1、第15讲 导数的意义及运算 课标要求考情风向标1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数仅限于形如f(axb)的导数.5.会使用导数公式表 本节复习时，应充分利用实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则对某些函数进行求导 y1x，y x的导数.1.函数导数的定义一般地，函数 yf(x)
2、在 xx0 处的瞬时变化率是limx0yxlimx0fx0 xfx0 x，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y0 x x，即 f(x0)limx0yxlimx0fx0 xfx0 x.2.导数的几何意义和物理意义(1)导数的几何意义：函数yf(x)在x0处的导数f(x0)的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是ss(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度为vs(t0)；如果物体运动的速度随时间变化的规律是vv(t)，则该物体在时刻
3、t0的瞬时加速度为av(t0).原函数导函数f(x)c f(x)_ f(x)x(Q*)f(x)_(Q*)f(x)sin x f(x)cos x f(x)cos x f(x)_ f(x)ax(a0)f(x)axln a(a0)f(x)ex f(x)_ f(x)logax(a0，且a1)f(x)ln x f(x)_ 3.基本初等函数的导数公式表f(x)1xln a(a0，且 a1)0 x1sin xex1x4.运算法则u(x)v(x)u(x)_v(x)；u(x)v(x)_；uxvx uxvxuxvxvx2v(x)0.u(x)v(x)u(x)v(x)C31.已知函数f(x)42x2，则f(x)()A
4、.4xB.8xC.82xD.16x2.(2018年新课标)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则 a_.3.若 f(x0)3，则0limhfx0hfx0hh()A.3 B.6 C.9 D.12B解析：f(x0)3，则0limhfx0hfx0hh0limhfx0hfx0fx0fx0hh0limhfx0hfx0h0limh fx0hfx0h 2f(x0)6.4.(2019 年新课标)曲线 y2sin xcos x 在点(，1)处的切线方程为()CA.xy10C.2xy210B.2xy210D.xy10解析：y2sin xcos x，f(x)2cos xsin x，则 kf()2c
5、os sin 2，在点(，1)处的切线方程为 y12(x)，2xy210.考点 1 导数的概念A.B.C.D.例 1：(1)设 f(x)在 x0 处可导，下列式子与 f(x0)相等的是()limx0fx0fx02x2x；limx0fx0 xfx0 xx；limx0fx02xfx0 xx；limx0fx0 xfx02xx.解析：limx0fx0fx02x2xlimx0fx02x2xfx02x2xf(x0)；limx0fx0 xfx0 xx2limx0fx0 x2xfx0 x2x2f(x0)；正确.故选 B.答案：Blimx0fx02xfx0 xxlimx0fx0 xxfx0 xxf(x0)；li
6、mx0fx0 xfx02xx3limx0fx02x3xfx02x3x3f(x0).(2)已知函数 f(x)axln x1(aR)，若满足limx0f1xf1x 2，则 a_.答案：2解析：limx0f1xf1x2f(1)，f(x)axln x1，f(x)aln xa，f(1)a2.【规律方法】本题需直接变换出导数的定义式limk0fx0kfx0kf(x0).其中 k(一般用 x 表示)可正可负，定义式的关键是一定要保证分子与分母中 k 的一致性.考点 2 导数的计算例 2：(1)(2018 年天津)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则 f(1)的值为_.答案：e解析：由
7、函数的解析式，可得 f(x)exln xexx，f(1)e1ln 1e11e.(2)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)(A.1C.1B.eD.e答案：A解析：f(x)2xf(1)ln x，f(x)2f(1)1x，f(1)2f(1)1，f(1)1.(3)设函数 f(x)在(0，)内可导，其导函数为 f(x)，且f(ln x)xln x，则 f(1)_.解析：f(ln x)xln x，令ln xt，xet，则f(t)ett，即f(x)exx.又f(x)ex1，f(1)e1.答案：e1【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和
8、、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自 变量是什么，对谁求导，如f(x)x2sin 的自变量为x，而f()x2sin 的自变量为.考点 3 导数的意义考向 1 导数的物理意义例 3：(1)一个物体的运动方程为 s1tt2，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是()A.7 米/秒C.5 米/秒B.6 米/秒D.8 米/秒解析：s(t)2t1，s(3)2315.答案：C(2)某市在一次降雨过程中，降雨量 y(mm)与时间 t(min)的函数关系可近似地
9、表示为 yf(t)10t，则在时刻 t40 min 的降雨强度为()A.20 mm B.400 mmC.12 mm/min D.14 mm/min 答案：D解析：f(t)12 10t10 510t，f(40)540014.考向 2 导数的几何意义例 4：(1)(2017 年新课标)曲线 yx21x在点(1,2)处的切线方程为_.在点(1,2)处的切线方程为 y21(x1)，即 yx1.解析：yf(x)x21x，则 f(x)2x1x2.f(1)211.答案：yx1C.ae1，b1 D.ae1，b1(2)(2019年新课标)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为 y2xb，则(A
10、.ae，b1)B.ae，b1解析：yaexlnx1，ky|x1ae12，ae1.将(1,1)代入 y2xb 得 2b1，b1，故选 D.答案：D(3)(2019年新课标)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_.解析：y3(x2x)ex，y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，k3(02301)e03.答案：y3x(4)(2018年新课标)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y2xC.y2xB.yxD.yx解析：函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，则a1，f(x)x3x，f(x)3x21
11、，f(0)1.则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx.故选 D.答案：D(5)(2019 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线yln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_.解析：设点 A(x0，y0)，则 y0ln x0.又 y1x，当 xx0 时，y1x0，点 A 在曲线 yln x 上的切线为 yy01x0(xx0)，即 yln x0 xx01，考查函数 H(x)xln x，当 x(0,1)时，H(x)0，且 H(x)ln x1，当 x1 时，H(x)0，H(x)单调递增，注意到H(e)e，故x0ln
12、x0e存在唯一的实数根x0e，此时 y01，故点 A 的坐标为 A(e,1).答案：(e,1)代入点(e，1)，得1ln x0ex0 1，即 x0ln x0e.【规律方法】求曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)，即函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).易错、易混、易漏混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 例题：已知曲线 f(x)x3x，则：(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为_；(2)曲线过点(1,0)的切线方程
13、为_.解析：f(x)3x21.(1)曲线在点(1,0)处的切线的斜率为 kf(1)2.又切点为(1,0)，所求切线方程为 y2(x1)，即 2xy20.答案：(1)2xy20(2)2xy20 或 x4y10(2)设切点为 P(x0，x30 x0)，则 k 切f(x0)3x201.所求切线方程为 yx30 x0(3x201)(xx0).又切线过点(1,0)，x30 x0(3x201)(1x0).解得 x01 或12.故所求切线方程为 y2(x1)或 y14(x1)，即 2xy20 或 x4y10.【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公
14、共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysin x 相切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公 共点，显然直线 x1 不是切线”.(2)求曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)，即函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(3)求曲线 yf(x)过点 P(x0，f(x0)(该点不一定为切点)的切线方程，其方法如下：设切点 A(xA，yA)，求切线的斜率 kf(xA)；利用斜率公式 kfx0yAx0 xA f(xA)建立关于 xA 的方程，解出 xA，进而求出切线方程.1.导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速度，代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等.3.过点求切线方程应注意该点是否为切点，特别提醒：求“在某点处的切线方程”时，该点为切点；求“过某点的切线方程”时，该点有可能是切点，也有可能不是切点.4.求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如 f(x)x2sin 的自变量为 x，而 f()x2sin 的自变量为.2.导数 f(x0)limx0yxlimx0fx0 xfx0 x.
