1、第3节 简谐运动的回复力和能量1掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念和特点。2知道简谐运动中机械能守恒，能量大小与振幅有关。3会分析水平弹簧振子中动能、势能的变化规律，能定性地说明势能与动能的转化过程。4掌握简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等各物理量的变化规律。01课前自主学习 一、简谐运动的回复力1简谐运动的动力学定义：如果质点在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 ，并且总是 平衡位置，质点的运动就是简谐运动。2回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向 ，总是指向 ，它的作用是使振子能够 平衡位置。3表达式：，即回复力的大小与物体的位移大小成正比，表示回复力
2、与位移方向始终相反，k 是常数。对于弹簧振子，k 为弹簧的 。01 正比02 指向03 相反04 平衡位置05 回到06 Fkx07 负号08 劲度系数二、简谐运动的能量1振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程。(1)在最大位移处，最大，为零。(2)在平衡位置处，最大，最小。01 动能02 势能03 势能04 动能05 动能06 势能2简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型。3对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，越大，机械能越大。07 守恒08 理想化09 振幅判一判
3、(1)简谐运动是匀变速运动。()(2)简谐运动的回复力总是指向平衡位置。()(3)简谐运动的回复力可以是恒力。()(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此机械能一定为零。()(5)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。()(6)回复力的方向总是与速度的方向相反。()(7)弹簧振子位移最大时，势能也最大。()想一想(1)公式 Fkx 中的 k 是否就是指弹簧的劲度系数？提示：不一定。做简谐运动的物体，其回复力 Fkx，这是判断物体是否做简谐运动的依据，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。提示 (2)振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、速度
4、、动能、势能各物理量的关系如何？提示：振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能、势能一定相同，但速度不一定相同，速度大小一定相等，但方向可能相反。提示 02课堂探究评价 课堂任务 简谐运动的回复力1回复力做简谐运动的物体受到的指向平衡位置的力，叫做回复力，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置。回复力是根据力的效果命名的，它可能由几个力的合力、某个力或某个力的分力提供。回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。2简谐运动的动力学特征：回复力 Fkx。(1)凡是满足 Fkx 的运动都是简谐运动。k 是比例系数，并非一定是弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中 k 为弹簧的劲度系数)，其值由振动系
5、统决定，与振幅无关。(2)“”号表示回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移的方向相反。(3)判断一个物体是否做简谐运动，可找出回复力 F 与位移 x 之间的关系，若满足 Fkx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动。3简谐运动的运动学特征：加速度 akx。(1)aFmkmx 可以简化为 akx。表示加速度也跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。当然 k也可以写为 k，这里用 k表示是为了与 Fkx 的比例系数相区别，kkm。(2)akx 表明简谐运动是变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。(3)判断一个振动是否为简谐运动就看它是否满足动力学特征或运动学特征。Fkx 与 akx 都可以作为判
6、断的依据。例 1 如图所示，在劲度系数为 k、原长为 l0 的一端固定的弹簧下端挂一质量为 m 的小物块，释放后小物块做上下振动，此过程中弹簧没有超出弹性限度。证明：小物块的振动是简谐运动。(1)物块在平衡位置时的受力有何特点？提示：物块在平衡位置时，所受合外力为零，即 kx0mg。提示 (2)物块运动时，回复力由谁来提供？提示：回复力由重力与弹力的合力提供。提示 规范解答 如图所示，设物块静止在平衡位置 O 时，弹簧的形变量为x0，有 mgkx0。当物块向下运动 x 时，物块所受重力与弹簧弹力的合力提供物块所需的回复力。答案 设向下为正方向，有 Fmgk(xx0)kx。可见物块所受回复力的大
7、小与位移的大小成正比，方向与位移方向相反，且指向平衡位置，因此小物块的振动是简谐运动。完美答案 见规范解答答案 判断物体是否做简谐运动的一般方法(1)通过对位移的分析，列出位移时间表达式，看看是否满足正弦函数的规律，如果满足，则物体做简谐运动。(2)对物体进行受力分析，求振动方向上的合力，看看此合力是否满足简谐运动的动力学特征 Fkx，如果满足，则物体做简谐运动。(3)由运动学规律，求解振动的加速度，利用简谐运动的运动学特征 akmx 进行判断。变式训练1如图所示，质量为 m 的物体 A 放置在质量为 M 的物体 B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中 A、B 之
