1、第三节函数的奇偶性与周期性【知识重温】一、必记3个知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内_x都有_，那么函数f(x)是偶函数关于_对称奇函数如果函数f(x)的定义域内_x都有_，那么函数f(x)是奇函数关于_对称2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内()两个奇函数的和函数是_，两个奇函数的积函数是_.()两个偶函数的和函数、积函数是_.()一个奇函数与一个偶函数的积函数是_.(3)若f(x)是奇函数且在x0处有意义，则f(0)_.3函数的周期性(1)周期函
2、数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期(3)常见结论：若f(xa)f(x)，则T2a；若f(xa)，则T2a；若f(xa)，则T2a.二、必明2个易误点1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)或f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x
3、0)、f(x0)f(x0)【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“ab0”是“函数f(x)在区间a，b(ab)上具有奇偶性”的必要条件()(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称()(5)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，若在(，0)上是减函数，则在(0，)上是增函数()(6)若T为yf(x)的一周期，那么nT(nZ)是函数f(x)的周期()二、教材改编2下列函数中为奇函数的是()
4、Ayx2sin x Byx2cos xCy|ln x| Dy2x3已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则f(x)的解析式为_三、易错易混4关于函数f(x)与h(x)的奇偶性，下列说法正确的是()A两函数均为偶函数B两函数都既是奇函数又是偶函数C函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数D函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数5设f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则0的解集为()Ax|x2Bx|x2或0x2Cx|2x2 Dx|2x0或0x2四、走进高考62019全国卷已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(l
5、n 2)8，则a_.函数的奇偶性分层深化型考向一：判断函数的奇偶性12021成都市高三阶段考试已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A B C D2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(1x) ；(3)f(x)；(4)f(x)考向二：函数奇偶性的应用3(1)2019全国卷设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1(2)2021浙江高三月考若函数f(x)为奇函数，则实数a的值为_悟技法1.判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法(2)图象
6、法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2函数奇偶性的应用(1)求函数值：将特求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值注意对于定义域为
7、I的奇函数f(x)，若0I，则f(0)0.考点二函数的周期性互动讲练型例1(1)2021绵阳模拟函数f(x)则f(9)_.(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)，当x0,2)时，f(x)xex，则f(2 020)_.悟技法1.求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数yf(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么T就是函数yf(x)的周期非零常数T容易确定的函数递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期如：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(xa)
8、与f(x)的关系式换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(xa)f(xa)，令xat，则xta，则f(t2a)f(taa)f(taa)f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bxa)f(bxc)型关系式2.函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期.变式练(着眼于举一反三)1已知定义在R上的函数满足f(x2)，当x(0,2时，f(x)2x1.则f(17)_，f(20)_.2已知f(x)是R上最小正周期为2
9、的周期函数，且当0x0(x1x2)恒成立，则f，f(4)，f的大小关系正确的是()Aff(4)fBf(4)ffCff(4)fDfff(4)悟技法函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合解此类问题常利用以下两个性质：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间
10、，然后利用单调性求解.同类练(着眼于触类旁通)32020全国卷设函数f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则f(x)() A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减 变式练(着眼于举一反三)42021武昌区调研考试已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数yf(x1)为偶函数，当0x1时，f(x)x3，则f_. 拓展练(着眼于迁移应用)52021广东珠海模拟定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(2x)，f(x)f(x)，且在0,1上有f(x)x2，则f()A. B. C D6已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,
11、2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)第三节函数的奇偶性与周期性【知识重温】任意一个f(x)f(x)y轴任意一个f(x)f(x)原点相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数0f(x)存在一个最小最小正数【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2解析：A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数答案：A3解析：当x0，f(x)(x)(1x)x(1x)又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x(1x)，即f(x)x(1x)答案：f(x)4解析：函数f(x)的定义域满足即x24
12、，因此函数f(x)的定义域为2,2，关于原点对称，此时f(x)0，满足f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数而函数h(x)的定义域为4，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数答案：D5解析：f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，函数f(x)在(0，)上也为减函数f(2)0，f(2)f(2)0，故函数f(x)的大致图象如图所示则由0，可得xf(x)0，即x和f(x)异号，由图象可得x2.故0的解集为x|x2，故选A.答案：A6解析：解法一由x0可得x0时，f(x)f(x)ea(x)eax，则f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，
13、a3.解法二由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，f(ln 2)f(ln )(ealn )8，aln ln 83ln 2，a3.答案：3课堂考点突破考点一1解析：因为yf(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，由f(|x|)f(|x|)，知是偶函数；由f(x)f(x)f(x)，知是奇函数；由yf(x)是定义在R上的奇函数，且yx是定义在R上的奇函数，奇奇偶，知是偶函数；由f(x)(x)f(x)x，知是奇函数答案：D2解析：(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由0得1x1，所以f(x
14、)的定义域为1,1)，所以函数f(x)是非奇非偶函数(3)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(4)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数3解析：(1)当x0，因为当x0时，f(x)ex1，所以f(x)ex1.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)ex1.故选D项(2)由于函数f(x)为奇函数，故f(x)f(x)0，即0，
15、即0，故42a0，即a2.答案：(1)D(2)2考点二例1解析：(1)f(9)f(94)f(5)f(54)f(1)2111.(2)因为定义在R上的函数f(x)满足f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x0,2)时，f(x)xex，所以f(2 020)f(50540)f(0)0e01.答案：(1)1(2)1变式练1解析：因为f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函数yf(x)的周期T4.f(17)f(441)f(1)1.f(20)f(444)f(4)f(22).答案：12解析：因为当0x0时，令f(x1)0，得0x12，1x3；当x0时，令f(x1)0，得2x10，
16、1x1，又x0，1xf(0)f，即ff(4)f.答案：C同类练3解析：x，函数f(x)的定义域关于原点对称，又f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f(x)是奇函数，排除A、C；当x时，f(x)ln(2x1)ln(12x)，则f(x)0，f(x)在单调递增，排除B；当x时，f(x)ln(2x1)ln(12x)，则f(x)0，f(x)在单调递减，D正确答案：D变式练4解析：解法一因为f(x)是R上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即f(x)的周期T4，因为0x1时，f(x)x3，所以
17、fffffff.解法二因为f(x)是R上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，由题意知，当1x0时，f(x)x3，故当1x1时，f(x)x3，当1x3时，1x21，f(x)(x2)3，所以f3.答案：拓展练5解析：因为f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，因为f(x)f(2x)，所以f(x)f(2x)f(x)，所以f(4x)f(2x)f(2x)f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，所以ffff，因为在0,1上有f(x)x2，所以f2，所以ff.答案：D6解析：因为f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期T8，所以f(25)f(1)，f(11)f(3)f(1)f(1)，f(80)f(0)，又因为奇函数f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，所以f(25)f(80)f(11)答案：D
