1、第3讲 点、直线、平面之间的位置关系 课标要求考情风向标1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解
2、空间中线面平行、垂直的有关性质与判定平面的基本性质是研究立体几何的基础，是高考主要考点之一，考查内容有以平面基本性质、推论为基础的共线、共面问题，也有以平行、异面为主的两直线的位置关系，求异面直线所成的角是本节的重点项目公理 1公理 2公理 3公理 4图形语言1.平面基本性质即四条公理的“图形语言”“文字语 言”“符号语言”列表项目公理 1公理 2公理 3公理 4文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线平行于同一条直线的两条直线平行符号语言A，B，C 不共线A，
3、B，C确定平面(续表),Al BlAB lacbc abP，Pl，Pl推论 1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补两直线的位置关系共面直线平行没有交点相交一个交点异面直线没有交点直线与平面的位置关系平行没有交点相交一个交点在平面内无数个交点两平面的位置关系平行没有交点相交无数个交点2.空间线、面之间的位置关系3.异面直线所成的角锐角或直角(0，90过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b
4、所成的_，叫做异面直线 a与 b 所成的角(或夹角)，其范围是_.1.在下列命题中，不是公理的是()AA.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2.(2019 年山西太原期末)已知平面和直线 l，则内至少有一条直线与 l()CA.平行B.相交C.垂直D.异面解析：直线 l 与平面斜交时，在平面内不存在与 l 平行的直线，A 错误；l时，在平面内不存在与 l 异面的直线，D 错误；l时，在平面内不存在与 l 相交的直线，B
5、 错误.无论哪种情形在平面内都有无数条直线与 l 垂直.故选 C.3.已知直线 a，b 分别在两个不同的平面，内，则“直线a 和直线 b 相交”是“平面和平面相交”的()ADA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若 A，B，Al，Bl，Pl，则()A.PB.P C.l D.P考点 1 平面的基本性质例 1：(1)设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面，b平面，则 a，b 一定是异面直线.上述命题中错误的是_(写出所有错
6、误命题的序号).解析：由公理 4 知正确；当 ab，bc 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错误；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故错误；a，b，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”，故错误.故填.答案：(2)(2018 年福建厦门模拟)下列四个命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若 M，M，l，则 Ml.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析：对于来说，过不共线的三点有且只有一个平面，因此正确；对于来
7、说，若两直线异面，则不能确定一个平面，因此不正确；对于来说，正方体中一个顶点引出的三条棱，不在同一平面内，因此不正确；由公理，可知正确.故选 B.答案：B(3)(多选)下列推断中，正确的是()A.Al，A，Bl，BlB.A，A，B，BABC.l，AlA D.A，B，C，A，B，C，且 A，B，C 不共线，重合答案：ABD【规律方法】直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线 不在平面内，记作 l，包括直线与平面相交及直线与平面平 行两种情形.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据.公理 1 是判断直线在平面内的依据；公理 2
8、的作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理 3 是证明三(多)点共线或三线共点的依据.考点 2 空间内两直线的位置关系考向 1 两直线位置关系的判定例 2：(1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是线段BC，CD1 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是()A.相交C.平行B.异面D.垂直解析：如图 D74 所示，直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1，EF平面 A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.图 D74答案：A(2)如图 8-3-1，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱C1D1，C1C 的中点
9、，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线.图 8-3-1其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上).解析：点 A 在平面 CDD1C1 外，点 M 在平面 CDD1C1 内，直线 CC1 在平面 CDD1C1 内，CC1 不过点 M，AM 与 CC1 是异面直线.故错；取 DD1 中点 E，连接 AE，则 BNAE，但 AE与 AM 相交.故错；B1 与 BN 都在平面 BCC1B1 内，M 在平面 BCC1B1 外，BN 不过点 B1，BN 与 MB1 是异面直线
10、.故正确；同理正确，故填.答案：(3)(2019 年新课标)如图 8-3-2，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段ED 的中点，则()图 8-3-2A.BMEN，且直线 BM，EN 是相交直线B.BMEN，且直线 BM，EN 是相交直线C.BMEN，且直线 BM，EN 是异面直线D.BMEN，且直线 BM，EN 是异面直线解析：如图 D75 所示，作 EOCD 于 O，连接 ON，过 M作 MFOD 于 F，连 BF，平面 CDE平面 ABCD，EOCD，EO平面 CDE，EO平面 ABCD，MF平面 ABCD，MFB 与EON 均为直
