1、第九章 概率与统计 第1讲 随机事件的概率 课标要求考情风向标1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查.复习时应借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率1.随机事件和确定事件(1)在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必然事件.(2)在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的不可能事件.(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件.(4)在条件
2、 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A，B，C表示.2.频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)_为事件 A 出现的频率.(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数附近，把这个常数记作P(A)，则称 P(A)为事件 A 的概率，简称为 A 的概率.nAn关系与运算定义符号表示包含关系若事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称
3、事件 B 包含事件 A(或称事件 A包含于事件 B)BA(或 AB)相等关系若 BA，且 AB_并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)AB(或 AB)3.事件的关系与运算AB关系与运算定义符号表示交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若 AB 为不可能事件，则事件 A 与事件 B 互斥AB 对立事件若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件P(AB)P(A)P(B)1
4、(续表)4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率 P(E)_.(3)不可能事件的概率 P(F)_.(4)互斥事件概率的加法公式：若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)；若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1P(B).(5)对立事件的概率：P(A)_.101P(A)1.从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为()BA.15B.25C.825D.9252.(2019 年全国)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12解析：两位男同学和两位女同学排成一列
5、，男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，两位女生相邻与不相邻的概率均是12.故选 D.D3.(2018 年新课标)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.74.(2016 年天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13BA考点 1 事件的概念及判断例 1：(1)一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出 1 个球.“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？“取出的球是黑
6、球”是什么事件？它的概率是多少？“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少？解：由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”不可能发生，因此，它是不可能事件，其概率为0.由已知，从口袋内取出 1 个球，可能是白球也可能是黑由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出 1 个球不是黑球，就是白球.因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是 1.球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率为38.(2)从 6 名男生、2 名女生中任取 3 人，则下列事件中的必然事件是()A.3 人都是男生C.3 人都是女生B.至少有 1 名男生D.至少有 1 名女生答案：B【规律方
7、法】一定会发生的事件叫做必然事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.考点 2 随机事件的频率与概率例 2：(1)(2019 年新课标)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8解析：由题意得，阅读过西游记的学生人数为 908060
8、70，则其与该校学生人数之比为 701000.7.故选 C.答案：C顾客人数/人商品甲乙丙丁1002172003008598(2)某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.估计顾客同时购买乙和丙的概率；估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 20010000.2.从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 1
9、00 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品，顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为10020010000.3.与同理.可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 20010000.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为10020030010000.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 10010000.1.如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.【规律方法】概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠
10、近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.考点 3 互斥事件、对立事件的概率例 3：(1)装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出2 个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是()“两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球至少有一个白球”.A.C.B.D.解析：从口袋内一次取出 2 个球，这个试验的基本事件空间(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含 6 个基本事件，当事件 A“两球都为白球”发生时，不可能发生，且 A 不发生时，不一定发生，不一定发生，故非对立事件，而 A 发生时，可以发生，故不是互斥事件.答案：A(2)(2019
11、 年新课标)11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 1010 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 1010 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.求 P(X2)；求事件“X4 且甲获胜”的概率.解：X2 就是 1010 平后，两人又打了 2 个球该局比赛结束，则这 2 个球均由甲得分，或者均由乙得分.因此 P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.X4 且甲获胜，就是 1010 平后，两人又打了 4 个球
12、该局比赛结束，且这 4 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1 分，后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(1 0.4)(10.5)0.40.50.40.1.(3)现有 7 名亚运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3 通晓日语，B1，B2 通晓韩语，C1，C2 通晓印度语.从中选出通晓日语、韩语和印度语的志愿者各 1 名，组成一个小组.求 A1 恰被选中的概率；求 B1 和 C1 不全被选中的概率.解：从 7 人中选出日语、韩语和印度语志愿者各 1 名，所有可能的结果组成的基本事件有：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1
13、)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，共 12 个.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件，事件 M 包含以下 4 个基本事件：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，因而 P(M)41213.A1 恰被选中的概率为13.用 N 表示“B1，C1 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“B1，C1 全被选中”这一事件.事件 N 包含以下 3 个基本事件：
14、(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，P(N)31214.由对立事件的概率公式，得P(N)1P(N)11434.B1 和 C1 不全被选中的概率为34.【规律方法】求复杂的互斥事件的概率的两种方法：(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算.(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反).特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.一次购物量1 至4 件5 至8 件9 至12 件13 至16 件17 件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分
15、/人)11.522.53易错、易混、易漏正难则反求互斥事件的概率例题：某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率)思维点拨：若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解.解：(1)由已知，得 25y1055，x3045，x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体
16、，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：1151.5302252.5203101001.9(分钟).(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”，将频率视为概率得 P(A1)2010015，P(A2)10100 110.P(A)1P(A1)P(A2)115 110 710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 710.【易错提示】(1)对统计表的信息不理解，错求 x，y，难以用样本平均数估计总体.(2)不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.1.互斥事件与对立事件的概念问题，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，即对立事件是特殊的互斥事件.当含有“至多”“至少”等字眼时，可考虑间接法求解.2.从集合角度理解互斥和对立事件：从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集.
