1、安徽省示范高中培优联盟 2020 年春季联赛（高二）数学（文科）试题答案选择题：1-12 CABBACCDDA CB1.C【解析】1,2,3,4,5,6,7U，2,4,6UM，U MN4,62.A【解析】1i2i1i13i2i2i2i5，所以13i55z 对应的点位于第一象限3.B【解析】不妨令 xy，则,x y 的不同取值有1,2，1,3，1,4，1,5，2,3，2,4，2,5，3,4，3,5，4,5 共 10 种，其中满足5xy的有1,2，1,3，1,4，2,3 共4 种，所以事件5xy的概率为 40.410 4.B【解析】方程2210axx 有两个不同实根 1a 且0a，所以“1a ”是
2、“方程2210axx 有两个不同实根”的必要不充分条件5.A【解析】对于选项 A，甲的逻辑推理能力指标值为 4，乙的逻辑推理能力指标值为 3，所以甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力，故 A 正确；对于选项 B，甲的数学建模能力指标值为 3，乙的直观想象能力指标值为 5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模 能 力 指 标 值，故 B 错 误；对 于 选 项 C，甲 的 六 维 能 力 指 标 值 的 平 均 值 为123(434534)66 ，乙的六维能力指标值的平均值为 1(543543)46，2346，故 C 错误；对于选项 D，甲的数学运算能力指标值为 4，甲的直观想象能力指标值
3、为 5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故 D 错误故选 A.6.C【解 析】设ABa，ACb，则3a，4b，6a b，111222AD BEabba 22221111113462244244aba b 7.C【解析】两圆方程相减得公共弦方程为 34160 xy，圆心1 0,0C，到公共弦的距离为221616534d，所以所求弦长为2216242 4558.D【解析】21()cos3sincossin 226f xxxxx，由3222262kxk，k Z，得263kxk，k Z，所以 f x 的单调递减区间为2,63kk，k Z 可知正确；由sin 21336f ，可知
4、()f x 的图象关于直线3x 对称，所以正确；当,4x 时，2132,636x ，所以3()sin 21,62f xx，故正确9.D【解析】抛物线的标准方程为214xy，则10,16F ，准线方程为116y ，由2PF 得 00,P x y到准线的距离为 2，所以01216y，所以03116y 10.A【答案】由条件知42ab（04a），则11ba1412aa115+122aa1152122aa522（当且仅当21a 时等号成立）11.C【解析】因为sinyx和e1e1xxy都是奇函数，所以 e1sine1xxf xx是偶函数，排除 B 和 D当 x 取接近于 0 的正数时，应有 0f x，
5、所以排除 A，因此选择 C 项12.B【解析】由题，连接 OM，交 CD 与点 K，由题，OMCD，设 OKx，则2 33CDx，5KMx，六棱锥的高222225 1025 10hKMOKxxxx，223 462 343ABCDEFSxx正六边形，则212 3251033ABCDEFVShxx正六边形452 3=25103xx，令 452510f xxx，5(0,)2x，3410050fxxx，令 0fx，即4320 xx，2x，则 280f xf，则2 38 158033V，所以体积最大值为38 15 cm3。13.【答案】10m 或2em 2f m 032mm或0ln2mm10m 或2em
6、 14.【答案】8mn 因为ix，iy0,2，所以214iixy 表示的数对对222mn应的点,iix y在椭圆2214xy 的内部，且在第一象限，其面积为2 142 ，故，得8mn 15.【答案】4 77由点到直线的距离公式得圆心到渐近线的距离为b，因为圆的半径为 c，所以2222OAcba，同理2OBa因为 tanbAOxa，所以 sinbAOxc，所以AB2sinOAAOx422babacc，所 以4227abaaac，得 43bc，所 以222169cac，解得4 77cea16.【答 案】,10 x 时，e1xax e10 xax，令 e1xf xax，则 exfxa，当1a 时，0
7、fx，所以 00f xf，符合题意；当1a 时，由 0fx得lnxa（ln0a），易得0,lnxa时，0fx，所以 00f xf，这与 e10 xax 矛盾所以 a 的取值范围为,117.【解】（1）141nnna aS ，12141nnnaaS，两式相减得1214nnnnaaaa，na为正项数列，10na ，24nnaa，数列na的奇数项和偶数项分别成等差数列在141nnna aS 中令1n 得，12141a aa，11a，解得23a，故数列na为等差数列，且公差为 2，12121naann，即数列na的通项公式为21nan（5 分）（2）由（1）知121111121232 2123nnnb