8、间无相对运动，设弹簧的劲度系数为 k，当物体离开平衡位置的位移为 x 时，A、B 间摩擦力的大小等于()A0 BkxC.mMkxD.mMmkx答案 D答案 解析 以整体为研究对象，当物体离开平衡位置的位移为 x 时，回复力(即弹簧弹力)的大小为 kx，此时 m 与 M 具有相同的加速度，根据牛顿第二定律 kx(mM)a，得 akxMm。以 A 为研究对象，设使 m 产生加速度的力即为 B 对 A 的静摩擦力 F，由牛顿第二定律可得 FmamMmkx。故 D正确。解析 课堂任务 简谐运动的能量1简谐运动的能量(1)不考虑阻力，水平弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻振动系统的动能与势能之和
9、不变，即机械能守恒。(2)简谐运动的机械能的大小由振子的振幅决定对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。(3)动能、势能随位置的变化情况在最大位移处，势能最大，动能为零。在平衡位置处，动能最大，势能最小。(4)实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的物理模型。2简谐运动中各物理量的变化规律如图所示，振子以 O 为平衡位置在 A、B 之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：总结：(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。(2)平衡位置是位
10、移、加速度和回复力方向变化的转折点。(3)最大位移处是速度方向变化的转折点。例 2 如图所示，一弹簧振子在 A、B 间做简谐运动，平衡位置为 O，已知振子的质量为 M。(1)简谐运动的能量取决于_，物体振动时动能和_能相互转化，总机械能_。(2)关于振子的振动，下列说法中正确的是()A振子在平衡位置，动能最大，势能最小B振子在最大位移处，势能最大，动能最小C振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小D在任意时刻，动能与势能之和保持不变(3)若振子运动到 B 处时将一质量为 m 的物体放到 M 的上面，且 m 和 M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是()A振幅不变B振幅减小C最
11、大动能不变 D最大动能减小弹簧振子的能量由什么决定？与振子的质量有关吗？提示：弹簧振子一定时，系统的能量由振子的振幅决定，此题中就是弹簧的最大形变量，与振子的质量无关。提示 规范解答(1)振动系统一定时，系统的能量由振幅决定，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，B 正确；在振子运动的过程中，只有弹簧的弹力做功，所以任意时刻动能与势能之和不变，D 正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，A 正确；振幅的大小与振子的位置无关，C 错误。(3)振子运动到 B 点时速度恰为零，此时放
12、上 m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，故简谐运动的机械能不变，所以振幅保持不变，A 正确，B 错误；由于机械能守恒，故最大动能不变，C 正确，D 错误。完美答案(1)振幅 弹性势 守恒(2)ABD(3)AC答案 1要明确简谐运动的动能和势能的变化规律，就必须明确物体的实际振动情况。结合路径草图或振动图象，确定物体所处的位置、状态及运动过程中的速度、位移的变化规律。2做简谐运动的物体，在同一位置位移相同，回复力、加速度、动能、势能、速率也都相同，但速度方向可能相同也可能相反。关于平衡位置对称的两点，动能、势能相同，加速度、回复力大小相等、方向不同；速度大小相等，方向可能相同，也可能不同
13、。变式训练2(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的振动图象，下列说法正确的是()A在第 1 s 内，质点的速度逐渐增大B在第 1 s 内，质点的加速度逐渐增大C在第 1 s 内，质点的回复力逐渐增大D在第 4 s 内，质点的动能逐渐增大E在第 4 s 内，质点的势能逐渐增大F在第 4 s 内，质点的机械能逐渐增大答案 BCD答案 解析 在第 1 s 内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大，A 错误，B、C 正确；在第 4 s 内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，机械能守恒，D 正确，E、F 错误。解析 03课
14、后课时作业 A 组：合格性水平训练1(简谐运动的回复力)(多选)关于简谐运动的回复力公式 Fkx，下列说法正确的是()Ak 只表示弹簧的劲度系数B式中的负号表示回复力总是负值C位移 x 是相对平衡位置的位移D回复力随位移的增大而增大答案 CD答案 解析 简谐运动的回复力公式 Fkx 中，k 是比例系数，不一定表示弹簧的劲度系数，A 错误；Fkx 中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反，B 错误；位移 x 是相对平衡位置的位移，C 正确；简谐运动中，回复力随振动物体位移的增大而增大，D 正确。解析 2(简谐运动的加速度)如图所示，一弹簧振子在 A、B 间做简谐运动，O 点为平衡位置，以某
15、时刻作为计时零点(t0)，经过14周期，振子具有正方向的最大加速度，那么下列四个运动图象中能正确反映运动情况的图象是()答案 D答案 解析 从 t0 开始经过14周期，振子具有正方向的最大加速度，此时位移为负的最大值，D 正确，A、B、C 错误。解析 3(简谐运动的能量)一个做简谐运动的物体，当每次振动系统的势能相同时，下列说法中正确的是()A物体的动能相同B物体的位移相同C物体的加速度相同D物体的速度相同解析 做简谐运动的物体，系统机械能守恒，当系统的势能相同时，物体的动能一定相同，A 正确；当系统的势能相同时，物体的位移大小相同，但方向可能相同，也可能相反，同理加速度及速度的方向可能相同，
