1、数学试题答案（理科）第页（共 9 页）1淮南市 2020 届高三第二次模拟考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第 I 卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号123456789101112答案BABBCBCACCBD第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.12 nna.14.12a .15.29|AB|1642cosSEF.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分.17.（本小题满分 12 分
2、）解析：（）由sin2sin3 cosABA，得31sincossin22BAAsinsin 3BA.2 分所以3BA，或233BABA.3 分因为 B 为锐角，所以3BA，即3BA，故23C.5 分数学试题答案（理科）第页（共 9 页）2（）由8 BCAB，得cos()8cos8caBcaB .因为2a，所以 cos4cB.7 分根据正弦定理，sinsinacAC，及3AB，23C，2a，得23sin32cB，所以sin33cB，31cossin322cBcB.10 分代入，得12 3sin32 cB，所以 sin2 3cB.所以 ABC的面积等于 11sin2 2 32 322acB .1
3、2 分另解（酌情给分）：由8 BCAB，得cos()8cos8caBcaB .因为2a，所以 cos4cB 7 分作BCAD 交 BC 延长线于 D，则4cosBcBD，2BCADCD在ACDRt中，332ACD，由CACDACD cos得4AC所以 ABC的面积等于 11sin2 2 32 322acB .12 分18.（本小题满分 12 分）解析：（）如图 1，取线段1BC 的中点 F，连接 EF、DF.数学试题答案（理科）第页（共 9 页）3因为 E 为11B C 的中点，所以 EF/1BB，且112EFBB.又 D 为1A A 的中点，所以1A D/1BB，且1112A DBB，所以
4、EF/1A D，且 EF=1A D，所以四边形1A DFE 是平行四边形，所以1A E/DF.又 DF 平面1BC D，1A E 平面1BC D，所以1A E/平面1BC D.4 分（）作1AOAC于点O，因为160A AC，所以130AAO，所以11122AOA AAC，即O 为 AC 的中点.因为190ACBC CB，所以1,CCBCCABC,又CCCCA1,所以 BC 平面11A ACC，所以1BCAO，又,1CAOACBCCA所以1AO 平面 ABC.6 分故可以点O 为原点，射线OA、1OA 分别为 x 轴和 z 轴的正半轴，以平行于 BC 的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图
5、 2.令12AAACBCa，则(0 0)A a，(20)Baa，1(0 03)Aa，1(203)Caa，13022Daa，所以aaaBD23,2,23，aaDC23,0,251.7 分数学试题答案（理科）第页（共 9 页）4设平面1BC D 一个法向量为),(zyxm，则33()202253()0022x y zaaax y zaa，得33202253022xyzxz，.取3x，2 3y，5z，所以)5,32,3(m.9 分又平面 ABC 的一个法向量为)3,0,0(1aOA 10 分设平面1BC D 与平面 ABC 所成锐二面角为，则.41034035cos11aaOAmOAm所以平面1BC
6、 D 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 10412 分19.（本小题满分 12 分）解析：（）由22222212 3311abaab，得24a，22b，所以椭圆C 的标准方程为22142xy5 分（）根据题意可设直线 AB 的方程为 yxn ，联立22142yxnxy，整理得22342(2)0 xnxn，6 分数学试题答案（理科）第页（共 9 页）5由22(4)4 3 2(2)0nn ，得26n 设11()A xxn，22()B xxn，则1243nxx，212223nx x.又设 AB 的中点为00()M xxn，则120223xxnx，03nxn.由于点 M 在直线 yxm上，所以2
7、33nnm，得3nm，代入26n，得296m，所以6633m.8 分因为)3,(11nxxQA，)3,(22nxxQB，所以22121)3()(3(2nxxnxxQBQA2224(2)4(3)3619(3)333nn nnnn.10 分由283QBQA，得236192813nnn ，所以 133m ，即113m.11 分又由得6133m.故实数 m 的取值范围为6133，.12 分20.（本小题满分 12 分）解析：（）（1）由茎叶图知3023129m1 分根据茎叶图可得：5a，15b，15c，5d.3 分（2）由于635.61020202020)151555(4022K，所以有 99%的把握
8、认为连续正常运行时间有差异6 分（）生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为41205 p.设一个生产周期内需保障维护的次数为 次，数学试题答案（理科）第页（共 9 页）6则)414(，B，7分（正常维护费为245.0万元，保障维护费为1.01.02)1(2.02 万元.故一个生产周期内需保障维护 次时的生产维护费为21.01.02万元.）设一个生产周期内的生产维护费为 X 万元，则 X 的可能取值为 2，2.2，2.6，3.2，4（万元），8 分则25681)411()2(4 XP642741)411()2.2(314CXP12827)
9、41()411()6.2(2224CXP643)41()411()3.2(3134CXP2561)41()4(4 XP10 分则分布列为X22.22.63.24P256816427128276432561则)(XE256146432.3128276.264272.2256812275.22564.58225644.384.1406.237162万元.故一个生产周期内生产维护费的期望值为 2.275 万元12 分21.（本小题满分 12 分）解析：（）axxfx e)(，若)(xf为 R 上的增函数，则0e)(axxfx恒成立，即axx e恒成立.设xxFx e)(，则1e)(xxF，当)0,(
10、x时，数学试题答案（理科）第页（共 9 页）70)(xF，当),0(x时，0)(xF，所以)(xF在)0,(上单调递减，在),0(上单调递增，所以1)0()(FxF，故1a，所以1a.5 分（）若0a，由（）知)(xf为 R 上的增函数.由于2)0(f，已知21xx，且4)()(21xfxf，不妨设210 xx.6 分设函数)()()(xfxfxh，)0,(x，则)121e(121e)(22axxaxxxhxx2ee2 xxx，则)(xhxxx2ee，设)(xhx）（，则02ee)(xxx，由于)0,(x，所以)(xh为）（0,上的增函数，所以0)0()(hxh，所以)(xh为）（0,上的减函
11、数 10 分所以4)0()()()(111hxfxfxh，所以)()(4)(112xfxfxf，而)(xf为 R 上的增函数，所以12xx，故021 xx.从而2)0()(21fxxf.故2)(21 xxf.12 分（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（本小题满分 10 分）选修 44 坐标系与参数方程解析：（）由条件知消去参数 得到曲线1C 的普通方程为2239xy.因4cos0可 化 为24 cos0，又222,cosxyx，代 入 得2240 xyx，于是曲线2C 的直角坐标方程为2240 xyx.5 分（）由条件知曲
12、线12,C C 均关于 x 轴对称，而且外切于原点O，数学试题答案（理科）第页（共 9 页）8不妨设1,02A，则2,2B，因曲线1C 的极坐标方程为6cos，所以126cos,4cos4sin2 ，于是12116cos4sin6sin 2622AOBS，所以当4 时，AOB面积的最大值为 6.10 分23.（本小题满分 10 分）选修 45 不等式选讲解析：（）由条件知1m 时，12,121311,1222112,22xxf xxxxxx 于是原不等式可化为11232xx；112332x；121232xx 解得714x；解得112x；解得5142x，所以不等式 3f x 的解集为5 7,4 45 分（）由已知得 111111f xxmxm mmm m11111111xmxmmm mmm m1111211mmmmmm数学试题答案（理科）第页（共 9 页）9当且仅当1m 时，等号成立，于是原不等式得证.10 分
