1、双曲线综合必刷题（二）一、解答题1已知椭圆C：.（1）求椭圆C的离心率；（2）设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.2在椭圆：中，点，分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率，且在直线上.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，连接，分别交直线于点，求证：以为直径的圆经过定点.3已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且满足.（1）求、的值；（2）设、是抛物线上不与重合的两个动点，记直线、与的准线的交点分别为、，若，问直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由
2、.4已知椭圆上任一点到，的距离之和为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，设直线不经过点,与交于，两点，若直线的斜率与直线的斜率之和为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.5设抛物线，满足，过点作抛物线的切线，切点分别为.（1）求证：直线与抛物线相切；（2）若点坐标为，点在抛物线的准线上，求点的坐标；（3）设点在直线上运动，直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；6已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说
3、明理由7已知椭圆，焦距为（1）求椭圆的标准方程；（2）若一直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标8已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.9如图,已知椭圆的上顶点为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点若是,求出该定点;若不是,请说明理由.10已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线
4、的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）若过作两条互相垂直的直线，是与椭圆的两个交点，是与椭圆的两个交点，分别是线段的中点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由.11已知椭圆C：（ab0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由12已知椭圆C：的离心率为，且是C上一点(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点作直线l交椭圆C于
5、A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值？若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，试说明理由13已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.14已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P为椭圆C上的一个动点.当P是C的上顶点时，的面积为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设斜率存在的直线与C的另一个交点为Q，是否存在点，使得?若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.15已知椭E：的右顶点为A，右焦点为
6、F，上下顶点分别为B，C，直线CF交线段AB于点D，且.(1)求椭圆E的标准方程；(2)是否存在直线l，使得l交E于M，N两点.且F恰是BMN的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.16已知双曲线过点，焦距为，(1)求双曲线C的方程；(2)是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由17已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，,求直线方程；(3)椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理
7、由.18已知椭圆的离心率，且经过点(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点是否存在直线使得以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由19已知椭圆：的短轴长为2，离心率为，左顶点为（1）求椭圆的标准方程；（2）若不与轴平行的直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在定点，当直线过点时，恒有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由20已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交于两点，轴上是否存在定点，使得总成立？若存在，求出定点；若不存在，请说明理由21已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最