16、也可能相反，B、C、D 错误。解析 答案 A答案 4(加速度和速度)(多选)弹簧振子做简谐运动，其位移 x 与时间 t 的关系如图所示，则()A在 t1 s 时，振子的速度最大、方向为负，加速度为零B在 t2 s 时，振子的速度最大、方向为负，加速度为零C在 t3 s 时，振子的速度最大、方向为正，加速度最大D在 t4 s 时，振子的速度最大、方向为正，加速度为零E在 t5 s 时，振子的速度为零，加速度最大、方向为负答案 BDE答案 解析 在 t1 s 和 t5 s 时，位移最大，加速度最大，加速度的方向为负方向，速度为零，A 错误，E 正确；在 t2 s 时，位移为零，加速度为零，而速度最
17、大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t2 s 时，速度为负值，B正确；在 t3 s 时，位移最大，加速度最大，速度为零，C 错误；在 t4 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，D 正确。解析 5(简谐运动的回复力和加速度)做简谐运动的弹簧振子质量为 0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧 20 cm 时受到的回复力是 4 N；当它运动到平衡位置右侧 40 cm 时，它的加速度为()A20 m/s2，向右B20 m/s2，向左C40 m/s2，向右D40 m/s2，向左答案 D答案 解析 由回复力和位移的大小关系 Fkx 可知，当 x120 cm 时，F14 N，故当 x240 cm
18、时，F28 N，aF2m40 m/s2，方向指向平衡位置，因此方向向左，D 正确。解析 6(振动图象与各物理量)(多选)如图所示为一质点做简谐运动的振动图象，则关于该质点的下列说法中正确的是()A在 00.01 s 内，速度与加速度同向B在 0.010.02 s 内，速度与回复力同向C在 0.025 s 时，速度为正，加速度为正D在 0.04 s 时，速度最大，回复力为零答案 AC答案 解析 F、a 与 x 的方向始终相反，所以由 x 的正负就能确定 F、a 的正负；在 x-t 图象上，图线各点切线的斜率表示该点对应时刻的速度，由斜率的正负又可确定速度的方向。由此可知在 00.01 s 内，速
19、度为负，位移为正，加速度为负，A 正确；在 0.010.02 s 内，速度为负，位移为负，回复力为正，B 错误；在 0.025 s 时，速度为正，位移为负，加速度为正，C 正确；在0.04 s 时，位移为正向最大，回复力为负向最大，速度为零，D 错误。解析 7(周期、振幅与能量)如图，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由 a、b 两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑的水平桌面上左右振动。振幅为 A0，周期为 T0。当物块向右通过平衡位置时，a、b 之间的粘胶脱开；以后小物块 a 振动的振幅和周期分别为 A 和 T，则：A_A0，T_T0。(均填“”“”或“”)答案 答案
20、解析 小物块 a、b 通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大。向右通过平衡位置后，a 由于受到弹簧弹力做减速运动，b 做匀速运动。小物块 a 与弹簧组成的系统机械能小于原来系统的机械能，所以小物块 a 的振幅减小，AA0，由于振子质量减小，则加速度增大，而振子的最大速度大小不变，则周期减小，T”“”或“”“”或“E 乙。由题图知 T 甲4 s，T 乙2 s，则 f 甲 1T甲14 Hz，f 乙 1T乙12 Hz，故 f 甲f 乙。由加速度和位移的关系 akxm 知，加速度为正向最大的时刻也就是位移为负向最大的时刻，在 04 s 内，对于甲，加速度为正向最大的时刻为 3 s 末；对于乙，加速度为正
21、向最大的时刻为 0.5 s 末和 2.5 s 末。解析 13.(简谐运动的回复力)如图所示，将一劲度系数为 k、原长为 L0 的轻弹簧的一端固定在倾角为 的光滑斜面的顶端，另一端连接一质量为 m 的小球。将小球沿斜面拉下一段距离后松手。证明：小球的运动是简谐运动。证明 选沿斜面向上为正方向，设弹簧长度为 L1 时，小球在平衡位置 O，弹簧原长为 L0，则由平衡条件得 k(L1L0)mgsin0。当小球经过 O 点后向上振动且距 O 点为 x 处时，受力为 F 合k(L1L0 x)mgsin，整理得 F合kx，因此小球的运动是简谐运动。答案 14(简谐运动的综合应用)一质点做简谐运动，其位移和时
22、间的关系如图所示。(1)求 t0.25102 s 时的位移；(2)在 t1.5102 s 到 2102 s 的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？(3)在 t0 到 8.5102 s 时间内，质点的路程、位移各多大？解析(1)由题图可知 A2 cm，T2102 s，振动方程为xAsint2 Acost2cos22102t cm2cos100t cm当 t0.25102 s 时，x2cos4 cm 2 cm。解析 答案(1)2 cm(2)变大 变大 变小 变小 变大(3)34 cm 2 cm答案(2)由图可知在 1.51022102 s 内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。(3)从 t0 至 8.5102 s 时间内为174 个周期，质点的路程为 s17A34 cm，质点在 t0 时刻在负的最大位移处，在 t8.5102 s 时刻，质点在平衡位置处，故位移为 2 cm。解析 本课结束
