1、三角恒等与解三角形综合典型题一、解答题1已知平面向量，函数（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若，求的值2已知ABC的内角的对边分别为，且（1）求角；（2）在中，为边上一点，且，求面积的最大值3已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值.4在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求角C的值；（2）若，当边c取最小值时，求的面积5在中，是延长线上一点，且.（1）求的值；（2）求的长.6在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的面积.7已知函数（1）求的最小正周期；（2）当时，求的值域8在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
2、c，角A、B、C的度数成等差数列，（1）若，求c的值；（2）求的最大值9在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面积10在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，（1）求的值（2）求的值.11在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，.（1）求角A；（2）若，求的最大值.12在；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，_.(1)求角A的大小；(2)求面积的最大值.13已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴(1)求函数的单调递增区间；(2)令，若是函数在的零点，求的值.
3、14在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设面积的大小为S，且.(1)求A的值；(2)若的外接圆直径为1，求的取值范围.15已知函数，设锐角的三个内角A、B、C的对应边分别是若，求b.16已知函数.(1)若，且，求；(2)记函数在上的最大值为b，且在上单调递增，求实数a的最小值.17在ABC中，cos A，cos B.(1)求sin C的值；(2)设BC5，求ABC的周长.18内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)求A；(2)若，求19的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)证明：.(2)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围.201.已知，分别是的内角，所对的边，再从
4、下面条件与中任选个作为已知条件，完成以下问题(1)证明：为锐角三角形；(2)若，为的内角平分线，且与边交于，求的长；21在中，(1)若边，求的面积；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出；1（1）； （2）（1），利用公式计算周期，令可得单调减区间；（2），通过分析易知，将配成，利用两角差的正弦公式展开即可得到答案.【详解】（1），故，又令解得，所以的单调递减区间为.（2），又，又，故，.2（1） （2）（1）由已知结合余弦定理可求，进而可求；（2）由向量数量积的公式和性质及基本不等式可求的范围，进而可求面积的最大值【详解】(1)，即，(2)，为的中点，当且仅当时取等
5、号，此时面积的最大值3（1）；（2）1（1）利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式对进行化简，然后利用，得到的周期；（2）利用正弦型函数的性质，得到的最大值，以及此时的取值.【详解】（1）因为，所以的最小正周期为，（2）因为，所以，所以，当即时，函数取得最大值1.4（1）；（2）【详解】（1）由条件和正弦定理可得，整理得从而由余弦定理得又C是三角形的内角，（2）由余弦定理得， （当且仅当时等号成立）c的最小值为2，故5（1）（2）【详解】解：（1）由，得，所以.（2）由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.6（1）；（2）.（1）由题意及余弦定理得，由此即可求出结果；（2）由正切公式对化简，再结合正
6、弦定理得，再根据，可得，可得，由此即可求出结果.【详解】（1）由题意及余弦定理得，所以，从而，因为，所以.（2）由，得，所以由正弦定理得又因为，所以，所以又，所以，所以.从而是等边三角形.因为，所以.7（1）；（2）（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及辅助角公式，可化简，再利用正弦型函数的周期公式，即得解；（2）由，可得，结合正弦函数的图象和性质，即得解【详解】（1）由题意，（2）的值域为8（1）；（2）【详解】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2BAC又，由正弦定理，得，即由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理，得，由，得所以当时，即时，9（1）（2）【详解】试题分析
7、：（1）由正弦定理将边化为角：，再根据两角和正弦公式得，解出（2）根据向量数量积得，即，再根据三角形面积公式得试题解析：解：（1）法一：在ABC中，由正弦定理，及，得，即，因为，所以，所以，所以.解法二：在ABC中，由余弦定理，及，得，所以，所以，因为，所以.（2）由，得，所以ABC的面积为.10（1）（2）【详解】（1）在中，所以 由余弦定理可得又因为，所以 （2）， 所以.11（1）；（2） .（1）先用正弦定理，将条件中的边化为角，再利用,将角化成形式，即，进而求得，即可得到的值；（2）由余弦定理，可以转化为，再利用基本不等式求的最大值.【详解】（1）由，根据正弦定理，得，即，所以，因为
8、，所以，即，.（2）因为，由余弦定理得：，即，.，当且仅当时等号成立.故的最大值为.12(1)选：；选：；选：；(2)选：；选：；选：（1）选：由正弦定理边角互化得，进而得；选：由正弦定理边角互化得，进而得，故；选：由余弦定理得，再根据正弦定理边角互化结合和角公式得，故（2）选：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为.选：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为.选：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为.(1)解：选：因为，所以，即，又因为，所以 选：因为，所以，
9、因为，所以，因为，所以，即，因为，所以选：因为，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以(2)解：选：因为由（1）得，所以，即，所以，即，当且仅当时等号成立，所以面积 所以面积的最大值为.选：因为由（1）得，所以，即，所以，即，当且仅当时等号成立，所以所以面积 所以面积的最大值为.选：因为由（1）得，所以，即，所以，即，当且仅当时等号成立，所以所以面积 所以面积的最大值为.13(1)(2)(1)函数，直线是函数的图象的一条对称轴，故令，求得，可得函数的增区间为，(2) ，（满足，取锐角）函数的图像在内只有一条对称轴，满足，得：，14(1)(2)(1)解：由得：化简得：当时，等式不成立所以，即又所
10、以(2)解： 的外接圆直径为1，由正弦定理得：，的取值范围为：.15【详解】由题意，故解得：又，故由正弦定理：16(1)(2)(1)解：，；(2)解：，当时，由得，的单调递增区间是，函数在上单调递增，时，增区间是，时，增区间是，则，实数a的最小值是.17(1)(2)(1)在三角形中，各内角均在上，所以由cos A，cos B可得：，所以.(2)由（1）知，又，所以由正弦定理可得：，所以，所以 ABC的周长为.18(1)；(2).(1)在中，由正弦定理及得，于是得，化简整理得，即，而，则，又，所以.(2)因为，由正弦定理得：，则，由（1）知，在中，即，于是解得，显然有，即，则，所以.19(1)证
11、明见解析(2)(1)由题意得，等式两边同时乘以，得，得，因为，所以，即.(2)因为，所以，所以.因为为锐角三角形，所以解得，令，因为函数在上单调递增，所以.故面积的取值范围为.20(1)证明见解析(2)选择结果相同，（1）利用正弦定理得到，结合或者，均可以得到，大边对大角，故只要证明，即可证明出为锐角三角形；（2）由，结合第一问中的，可以求出，接下来可以用两种方法求解，一种是利用，另一种是利用角平分线定理，均可以求出的长(1)方案一：选条件由正弦定理，又，令，（），从而，由，解得：或（舍去）从而最大，又为锐角三角形方案二：选条件由正弦定理，又，令，（），从而，解得：或（舍去）从而最大，又为锐角
12、三角形(2)方案一：选条件由，又由第一问可知：，法一：由，由面积公式得：由，从而，解得：法二：，解得：由角平分线定理，从而在中，由余弦定理，解得：方案二：选条件由，又由第一问可知：，由，解得：或（舍去）法一：故，由，由面积公式得：由，从而，解得：法二：由角平分线定理，从而在中，由余弦定理，解得：21(1)(2)选，不存在；选，；选，(1)解：由余弦定理得，因为，所以，所以的面积.(2)解：若选，由正弦定理得，所以，因为，所以不存在；若选，由正弦定理得，整理得，又，且，所以，因为，所以有两解，又，所以角B为锐角，所以唯一；若选，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，即，解得，又，所以角B为锐角，即，所以，所以.
