1、2020-2021学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，1，2，3，则中元素的个数为A2B3C4D52（5分）已知命题，则为A，B，C，D，3（5分）已知双曲线的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则的离心率为ABC2D34（5分）已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为ABCD35（5分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则
2、不同的旅游方案种数为A120B180C240D3606（5分）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是ABCD7（5分）记的面积为，若，则的最大值为A4B6C12D248（5分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为，若100只草地贪夜蛾经过天后，数量落在区间，内，则的值可能为（参考数据：，A80B120C150D200二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9（5分）已知复数满足，则A的虚部为B的共轭复数为CD在复平面内对应的点位于第二象限10（
3、5分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示：年份2016201720192020年份代号4578人均年纯收入2.15.9若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法错误的是A人均纯收入（单位：万元）与年份代号负相关BC从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元D2023年村人均年纯收入约为11万元11（5分）已知函数，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是ABC把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象D把
4、图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是减函数12（5分）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为若，且，则使不等式成立的的值不可能为ABC1D2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量，则向量，夹角的余弦值为 14（5分）已知等比数列的前项和为，则的值为 ，若，则15（5分）已知函数为定义在上的偶函数，且在区间内单调递减，在区间上单调递增，写出一个满足条件的函数16（5分）16、在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”如图，已知三棱柱是一“堑堵”， ，点为的中点则三棱锥的外接球的表面积为 四、解答题：本题共6小题
5、，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在，三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答已知等差数列的前项和为，_，若，求数列的前项和18（12分）在中，角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若的面积为，且的外接圆半径为，试判断的形状，并说明理由19（12分）如图，在四棱锥中，平面，（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20（12分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展市外卖行业协
6、会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分，根据他们的服务质量得分分成以下6组：，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）市外卖派送人员的服务质量得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数若市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间，的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助
7、，得分不低于中位数的可抽奖2次，反之只能抽奖1次在每次抽奖中，若中奖，则补助200元次，若不中奖，则只补助100元次，且假定每次中奖的概率均为问：哪一种补助方案补助总金额更低参考数据：若随机变量服从正态分布，即，则，21（12分）已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围22（12分）已知圆与抛物线相交于，两点，且（1）求的标准方程；（2）过点的动直线交于，两点，点与点关于原点对称，求证：2020-2021学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
8、要求的.1（5分）已知集合，1，2，3，则中元素的个数为A2B3C4D5【考点】交集及其运算【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合，再利用集合交集的定义求出，由元素的定义求解即可【解答】解：因为集合，1，2，3，所以，2，故中元素的个数为3故选：【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集定义的应用以及元素定义的应用，属于基础题2（5分）已知命题，则为A，B，C，D，【考点】命题的否定【分析】根据题意，由全称命题的否定方法，先变量词，再否结论，即可得答案【解答】解：根据题意，命题，是全称命题，其否定为：，；故选：【点评】本题考查命题的否定，涉及全称命题和特称命题的概念，属于基础题3（5
9、分）已知双曲线的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则的离心率为ABC2D3【考点】双曲线的性质【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由离心率公式得答案【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即，双曲线的离心率故选：【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求法，是基础题4（5分）已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为ABCD3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】根据题意，分析可得，又由三角函数的恒等变形公式分析可得答案【解答】解：根据题意，倾斜角为的直线与直线平行，则，则有，故选：【点评】本题考查三角函数的恒等变形，涉及直线的切斜角与斜率的关系，属于基础题5（5
