1、第7讲 正弦定理和余弦定理 课标要求考情风向标通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题三角函数与解三角形交汇命题，是近几年高考的热点，复习时应注意：1.强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用.2.本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理.3.重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题名称正弦定理余弦定理 定理中 R 是三角形外接圆的半径a2_；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C 1.正弦定理与余弦定理asin A bsin B_2R，其b2c22
2、bccos Acsin C(续表)名称正弦定理余弦定理变形(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(3)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2Rcos Ab2c2a22bc；cos Ba2c2b22ac；cos Ca2b2c22ab名称正弦定理余弦定理应用已知两角及任一边，求其他边或角；已知两边及一边对角，求其他边或角已知两边及夹角，求其他边或角；已知三边，求三个角(续表)(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R 12(abc
3、)r角的分类A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin A bsin Aab 解的个数一解两解一解一解3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：1.(2017年新课标)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B_.解析：方法一，由 2bcos Bacos Cccos A得 2sin Bcos Bsin Acos Ccos Asin Csin(AC)sin B，又 sin B0，得 cos B12，B3.答案：3方法二，由 2bcos Bacos Cccos A得 2bcos Baa2b2c22abcb2c2a22bc2b22b b
4、，得 cos B12，B3.2.(2015 年安徽)在ABC 中，AB 6，A75，B45，则 AC_.3.(2018 年新课标)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.若ABC 的面积为a2b2c24，则 C()A.2B.3C.4D.6 2C4.(2019 年上海)在ABC 中，AC3，3sin A2sin B，且cos C14，则 AB_.解析：3sin A2sin B，由正弦定理可得 3BC2AC，由 AC3，可得 BC2，10cos C14，由余弦定理可得143222AB2232，解得 AB 10.考点 1 正弦定理与余弦定理考向 1 正弦定理例 1：(1)(2017 年新
5、课标)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c2，则 C()A.12B.6C.4D.3 答案：B解析：由题意，得 sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，得sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，即 sin C(sin Acos A)2sin CsinA4 0.A34.由正弦定理 asin Acsin C，得2sin342sin C，即 sin C12.即得 C6.故选 B.(2)(2019年新课标)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 bsin A
6、acos B0，则 B_.解析：bsin Aacos B0，即 bsin Aacos B，即 sin Bsin Asin Acos B，sin Bcos B，答案：34tan B1，则 B34.(3)(2017 年新课标)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 C60，b 6，c3，则 A_.答案：75解析：由csin C bsin B 3326sin Bsin B 22，B45或 B135(舍),则 A75.(4)(2015 年新课标)在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2，则 AB 的取值范围是_.解析：如图 D19，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A
7、与 D 重合于 E 点时，AB 最长，在BCE 中，BC75，E30，BC2，由正弦定理，可得BCsin EBEsin C，即2sin 30 BEsin 75.解得 BE 6 2.平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F.在BCF 中，BBFC75，图 D19FCB30，由正弦定理知，BFsin FCBBCsin BFC，即 BFsin 302sin 75.解得 BF 6 2.AB 的取值范围为(6 2，62).答案：(6 2，6 2)【规律方法】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式
8、子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.考向 2 余弦定理例 2：(1)(2016 年新课标)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A.2B.3C.2 D.3答案：D解析：由余弦定理，得 5b242b223.解得 b3b13，舍去.故选 D.(2)(2014 年新课标)钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC()A.5 B.5C.2 D.1答案：B解析：S12ABBCsin B121 2sin B12，
9、sin B 22.B4或34.当 B34 时，根据余弦定理有 AC2AB2BC22ABBCcos B1225.AC 5，此时ABC 为钝角三角形，符合题意；当 B4时，根据余弦定理有 AC2AB2BC22ABBCcos B1221.AC1，此时 AB2AC2BC2，ABC 为直角三角形，不符合题意.故 AC 5.A.6B.5C.4D.3(3)(2019 年新课标)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 asin Absin B4csin C，cos A14，则bc()解析：asin Absin B4csin C，得a2b24c2，a2b2答案：A4c2，cos Ab2c2a2