8、小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由22已知椭圆C的左，右焦点分别为，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为.（1）求C的标准方程；（2）设动直线l过且与C交于A，B两点，过作直线l的平行线，交C于R，N两点，记的面积为，的面积为，试问：是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.23已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点；过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直
9、线l，满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由24已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，椭圆上的一点满足轴，且(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点为椭圆的左顶点，若点为椭圆上异于点的动点，设直线的斜率分别为，且，过原点作直线的垂线，垂足为点，问：是否存在定点，使得线段的长为定值？若存在，求出定点的坐标及线段的长；若不存在，请说明理由25已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）为曲线上不同两点，为坐标原点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.26设直线与双曲线交于
10、M，N两个不同的点，F为右焦点.(1)求双曲线C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；(2)当时，设直线与C交于M，N，三角形面积为S，判断：是否存在k使得成立？若存在求出k的值，否则说明理由.1（1）（2）以为直径的圆经过轴上的定点和,证明见解析【详解】解：（1）由得,那么所以解得,所以离心率（2）由题可知,设,则直线的方程：令,得,从而点坐标为直线的方程：令,得,从而点坐标为设以为直径的圆经过轴上的定点,则由得由式得,代入得解得或所以为直径的圆经过轴上的定点和.2（1） （2）证明见解析【详解】（1）椭圆的左顶点在直线上且位于轴上，.，椭圆的方程为：.（2）由（1）知：，设，过点，可设的直线
11、方程为：，联立方程得：，.设直线的方程为，即，同理可得：，从而.，即点在以为直径的圆上.3（1），；（2）过定点，且定点的坐标为.【详解】（1）由题意得抛物线的准线方程，则，由题意得，解得；（2）由（1）得抛物线的焦点，显然直线的斜率不为零，设直线方程为，、，联立，消去得，由韦达定理得，.直线的斜率，故直线的方程为，令，得，故的坐标为，同理的坐标为，所以，所以，直线的方程为，过定点.4（1）；（2）定点，证明见解析【详解】(1)由椭圆定义知,所以,所以椭圆的标准方程为;(2)直线l恒过定点(2,4),理由如下:若直线斜率不存在,则,不合题意.故可设直线方程:,联立方程组,代入消元并整理得:,则
12、,.,将直线方程代入,整理得:,即,韦达定理代入上式化简得:,因为不过点,所以,所以,即,所以直线方程为,即,所以直线过定点.5（1）证明见详解；（2） （3）是，【详解】（1）联立直线与抛物线方程，消去可得故，因为点在抛物线上，故则直线与抛物线只有一个交点又因为，故该直线不与轴平行，即证直线与抛物线相切.（2）因为点在抛物线上，故可得，解得由（1）可知过点的切线方程为，即又抛物线的准线方程为，故令，解得，即点的坐标为.因为过点的切线方程为，其过点 故可得，又因为点满足抛物线方程，故可得，联立方程组可得解得（舍去，与点重合），故点的坐标为.（3）由（1）得过点的切线方程为令，可解得过点的切线方
13、程为令，可解的因为两直线交于点，故可得整理得 当过两点的直线斜率存在，则设其方程为：整理得，将代入可得故直线方程为故该直线恒过定点;当过两点的直线斜率不存在时，代入可得过此时直线，也经过点综上所述，直线恒过定点，即证.6（1）（2）直线恒过定点【详解】解：（1）设，代入得：，即由得：，解得：或（舍去）故抛物线C的方程为：.（2）由题可得，直线的斜率不为设直线：，联立，得：， 由，则，即.于是，所以或 当时，直线：，恒过定点，不合题意，舍去. 当，直线：，恒过定点综上可知，直线恒过定点【详解】（1）设椭圆的焦距为，有，所以，椭圆的焦点在轴上，得，有，得，故椭圆的标准方程为；（2）由方程组，得，即
14、，即设、两点的坐标分别为、，则，以为直径的圆过椭圆的上顶点，即，即，化简得，或当时，直线过定点，与已知矛盾当时，满足，此时直线为过定点.直线过定点8（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切，所以，因为动圆P与圆N内切，所以，则，由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆方程为，则，故，所以曲线C的方程为.（2）当直线l斜率存在时，设直线，联立，得，设点，则，所以，即，得.则，因为，所以.即，直线，所以直线l过定点.当直线l斜率不存在时，设直线，且，则点，解得，所以直线也过定点.综上所述，直线l过定点.9(1)(2) 过定点【详解】(
15、1) 椭圆的上顶点为,离心率为 可得 解得椭圆的方程为. (2)设切线方程为,则 即 设两切线的斜率分别为,则是上述方程的两根,根据韦达定理可得: 由 消掉得:设 同理可得 直线BD方程为令,得, 故直线过定点.10（1）；（2）直线过定点【详解】解：（1）由题意得，椭圆的方程为；（2）由（1）得，设直线的方程为，点的坐标分别为，当时，由，得，同理，由，可得 直线的方程为，过定点；当时，则直线的方程为，直线过定点综上，直线过定点.11(1)；(2)存在；或(1)解：由题意得出解得：，和点，的方程为：，时，(2)点与点关于轴对称，点，点，直线交轴于点，存在点，使得，即，故轴上存在点，使得，或12