10、分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为A120B180C240D360【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据题意，分2步进行分析：将5名学生分为4组，将分好的四组全排列，安排到4个景区旅游，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：将5名学生分为4组，有种分组方法，将分好的四组全排列，安排到4个景区旅游，有种安排方法，则有种安排方法；故选：【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，
11、属于基础题6（5分）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设该圆柱的底面圆半径为，高为，由题意得到和的关系，由侧面积公式以及基本不等式求解最值即可【解答】解：设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，所以，该圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，所以该圆柱的侧面积的最大值是故选：【点评】本题考查了圆柱几何性质的应用，圆柱的侧面积公式的应用以及基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题7（5分）记的面积为，若，则的最大值为A4B6C12D24【考点】正弦定理；椭圆的性质【分析】以
12、的中点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，结合椭圆的定义和三角形的面积公式，即可求解【解答】解：以的中点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，由椭圆的定义易知，点的轨迹是分别以，为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且，则，故该椭圆的标准方程为，则三角形面积，当且仅当时取等号故选：【点评】本题主要考查了椭圆的定义和三角形的面积公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题8（5分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为，若100只草地贪夜蛾经过天后，数量落在区间，内，则的值可能为（参考数据：，A80B120C150D200【考点】根据实际问题选择函
13、数类型【分析】由题意可得，两边取对数得，再结合，即可求解【解答】解：由题意可得，两边取对数得，且，即，对照各选项，只有符合故选：【点评】本题考查了对数函数的实际应用，需要学生熟练掌握对数函数的公式，属于基础题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9（5分）已知复数满足，则A的虚部为B的共轭复数为CD在复平面内对应的点位于第二象限【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】先利用复数的除法运算求出的代数形式，然后由虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义以及复数的乘法运算对四
14、个选项逐一判断即可；【解答】解：因为，所以的虚部为，的共轭复数为，它在复平面内对应的点位于第二象限，故正确，正确，正确；，故错误故选：【点评】本题考查了复数的综合应用，涉及了复数的乘法和除法运算，虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题10（5分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示：年份2016201720192020年份代号4578人均年纯收入2.15.9若与线性相关，且求得其线性回归方程
15、为，则下列说法错误的是A人均纯收入（单位：万元）与年份代号负相关BC从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元D2023年村人均年纯收入约为11万元【考点】线性回归方程【分析】由回归直线的斜率为判断；求出，可得，再由的平均数列式可得的值判断；由回归直线斜率的几何意义判断；求出2013年的年份代号，代入回归直线方程求得判断【解答】解：由回归直线的斜率为1，得人均年纯收人（单位：万元）与年份代号正相关；错误；，于是得，解得，正确；由每增加1，约增1，可知每经过1年，村民人均年纯收人约增加1万元，正确；2023年的年份代号为11，故，故可估计2023年村人均年纯收人约为9万元，错误故选
16、：【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题11（5分）已知函数，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是ABC把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象D把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是减函数【考点】函数的图象变换；由的部分图象确定其解析式【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，函数的图象的伸缩变换，正弦型函数的性质的应用判断、的结论【解答】解：设点在轴上的投影为，则，又，即，正确；错误；，错误；把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，当时，故函数在时为减函数，正确，故选：【点评】本题考查的知识要
17、点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的伸缩变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题12（5分）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为若，且，则使不等式成立的的值不可能为ABC1D2【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】设，求导分析单调性，得函数在定义域上单调递减，由，则，不等式等价于，即，即可得出答案【解答】解：设，则，即函数在定义域上单调递减，不等式等价于，即，解得故不等式的解集为，故选：【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量，则向量，夹角的余弦值为 【考点
18、】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】可根据求出，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出的值【解答】解：由，得，且，所以，且，所以故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题14（5分）已知等比数列的前项和为，则的值为 ，若，则【考点】等比数列的前项和【分析】根据等比数列的性质可得，解得后利用求出的值；若可得为正数，利用求出值后根据等比数列前项和即可求出的值【解答】解：由得，；设等比数列的公比为，若，则为正数，故，故答案为：；2046【点评】本题考查等比数列的通项公式，前项和；考查学生的运算求解能力，
