1、平面向量多选题1定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）ABCD若，则2已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）AB直线必过边的中点CD若，且，则3中，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）A为定值BCD的最大值为4如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）AB数列是等比数列CD5已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是 （ ）A的最大值为B的周期为C的图象关于点对称D在上是增函数6已知集合,若对于,使得成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下
2、列四个集合:;.其中是“互垂点集”集合的为( )ABCD7在RtABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是() ABCD8设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）A若，则点是边的中点B若，则点在边的延长线上C若，则点是的重心D若，且，则的面积是的面积的9有下列说法其中正确的说法为（ ）A若，则：B若，分别表示，的面积，则；C两个非零向量，若，则与共线且反向；D若，则存在唯一实数使得10设点是的外心，且，那么下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则四边形的面积是5D若且，则的最大值是11已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则（ ）A最小值为B最大值为C无最小
3、值D无最大值12已知直线与圆交于、两点，且（其中为坐标原点），则实数的值可以是（ ）A2BCD13如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系中，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为.在的反射坐标系中，.则下列结论中，正确的是（ ）ABCD在上的投影为14若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论不正确的是（ ）ABCD15如图所示，四边形为梯形，其中，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）ABCD16已知圆和两点.若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（ ）ABCD17八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图
4、形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）ABCD在向量上的投影为18下列说法中错误的为A已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C若，则在方向上的正射影的数量为D三个不共线的向量，满足，则是的内心19若平面向量两两夹角相等，为单位向量，则（ ）A1B2C3D420在给出的下列命题中，正确的是（ ）A设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C已知平面向量满足则为等腰三角形D已知平面向量满足，且，则是等边三角形参考答案，仅供参考1BD【分析】对于A,B,只需根据定义列
5、出左边和右边的式子即可,对于C,当时, ,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出,再由平方关系求出的值,代入定义进行化简验证即可.【解析】 对于A：，故不会恒成立；对于B，故恒成立；对于C，若，且，显然不会恒成立；对于D，即有.则恒成立.故选：BD.【点评】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.2ACD【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的.【解析】如图所示，点O为所在平面内一点，且，可得，即，即，所以，所
6、以A是正确的；在中，设为的中点，由，可得，所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；由，可得且，所以，所以，可得，所以所以，所以C正确；由，可得因为，且，可得，所以，所以D是正确的.故选：ACD.【点评】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3ABD【分析】A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出的最小值即可.【解析】对于A，
7、为定值，A正确；对于B，故B正确；对于C，由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立）,由A选项知，解得，故C错误；对于D，（当且仅当时，等号成立），因为，所以，又，所以的最大值，D选项正确.故选：ABD【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.4AB【分析】化简得到，根据共线得到，即，计算，依次判断每个选项得到答案.【解析】，故，共线，故，即，故，故.，正确；数列是等比数列，正确；，错误；，故错误.故选：.【点评】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.5ABD【分析】运用数量积公式及三角
8、恒等变换化简函数，根据性质判断.【解析】 ，当，时，的最大值为，选项A描述准确；的周期,选项B描述准确；当时，所以的图象关于点对称，选项C描述不准确；当时，所以在上是增函数，选项D描述准确.故选：ABD.【点评】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.6BD【分析】根据题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得，结合函数图象即可判断【解析】由题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点，所以不是“互垂点集”集合；对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在中的任意点，
9、在中存在另一个，使得，所以是“互垂点集”集合；在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点， 所以不是“互垂点集”集合；对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以是“互垂点集”集合，故选：【点评】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题7ABD【分析】由平面向量的数量积运算可得：，=，再结合直角三角形中的射影定理可得选项A,B正确，由的符号可得选项C错误，由三角形全等可得选项D正确，综合可得解.【解析】 由,由射影定理可得，即选项A正确，由=,由射影定理可得，即选项B正确，由,又，即选项C错误，由图可知，
