1、第2讲 同角三角函数的基本关系式与 诱导公式 课标要求考情风向标本节复习时应紧扣住三角函数的定义，理解同角三角函数关系式和诱导公式；观察分析这些公式特征，掌握记忆诀窍；通过基本题型，掌握解题规律1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式2，的正弦、余弦、正切.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 xcos2x1，sin xcos xtan x1.同角三角函数关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：sin cos tan.组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin _sin sin cos cos 余弦cos cos _cos sin sin 正切tan tan tan _
2、口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限2.六组诱导公式22sin cos tan 1.设函数 f(x)sin2x2，xR，则 f(x)是()A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数B解析：f(x)cos 2x 是最小正周期为的偶函数.故选 B.3.(2016 年四川)sin 750_.2.已知 是第二象限角，sin 513，则 cos()A.1213B.513C.513D.1213A124.已知 是第二象限的角，tan 12，则 cos _.解析：tan 12，可在角 终边上取一点 P(2，1)，则|OP|2212 5，co
3、s 25 2 55.2 55考点 1 诱导公式例 1：(1)(2017 年新课标)函数 f(x)15sinx3 cosx6的最大值为()A.65B.1 C.35D.15答案：A解析：f(x)15sinx3 cosx6 15sinx3 cos6x15sinx3 cos2x315sinx3 sinx365sinx3，最大值为65.故选 A.(2)(2017 年北京)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin 13，则 sin _.解析：角 与角 它们的终边关于 y 轴对称，2kkZ，sin sin 13.答案：13 A.1C.3B.2D.4(
4、3)(2016 年上海)设 aR，b0,2.若对任意实数 x 都有sin3x3 sin(axb)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为()注意到 b0,2，只有这两组.故选 B.解析：sin3x3 sin3x32 sin3x53，(a，b)3，53，又 sin3x3 sin3x3sin3x43，(a，b)3，43，答案：B考点 2 同角三角函数基本关系式考向 1 三角函数求值例 2：(1)(2019 年新课标)已知 0，2，2sin 2cos 21，则 sin()A.15B.55C.33D.2 55 解析：2sin 2cos 21，即4sin cos 2cos2，则 2sin cos，答案
5、：B联立2sin cos，sin2cos21，得 sin 55，又 0，2，sin 55.(2)(2015 年福建)若 sin 513，且 为第四象限角，则tan 的值等于()A.125B.125C.512D.512答案：D解析：由 sin 513，且 为第四象限角，得 cos 1sin21213.则 tan sin cos 512.故选 D.(3)若 是第二象限角，tan 512，则 sin()A.15B.15 C.513D.513答案：C解析：tan 512，sin cos 512.sin2cos21，sin2125 sin 21，sin 513.又 为第二象限角，sin 513，故选 C
6、.【规律方法】已知sin，cos，tan 三个三角函数值中的一个，就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时，符号的选择要看属于哪个象限，这是易出错的地方，应引起重视.而当 角的象限不确定时，则需分象限讨论，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.考向 2 化简例 3：化简：12sin 10cos 10cos 10 1cos210.【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形，注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧，对于有平方根的式子，去掉根号的同时加绝对值号再化简.解：原式 sin 10cos 102cos 10|sin 10|sin 10cos 10|cos 10sin 10
7、cos 10sin 10cos 10sin 101.考向 3 证明例 4：求证：tan sin tan sin tan sin tan sin .证明：方法一，右边tan2sin2tan sin tan sin tan2tan2cos2tan sin tan sin tan21cos2tan sin tan sin tan2sin2tan sin tan sin tan sin tan sin 左边.原等式成立.左边右边，原等式成立.方法二，左边tan sin tan tan cos sin 1cos，右边tan tan cos tan sin 1cos sin 1cos2sin 1cos s
8、in2sin 1cos sin 1cos.方法三，tan sin 0，tan sin 0，要证原等式成立，只要证tan2sin2tan2sin2成立，而tan2sin2tan2(1cos2)tan2(tan cos)2tan2sin2，即tan2sin2tan2sin2成立，原等式成立.【规律方法】证明三角恒等式，可以从左向右证，也可以从右向左证，证明两端等于同一个结果，对于含有分式的还可以考虑应用比例的性质.考点 3 诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合应用考向 1 sin cos 型例 5：(1)(2018 年山东师大附中模拟)已知20，sin cos 15，则1cos2sin2的值为(