10、2bcb2c2b24c22bc3c2b14，则bc6.【规律方法】在解三角形时，余弦定理可解决两类问题：已知两边及夹角或两边及一边对角，求其他边或角；已知三边，求三个角.考向 3 正弦定理与余弦定理的综合应用例 3：(2018 年新课标)在平面四边形ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cosADB；(2)若 DC2 2，求 BC.解：(1)在ABD 中，由正弦定理，得 BDsinAABsinADB.由题设知，5sin 452sinADB，sinADB 25.由题设知，ADB90，cosADB1 225 235.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB 25.在B
11、CD 中，由余弦定理，得BC2BD2DC22BDDCcosBDC258252 2 25 25.BC5.【规律方法】有关三角函数知识与解三角形的综合题是高考题中的一种重要题型，解这类题，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.一般步骤为：先利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为只含有 角的关系；再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公式将三角函数化简及求值.【跟踪训练】1.已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c3，3a6sin A，ABC 的面积 S 3，则 ab()A.21B.17C.29D.5答案：A解析：在ABC 中，c3，
12、3a6sin A，csin C asin A 63，则 sin C 32，C3.又 S12absin 3 3，知 ab4.由余弦定理，32a2b22abcos 3(ab)23ab.(ab)293ab21，故 ab 21.考点 2 三角形的面积问题例 4：(2014 年新课标)四边形ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求角 C 和 BD；(2)求四边形 ABCD 的面积.解：(1)由题设及余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C.由，得 cos C12.C60.BD254127，即
13、 BD 7.(2)四边形 ABCD 的面积S12ABDAsin A12BCCDsin C12121232 sin 602 3.【跟踪训练】2.(2018 年新课标)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC 的面积为_.解析：bsin Ccsin B4asin Bsin C2sin Bsin C4sin Asin Bsin Csin A12，b2c2a28，cos Ab2c2a22bc82bc 32，bc8 33，则ABC 的面积为12bcsin A128 33 122 33.2 33思想与方法转化与化归思
14、想判断三角形的形状例题：(1)在ABC 中，如果 sin A2sin Ccos B，那么这个三角形是()A.锐角三角形C.等腰三角形B.直角三角形D.等边三角形解析：sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，而 sin A2sin Ccos B，2sin Ccos Bsin Bcos Ccos Bsin C，即 sin Ccos Bsin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C0sin(BC).又B，C是ABC的内角，BC.故ABC是等腰三角形.答案：C(2)已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2b2)sin(A
15、B)(a2b2)sin(AB)，则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：方法一，已知等式可化为ABC 为等腰三角形或直角三角形.即 AB 或 A2B.a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A.由正弦定理知上式可化为 sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin 2Asin 2B，由02A2，02B2.得2A2B或2A2B，答案：D方法二，同方法一可得 2a2cos Asin B2b2sin Acos B.a2bc2b2a22bcb2aa
16、2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2).即(a2b2)(a2b2c2)0.ab 或 a2b2c2.ABC 为等腰三角形或直角三角形.【规律方法】三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a2Rsin A，a2b2c22abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角 关系，如sin Asin BAB；sin(AB)0AB；sin 2Asin 2BAB 或 AB2等.行判断.(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能.(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边
17、，如 sin A a2R，cos Ab2c2a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进【跟踪训练】3.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定解析：方法一，bcos Cccos Bba2b2c22abca2c2b22ac2a22a aasin A，sin A1，即 A2.ABC 为直角三角形.故选 A.方法二，由 bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A.sin(BC)sin Asin Asin A.A
18、BC 为直角三角形.故选 A.答案：Asin A1，即 A2.4.(2018年河南鹤壁调研)在ABC中，角A、B、C对边分别为a，b，c，若cb(cos Acos B)，则ABC为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：由题意知 sin Csin B(cos Acos B)，sin Acos Bcos Asin Bsin Bcos Asin Bcos B，cos B(sin Asin B)0，cos B0 或 sin Asin B，又 0A，B，ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D.B2或 AB，答案：D1.解三角形时，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.2.在三角形中，若“角角定角”，不定的角将受到双重限制.3.三角形中任意一边的长，受到三重限制，当已知三边大小的关系时，如：abc，则只要 bca 即可.4.已知三角形的两边和其中一边的对角，在利用正弦定理解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类题型也可利用余弦定理求解).