11、角三角形.图 D75答案：B设正方形边长为 2，易知 EO 3，ON1，EN2，MF 32，BF52，BM 7.BMEN，故选 B.【规律方法】判断直线是否平行比较简单直观，可以利用 公理 4；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线的两种 判断方法：反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条 直线平行或相交，再由假设的条件出发，经过严格的推理，导 出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面；在客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面 内不过该点的直线是异面直线.考向 2 异面直线所成的角例 3：(1)(2018 年新课标)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱
12、 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72图 8-3-3答案：C解析：如图 8-3-3，设正方体棱长为 2，异面直线 AE 与 CD所成角就是 AE 与 AB 所成角，正切值为 tan BEAB 52.(2)(2016 年新课标)平面过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13解析：如图 8-3-4，设平面 CB1D1平面 ABCDm，平面 CB1D1平面 ABB1A1n，图 8-3-4平面 CB1D1，mm，n
13、n.则 m，n 所成的角等于 m，n所成的角.延长 AD，过 D1作 D1EB1C，连接 CE，B1D1，则 CE 为 m.同理 B1F1 为 n.而 BDCE，B1F1A1B，则 m，n所成的角即为 A1B，BD 所成的角，即为 60，答案：A故 m，n 所成角的正弦值为 32.故选 A.【规律方法】(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分 点”，通过作三角形的中位线，平行四
14、边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.【跟踪训练】1.已知 P 是ABC 所在平面外的一点，M，N 分别是 AB，所成角的大小是()A.30B.45C.60D.90PC 的中点，若 MNBC4，PA4 3，则异面直线 PA 与 MN解析：如图 D76，取 AC 中点 D，连接 DN，DM，图 D76答案：A由已知条件可得 DN2 3，DM2，在MND 中，DNM 为异面直线 PA 与 MN 所成的角，则 cosDNM 16124242 3 32，DNB30，故选 A.考点 3 三点共线、三线共点的证明例 4：如图 8-3-5，在正方体 ABCD-A1B1C1D1
15、中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证：(1)E，C，D1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点.图 8-3-5证明：(1)如图 8-3-6，连接 EF，CD1，A1B.图 8-3-6E，F 分别是 AB，AA1 的中点，EFBA1.又 A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F 四点共面.CE 与 D1F 必相交.设交点为点 P，如图 8-3-6，则由点 PCE，CE平面 ABCD，得点 P平面 ABCD.同理点 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，点 P直线 DA.CE，D1F，DA 三线共点.(2)EFCD1，且 EF12CD1，四边形
16、CD1FE 为梯形.【规律方法】证明三线共点的步骤就是先说明两线交于一 点，再证明此交点在另一条线上，把三线共点的证明转化为三 点共线的证明，要证明 D，A，P 三点共线，由公理 3 知，只要 证明 D，A，P 都在两个平面的交线上即可.证明多点共线问题：可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点.【跟踪训练】2.如图 8-3-7，l，A，B，C，且 C l，直线ABlM，过 A，B，C 三点的平面记作，则与的交线必通过()图 8-3-7A.点 A
17、C.点 C 但不过点 MB.点 BD.点 C 和点 M解析：AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理 3 可知，M 在与的交线上.同理可知，点 C 也在与的交线上.故选 D.答案：D3.如图 8-3-8，ABCD-A1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，)直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是(图 8-3-8A.A，M，O 三点共线B.A，M，O，A1 不共面C.A，M，C，O 不共面D.B，B1，O，M 共面解析：(1)连接 A1C1，AC，则 A1C1AC，A1，C1，A，C 四点共面，A1C平面 ACC1A1，MA1C，M平面 ACC1A1.又 M
18、平面 AB1D1，M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上，同理 O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上.A，M，O 三点共线.答案：A难点突破 空间中的线面关系 例题：(2018 年新课标)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.3 34B.2 33C.3 24D.32图 8-3-9答案：A解析：每条棱所在直线与平面 所成的角相等，如图 8-3-9，所得截面面积的最大值为正六边形的面积 S6 34 2223 34.【跟踪训练】4.(2019 年上海)已知平面，两两垂直，直线 a，b，c满足：a，b，c，
19、则直线 a，b，c 不可能满足以下哪种关系()A.两两垂直C.两两相交B.两两平行D.两两异面解析：如图 D77(1)，可得 a，b，c 可能两两垂直；如图 D77(2)，可得 a，b，c 可能两两相交；如图 D77(3)，可得 a，b，c 可能两两异面.故选：B.(1)(2)(3)图 D77答案：B1.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据.公理 1 是判断直线在平面内的依据；公理 2 的作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理 3 是证明三(多)点共线或三线共点的依据.2.正确理解异面直线“不同在任何
20、一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.掌握异面直线的两种判断方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面.(2)客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.4.平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定成立.例如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“同时垂直于一条直线的两条直线平行”等性质在空间都不成立.
