413SBCDR,R=3V4SBCD=63,AO=AE-OE=6,PM=PO+OM,PN=PO+ON=PO
11、-OM,PMPN=(PO+OM)(PO-OM)=PO2-23.当PO2最大,即点P位于正四面体ABCD的顶点时,PMPN取最大值,因此,PMPN=PO2-23AO2-23=6-23=163.三、解答题9.解析(1)由题可知,B1D=B1B+BA+AD=AD-AB-AA1,则|B1D|=(AD-AB-AA1)2=AD2+AB2+AA12-2ADAB-2ADAA1+2ABAA1=12+22+32-2(12+13-23)12=15,因此,B1D的长为15.(2)由题知,CD1=BA1=AA1-AB,则|CD1|=(AA1-AB)2=AA12+AB2-2AA1AB=32+22-23212=7,CD1B1D=(AA1-AB)(AD-AB-AA1)=AA1AD-AA1AB-AA12-ABAD+AB2+ABAA1 =AA1AD-AA12-ABAD+AB2 =1312-32-1212+22=-92,cos=CD1B1D|CD1|B1D|=-92715=-310570.