19、属于基础题15（5分）已知函数为定义在上的偶函数，且在区间内单调递减，在区间上单调递增，写出一个满足条件的函数（答案不唯一）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】通过偶函数的定义以及函数单调性，考虑符合条件的一个函数即可【解答】解：若，则，所以为偶函数，当时，在区间内单调递减，在区间上单调递增，故的解析式可以是故答案为：（答案不唯一）【点评】本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，属于开放性问题，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于中档题16（5分）16、在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”如图，已知三棱柱是一“堑堵”， ，点
20、为的中点则三棱锥的外接球的表面积为 【考点】球的体积和表面积【分析】取的中点，的中点，连接，证明平面，三棱锥的外接球的球心为，连接，求解三角形可得，再由球的表面积公式得答案【解答】解：如图，取的中点，的中点，连接，则，且，又，平面，连接，则，且，平面设该球的球心为，设的外心为，连接，则平面，连接，由是的外心得平面，可得四边形为矩形，为等边三角形，可知，则，得三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在，三个条件中任选一
21、个，补充到下面问题并解答已知等差数列的前项和为，_，若，求数列的前项和【考点】数列的求和【分析】设数列的公差为若选择：根据，可解得和的值，进而可得，又，可利用裂项求和法求数列的前项和；若选择：由，建立关于和的方程组即可解出和的值，又，可利用裂项求和法求数列的前项和；若选择：利用，解得值后再根据解得，易知满足上式，又，可利用裂项求和法求数列的前项和【解答】解：设数列的公差为若选：由，得，解得，所以因为，所以则若选：由，得，解得，所以因为，所以则若选择：因为，所以，所以，解得，则又满足上式，所以因为，所以则【点评】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和、裂项求和法，考查学生的推理论证和运算求解能力
22、，属于基础题18（12分）在中，角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若的面积为，且的外接圆半径为，试判断的形状，并说明理由【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，可得，再结合正弦函数的两角和公式，即可求解（2）由的面积为，可推得，并且的外接圆半径为，结合正弦定理，可得，再运用余弦定理，即可求解【解答】解：（1）由正弦定理及，得，即，（2）为等边三角形理由如下：，即，的外接圆半径为，由余弦定理得，即，由得，为等边三角形【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题19（12分）如图，在四棱锥中，平面，（1）证
23、明：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法【分析】（1）在梯形中，过点作于点，利用勾股定理证明，由平面，可得，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可【解答】（1）证明：在梯形中，过点作于点，由题意可知，所以，则，即，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又由平面，所以平面平面；（2）解：因为，两两垂直，所以以为原点，以，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系，可得，0，0，1，2，0，所以，设平面的法向量为
24、，则，取，则，则，平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题20（12分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量
25、细化打分，根据他们的服务质量得分分成以下6组：，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）市外卖派送人员的服务质量得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数若市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间，的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数的可抽奖2次，反之只能抽奖1次在每次抽奖中，若中奖，则补助200元次，若不
26、中奖，则只补助100元次，且假定每次中奖的概率均为问：哪一种补助方案补助总金额更低参考数据：若随机变量服从正态分布，即，则，【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】（1）由频率分布直方图列出组中值与频率的表格，由平均数的计算公式求解即可；（2）利用正态分布曲线的对称性求出服务质量得分位于区间，的概率，再由频率、频数与样本容量的关系求解即可；（3）先求出方案一所补助的费用，对于方案二，设一个人所得补助为元，先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解，再比较大小即可【解答】解：（1）由题意知：中间值4
27、55565758595概率0.10.150.20.30.150.1所以样本平均数为所以这200名外卖派送人员服务质量的平均得分为70.5；（2）由（1）可知，故，所以，而，故2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间，的人数约为（人；（3）按方案一：所补助的总费用为（元；按方案二：设一个人所得补助为元，则的可能取值为100，200，300，400，由题意知，所以的分布列为：100200300400则，故估算补助的总金额为：（元又，所以选择方案二补助的总金额更低【点评】本题考查了平均数计算公式的应用，正态曲线对称性的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力
28、与化简运算能力，属于中档题21（12分）已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导得，当时，令，令，即可得的单调区间（2）不等式转化为恒成立，即对恒成立，设，只需要，即可得得出答案【解答】解：（1）的定义域为，所以，当时，令，得，令，得，或在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减（2）由，得，当时，即对恒成立，设，则，设，则，在上单调递增，即，在上单调递减，在上单调递增，（1），的取值范围是，【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题22（12分）已知圆与抛物线
29、相交于，两点，且（1）求的标准方程；（2）过点的动直线交于，两点，点与点关于原点对称，求证：【考点】直线与抛物线的综合【分析】（1）由已知求得抛物线与圆的交点坐标，代入抛物线方程求得，则的标准方程可求；（2）由题意设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式求得，即可证明【解答】（1）解：由题意得圆心到弦的距离，则由拋物线和圆的对称性可得，两点的坐标分别为，代入的方程可得，解得，的方程为；（2）证明：当直线垂直于轴时，不适合题意；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，联立方程，可得，要证明，只需要证，而，【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/6 22:00:08；用户：18173447192；邮箱：18173447192；学号：22161184