16、(1)(2)存在；，该定值为(1)解：由题意知，椭圆C的方程为(2)解：设直线AB的方程为，即，所以假设存在这样的符合题意，则，要使其为定值，则，解得存在符合题意，该定值为13（1）；（2）存在，.【详解】（1）由题意得：，解得椭圆的标准方程是（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消整理得：，解得或，解得，满足所以存在符合题意的直线，其方程为.14(1)；(2)存在点，使得，且.(1)根据题意，由离心率为，得，由当P是C的上顶点时，的面积为，得，联立，解得，故椭圆C的标准方程为.(2)根据题意，知，设直线：，联立，得，设，则，设为的中点，则.当时，若，易得
17、；当时，若，则，得，因为，所以，即，由，得.综上所述，.故存在点，使得，且.15(1)(2)(1)解：设椭圆的右焦点，则直线的方程：，直线的方程：，联立解得，则，由，则，则，则，由，解得：，椭圆的标准方程为(2)解：假设存在满足条件的直线，由垂心的性质可得，又从而得到直线的斜率，设的方程为，联立，整理得：，由，解得：，由，则，即，整理得，将，代入化简得，提取公因式，可得，即，由，则，解得，满足，的值为，直线的方程16(1).(2)存在，直线为或.(1)由题设，又在双曲线上，可得，双曲线C的方程为.(2)由（1）知：，直线的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线：，符合题意；设直线为，联立双曲线方
18、程可得：，由题设，则.要使构成以为顶角的等腰三角形，则，的中点坐标为，可得或，当时，不合题意，所以，直线l：，存在直线为或，使构成以为顶角的等腰三角形.17(1)(2)或(3)存在，(1)抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，所以，所以椭圆方程为(2)设过抛物线焦点的直线方程为，联立 得：，设，则，根据焦点弦公式可得：，解得：，所以直线方程为或(3)因为、两点关于直线对称，所以可设直线的方程为，联立 得：，令得：，设，则，所以中点坐标为，由已知条件可得，中点在直线上，代入得：，所以存在两点、，且所在的直线方程为18(1)；(2)存在，方程为或.(1)由题意得：，解得：，椭圆的
19、方程为；(2)当斜率不存在时，即时，为椭圆短轴两端点，则以为直径的圆为，恒过点，满足题意；当斜率存在时，设，由得：，解得：；，若以为直径的圆过点，则，即，又，解得：，满足，即，；综上所述：存在直线使得以为直径的圆过点，方程为或.19（1）；（2）存在；【详解】（1）由题得，又由得，所以椭圆方程为（2）方法一：假设存在轴上的点满足题意，则，由（1）当斜率不存在时，易得由得，即解得或（舍去），即点的坐标为当斜率存在时，由无妨设直线由，即综上，在轴上存在定点，当直线过点时，恒有（2）解法二：假设存在点满足条件，由题可设直线设由，即：化简得：，解得或（舍去）所以在轴上存在定点，当直线过点时，恒有20（
20、1）； （2）.【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为， 可得，即，又由点是椭圆上一点，的周长为，可得，即，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）设，且，假设存在这样的点，使得，当直线的斜率存在时，设，联立方程组，整理得，可得，因为，可得，即，整理得 ，因为，所以，即点；当斜率不存在是，此时直线的方程为，直线过点.综上可得，在轴上存在定点，使得总成立.21（1）；（2）存在，.【详解】（1）由题意，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，可得，即，又由过且垂直于长轴的椭圆的弦长为，可得，联立方程组，可得：，所以，故椭圆的标准方程为.（2）设的内切圆半径为，可得，又因为，所以，要使的内切
21、圆面积最大，只需的值最大，由题意直线斜率不为，设，直线，联立方程组，整理得，易得，且，所以，设，则，设，可得，所以当，即时，的最大值为，此时，所以的内切圆面积最大为.22（1）；（2）存在，最大值为6.【详解】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，由题知面积取得最大值时，为为上下顶点时取得，故则，解得所以椭圆方程.（2）当直线l斜率存在时，设直线，将代入，得，恒成立，所以，由，则，则，令，则，所以，当且仅当时取到等号，即，时，取最大值为6.当直线l的斜率不存在时，不妨设，.综上，当时，的最大值为6.23(1)(2)存在直线l满足条件，其方程为(1)（1）中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2
22、，且经过点，设椭圆C的方程为，由题意得，解得，椭圆C的方程为(2)过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，若存在直线l满足题意，则直线l的斜率必存在，设直线l的方程为：，由，得，直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，设A、B两点的坐标分别为，整理，得，解得，又，即，解得，存在直线l满足条件，其方程为24(1).(2)存在，线段的长为.(1)解：由椭圆上的一点满足轴，且，可得，即，又由椭圆的离心率为，可得，即，因为，联立方程组，可得，所以椭圆的标准方程为.(2)解：由椭圆，可得，设直线的方程为，则，联立方程组，整理得，则，由，可得，即，可得，整理得，所以，所以或（舍去），所以直线的方程为，即
23、，当时，可得直线过定点，因为，所以点在以为直径的圆上，所以当点为线段的中点时，线段的长为定值，此时线段的长为，点.25（1）；（2）存在，定值为.【详解】（1）在线段的垂直平分线上，又在上，则的轨迹是以为焦点的椭圆，即，故的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程消去得，化简得，当时，取得最大值，此时，又，则，令，则，因此平面内存在两点，使得.当直线的斜率不存在时，设，则，即当取得最大值.此时中点的坐标为，满足方程，即.26(1)双曲线的渐近线方程为，它们所夹的锐角为(2)存在，或(1)由题意，令，所以双曲线的渐近线方程为，易得它们所夹的锐角为.(2)右焦点F的坐标为，设，联立得，化简得或且，所以，又，所以三角形面积，即或，满足题意，所以存在或使得成立.