8、aannnn，则121 111 111112 352 572 2123nnTbbbnn1 112 323n3 23nn（10 分）18.【解】（1）由sinsintancoscosBCABC得sinsinsincoscoscosABCABC，即sincossincosABACcossinABcossinAC，也即sincosABcossinAB=cossinACsincosAC，所 以sin ABsin CA，所 以ABCA或 +ABCA（不 成 立），所 以2BCA，则3A（6 分）（2）由正弦定理得2sinsinsinbcaBCA，所以2sinbB，2sincC因为3A，所以23CB，所以
9、2bbc224 sinsinsin3BBB2334sincossin22BBB3sin 23 1cos2BB2 3sin 233B因为203B，所以233B，所以3sin 2123B，所以 02 3sin 2+332 33B，故2bbc的取值范围为0,32 3（12 分）19.【解】（1）证明：记 AC 与 BD 交点为 O，PBPD，O 为 BD 的中点，BDOP，又 ABCD 为菱形，BDAC AC 和OP 是平面 APC 内两条相交直线，BD 平面 APC 又 BD 平面 BPD，平面 APC 平面 BPD（6 分）（2）设 POm，90APC，2ACm，又120BPD，所以60BPO，
10、所以3BOm，因为2BCAB，所以在 RtBOC中，由勾股定理得1m ，3CP 过P 作 PHAC，垂足为 H，由（1）知，BD 平面 APC，平面 APC 平面 ABCD 又平 面 APC 平 面 ABCDAC，所 以 PH 平 面 ABCD 在 RtPAC中，得32PA PCPHAC，所以三棱锥CPBD的体积CPBDV P BCDV 12P ABCDV 1123ABCDSPH1113122 3621222AC BD PH（12 分）20.【解】（1）证明：（反证法）假设存在na，1na ，2na 三项成等比数列，则21+2nnnaa a，所以21+1nnnnaaaa，所以21110nnnn
11、aaaa ，解得1152nnaa ，由条件可知Fibonacci 数列的所有项均大于 0，所以1152nnaa ，又 Fibonacci 数列的所有项均为整数，所以1nnaa 应该为有理数，这与1152nnaa （无理数）矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立（6 分）（2）证明：由条件得2nnba，21222nnnaaa，所以224232222212222222212233nnnnnnnnnnnnnbaaaaaaaaaabb，即213nnnbbb，所以211353535222nnnnbbbb，所以22211352nnnnbHbbHb，所以21nnbHb 为等比数列，公比为 352（12 分）2
12、1.【解】（1）设椭圆焦距为 2c，则32ca，又222cab，得2ab，所以C 的方程化为222214xybb，将31,2M 代入解得1b ，所以椭圆 C 的标准方程为2214xy （4 分）（2）设11,A x y，22,B xy将直线 PA 的方程11yk x 与椭圆方程2214xy 联立，解得1121814kxk，211211414kyk，同理，解得2222814kxk，222221414kyk所以直线l 的斜率为2221222121122212112111222114141414118814141211414kkyykkkkkkkxxk kkkkkk，所以直线 l 的方程为11211
13、21yyxxk，即2112221118141141421kkyxkkk（*）取0k，得直线1yx，取1k ，得直线1799yx，联立两直线解得交点2,1，经检验，2,1符合方程（*），所以直线 l 过定点2,1（12 分）22.【解】（1）()f x 的定义域为 R，()xfxea0a 时，()0fx，则()f x 在 R 是单调递增；0a 时，由()0fx得lnxa，当lnxa时，()0fx，()f x 单调递减；当lnxa时，()0fx，()f x 单调递增综上，0a 时()f x 在 R 是单调递增；0a 时，()f x 在,lna单调递减，在ln,a 单调递增（5 分）（2）()0g x ln30 xexx，令()ln3xexxx，则21()xexxxx，令()1xp xexx，显然 01x 时，()0p x，1x 时，()10 xp xxe，易知存在唯一11x ，使1()0p x，且10,xx时，()0p x，即()0 x，()x单调递减；1,xx时，()0p x，即()0 x，()x单 调 递 增，所 以()x至 多 有 两 个 零 点 又1()22ln230e，(1)30e，33(3)ln335033ee，故()x在区间1,12 和1,3 各有一个零点所以，函数()g x 有且只有两个零点（12 分）