9、)A.75B.725 C.257 D.2425解析：方法一，sin cos 15，(sin cos)2 125，sin cos 1225，又 2，0，sin 0，cos sin sin cos 2 12sin cos 75.1cos2sin21cos sin cos sin 257，故选 C.答案：C方法二，由方法一知sin cos 15，sin cos 75，得cos 45，sin 35.tan sin cos 34.1cos2sin2sin2cos2cos2sin21tan21tan21 9161 916257，故选 C.(2)(2017年四川雅安模拟)已知sin cos 43，0，4，则
10、 sin cos 的值为()A.23B.13C.23D.13 答案：C解析：(sin cos)2169，12sin cos 169，2sin cos 79，则(sin cos)212sin cos 17929，可得 sin cos 23.又0，4，sin cos，sin cos 23.故选 C.【规律方法】(1)题中两种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用.利用已知条件 sin cos 15和公式 sin2 cos2 1 可列方程组解得 sin cos，sin cos，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求 sin，cos.各解法中均要注意条件 2，0 的运用，谨防产生增解.【跟踪训练】
11、1.若 1sin 1cos 3，则 sin cos()A.13B.13C.13或 1D.13或1答案：A解析：由 1sin 1cos 3，可得 sin cos 3sin cos，两边平方，得 12sin cos 3sin2cos2，解得 sin cos 13或 sin cos 1.由题意，知1sin 1，1cos 1，且sin 0，cos 0，sin cos 1.故选 A.考向 2 齐次型例 6：(1)(2016 年新课标)若 tan 34，则 cos22sin 2()A.6425B.4825C.1 D.1625 解析：方法一，由 tan 34，得cos22sin 2cos22sin 2sin
12、2cos2 cos24sin cos cos2sin2cos2cos214tan 1tan2 14341 9166425.答案：A方法二，由 tan 34，得sin 35，cos 45，或sin 35，cos 45.cos22sin 2cos24sin cos 1625412256425.(2)(2018 年新课标)已知角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 223，则|ab|()A.15B.55C.2 55D.1答案：B解析：tan a1b2，b2a.cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan2
13、23，3(1tan2)2(1tan2)，5tan21，解得 tan 55.|ab|a|tan|55.(3)若 sin 2cos 25(0)，则 tan _，cos24 _.解析：sin 2cos 25sin24cos24sin cos sin2cos2 425tan244tan tan21 425tan 43或 tan 247，当 tan 247 时，sin 2cos 25，sin cos 247，sin 2425，cos 725，不合题意，舍去.同理当 tan 43时，sin 45，cos 35，此时 cos24 22(cos 2sin 2)22(cos2sin22sin cos)17502
14、.答案：43 17502【规律方法】我们注意到(1)中方法一的分子、分母是关于sin ，cos 的二次齐次式，因此在它的分子、分母上同除以 cos2(cos 0)，就转化成用tan 表示，因此很容易求出其值；(2)中把分母看作1，并用sin2cos2来代替，因而进行与(1)形如asin2bsin cos ccos2的式子，可把分母看作1，进 而将1sin2cos2代入，转化为关于tan 的函数后再求值.类似的转化即可.已知 tan 的值，求形如msin ncos msin ncos 的式子的值时，可利用 tan sin cos 把上式转化为mtan nmtan n求值；而对【跟踪训练】2.若点
15、(，0)是函数 f(x)sin x3cos x 的一个对称中心，则 cos 2sin cos()A.1110B.1110C.910D.910B解析：点(，0)是函数 f(x)sin x3cos x 的一个对称中心，有 f()sin 3cos 0，tan 3，则 cos 2sin cos cos2sin2sin cos cos2sin21tan2tan 1tan2193191110.故选 B.3.已知倾斜角为的直线 l 与直线 x2y30 垂直，则sin 2的值为()A.35B.45C.15D.15B解析：由已知 tan 2，sin 22sin cos 2sin cos sin2cos22tan
16、 tan2145.1.诱导公式主要用于统一角：(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值.(2)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.2.同角三角函数基本关系可用于统一函数，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan xsin xcos x进行切化弦或弦化切，如asin xbcos xcsin xdcos x，asin2xbsin xcos xccos2x 等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin cos)212sin cos 的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.sin21 1tan2 tan 4.