10、所以，由选项A,B可得 ，即选项D正确，故选ABD.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算、直角三角形中的射影定理及三角形全等，属中档题.8ACD【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.【解析】A中：,即：,则点是边的中点B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.C. 设中点D,则,，由重心性质可知C成立.D且设所以，可知三点共线，所以的面积是面积的故选择ACD【点评】通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.9BC【分析】A选项错误，例如，推不出，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的,故正确
11、，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结论正确，D选项错误，例如.【解析】A选项错误，例如，推不出，B选项,设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为，所以,即,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得 ，所以，即夹角为，结论正确，D选项错误，例如. 故选B C.【点评】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.10ACD【分析】利用向量的运算对选项进行逐一分析，结合重要不等式等可得答案.【解析】如图
12、1， 选项A：，则点，三点共线，又直角三角形的外心在斜边上，故，正确；选项B：若，则点，三点共线，故中，此时为的中点，则，不满足，错误；选项：，则点在外，又，即，所以，正确；选项D：，即，因为，平方则有，化简得，即（当时取），故有或（舍掉），故，正确，故选：ACD【点评】本题考查向量的运算，向量的共线数量积的运算以及利用重要不等式求最值，属于中档题.11AD【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，用坐标表示出数量积，通过函数分析出其最值情况【解析】建立如图所示的直角坐标系则，.设，则，所以，所以当，时，取得最小值，无最大值.故选：AD【点评】本题考查平面向量数量积，求平面向量数量积的最值，一
13、种方法直接用数量积的定义表示出数量积求解，一种方法是建立平面直角坐标系，把数量积用坐标表示，然后用函数的知识求解12AB【分析】根据向量运算得到，再利用点到直线的距离公式计算得到答案.【解析】因为，故，所以，由题意可得圆心到直线的距离，所以故选：AB.【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.13AD【分析】，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确.【解析】，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；由于，故在上的投影为，故D正确。故选：AD【点评】本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量
14、的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14AC【分析】可由得，两边平方，再根据，可算出的值，同理可算出的值，则问题可迎刃而解【解析】 由已知得：，因为，所以，两边平方得，解得，故错误；同理可得：，故，故，故正确；，故错误；，故正确故选：【点评】本题考查数量积的运算和数量积在研究几何性质中的应用属于中档题15ABD【分析】根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.【解析】，正确；，正确；，错误；，正确.故选：.【点评】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.16ABC【分析】的圆心，半径，设在圆上，则，由已知得，的最值即为的最值，从而可得结论【解析】圆的圆心，半径，设在圆上
15、，则，若，则，的最大值即为的最大值，等于最小值为，的取值范围是故选：ABC【点评】本题考查圆的方程与性质、垂直关系的向量表示，考查点与圆的位置关系，是中档题17AD【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果【解析】 图2中的正八边形，其中，对于；故正确对于，故错误对于，但对应向量的夹角不相等，所以不成立故错误对于在向量上的投影，故正确故选：【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题18AC【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为
16、平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，进而得出点是的内心.【解析】对于A，已知，且与的夹角为锐角，可得，且与不共线，即有，且，解得且，则实数的取值范围是且，故A不正确；对于B，向量，向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；对于C，若，则在上的投影为，故C错误；对于D，表示与中角的外角平分线共线的向量，由，可知垂直于角的外角平分线，所以，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，故点是的内心，D正确.故选：AC.【点评】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积
17、的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.19AD【分析】由平面向量两两夹角相等可知，夹角为或.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果.【解析】平面向量两两夹角相等，两两向量所成的角是或.当夹角为时，同向共线，则；当夹角为时，为单位向量， ，且与反向共线，又，.故选：AD.【点评】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.20ACD【分析】对于A，根据共线定理判断A、B、C三点共线即可；对于B，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C，根据向量的运算性质可得OA为BC的垂线且OA在的角平分线上，从而可判断C；对于D，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确；【解析】对于A，且有公共点C，则点A、B、C共线，命题A正确；对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件不共线，故B错误；对于C，由于，即，得，即OA为BC的垂线，又由于，可得OA在的角平分线上，综合得为等腰三角形，故C正确；对于D，平面向量、满足，且，即，、的夹角为，同理、的夹角也为，是等边三角形，故D正确；故选ACD.【点评】本题主要考查利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，属于中档题.
