1、考纲链接第一章集合与常用逻辑用语第十二章算法初步、推理与证明1.算法的含义、程序框图(1)了解算法的含义，了解算法的思想(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环2基本算法语句 了解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义3了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用4了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理5了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点6了解反证法的思考过程和特点7了解数学归
2、纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题12.1 算法初步1算法的概念及特点(1)算法的概念 在数学中，算法通常是指按照一定_解决某一类问题的_和_的步骤(2)算法的特点之一是具有_性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效地执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有_性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有_性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题
3、2程序框图(1)程序框图的概念 程序框图又称流程图，是一种用、及来表示算法的图形(2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能 图形符号名 称功 能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”连接程序框 连接程序框图的两部分3.算法的基本逻辑结构(1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按_的顺序进行的它是由若干个_的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式(2)条件结构 在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法
4、的流程根据条件是否成立有不同的流向常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式(3)循环结构 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是反复执行的步骤称为循环结构有如下两种形式：如图 1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环因此，这种循环结构称为_如图 2 表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环因此，这种循环结构称为_4输入(INPUT)语句输入语句的一般格式：.要求：(1)输入语句要求输入的
5、值是具体的常量；(2)提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，“提示内容”原原本本地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开；(3)一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔5输出(PRINT)语句输出语句的一般格式：.功能：实现算法输出信息(表达式)要求：(1)表达式是指算法和程序要求输出的信息；(2)提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开；(3)如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔6赋值语句赋值语句的一般格式：.赋值语句中的“”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样
6、作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量要求：(1)赋值语句左边只能是变量，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式如：2x 是错误的(2)赋值号的左右两边不能对换赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量如“AB”“BA”的含义和运行结果是不同的，如 x5 是对的，5x 是错的，ABC 是错的，CAB 是对的(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)7条件语句(1)“IFTHEN”语句格式：_说明：当计算机执行“IFTHEN”语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行 E
7、ND IF 之后的语句(2)“IFTHENELSE”语句格式：_说明：当计算机执行“IFTHENELSE”语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体 1，否则(ELSE)执行语句体 2.8循环语句(1)直到型循环语句直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为：_(2)当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为：_自查自纠1(1)规则 明确 有限(2)确定 有序 有穷2(1)程序框 流程线 文字说明(2)终端框(起止框)输入、输出框 处理框(执行框)判断框 流程线 连接点3(1)从上到下 依次执行(3)循环结构 循环体直到型循环结构 当型循环
8、结构4INPUT“提示内容”；变量5PRINT“提示内容”；表达式6变量表达式7(1)IF 条件 THEN 语句体END IF (2)IF 条件 THEN 语句体 1ELSE 语句体 2END IF 8.(1)DO循环体LOOP UNTIL 条件(2)WHILE 条件循环体WEND 1.能设计算法计算下列各式中 S 的值的是()S121418 12100S121418 12100S121418 122 020 122 021A.B.C.D.解：因为算法的步骤是有限的，所以不能设计算法求解，故选 B.2.(2019贵州高考模拟)执行如图的程序框图，如果输出的 S3，则输入的 t()A.1B.3C
9、.1 或 3D.1 或3解：由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用判断条件计算并输出变量 S 的值，由于输出的 S3，则当 t1 时，可得 4tt23，解得t3 或 1；当 t1 时，可得 3t3，解得 t1(舍去)故选 C.3.(2019河北唐山一中高考模拟)为了计算 S112131412 01912 020，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入()A.ii1B.ii2C.ii3D.ii4解：由 S112131412 01912 0201131512 019(121412 020)NT，即 N1131512 019，T121412 020.则每次循环 i 增加 2 个数，即 ii2
10、.故选 B.4.(2019石家庄一模)当 n4 时，执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为.解：由程序框图可知，n4，k1，S1，满足条件 k4；执行循环体，S3，k2，满足条件 k4；执行循环体，S7，k3，满足条件 k4；执行循环体，S15，k4，满足条件 k4；执行循环体，S31，k5，不满足条件 k4，退出循环，输出的 S 值为 31.故填 31.5.(2019东北三省三校模拟)如图，给出的是计算 11417 1100的值的一个程序框图，则图中判断框内字母 t 的取值范围是.解：算法的功能是计算 11417 1100的值，易知 1，4，7，100 成等差数列，公差为 3，令 1(i
11、1)3100，解得 i34，所以终止程序运行时 i35.故 34t 且 35t，从而 34t35.故填34，35)类型一 算法的概念 下列所给问题中，不可以设计一个算法求解的是()A.求 12310 的和B.解方程组xy50，xy30C.求半径为 3 的圆的面积D.测量某棵树的高度，判断其是否为大树解：选项 A，利用数列的求和公式或累加，即可得到解决问题的算法；选项 B，通过两式相加、相减即可得解，从而得到相应的算法；选项 C，已知半径，根据圆的面积公式即可得到解决问题的步骤，从而得到相应的算法；选项 D，对“树的大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法构造故选 D.评析 算法过程要
12、做到一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且在有限步后必须得到问题的结果.变式 1 下列叙述中，不能称为算法的是()A.植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤B.按顺序进行下列运算：112，213，314，991100C.从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达D.3xx1解：由算法的定义可知，算法、程序是完成一件事情的可操作的步骤 可得 A，B，C 为算法，D 没有明确的规则和步骤，所以不是算法故选 D.类型二 顺序结构例 2(2019北京高考模拟)当 a3，b5，c7 时，执行如图所示的程序框图，输出的 m 值为()A.12B.12C.32D.32解：执行程序框图如下：输
13、入 a3，b5，c7，则 z1a2b2c29254915，z22ab23530，则 mz1z2153012，故输出的 m 值为12.故选 B.评析 顺序结构是最简单、最基本的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按照从上到下的顺序进行的.变式 2 如图是一个算法的程序框图，已知 a11，输出的 b3，则输入的 a2 等于()A.3 B.5 C.7 D.9解：由题意知该算法是计算a1a22的值，则1a223，解得 a25.故选 B.类型三 条件结构例 3(2019镇江调研)给出一个算法的流程图，若 asin，bcos，ctan，其中(4，2)，则输出的结果是.解：因为(4，2)，所以 0coss
14、in1，sinsincostan.所以 asin，bcos，ctan的大小关系是 cab，所以执行第一个选择结构后，由于 sincos，所以 ab，此时 acos，所以执行第二个选择结构后，由于 tancos，则输出 acos.故填 cos.评析 利用条件结构解决算法问题时，重点是分析判断框内的条件是否满足，这直接对应着下一图框中的内容.条件结构的运用与数学的分类讨论紧密结合.变式 3 如图所示的程序框图中，若 f(x)x2x1，g(x)x4，且 h(x)m 恒成立，则 m 的最大值是.解：h(x)m 恒成立，只需 mh(x)min，由程序框图可知，h(x)f（x），f（x）g（x），g（x）
15、，f（x）g（x），即 h(x)x2x1，x1或x3，x4，1x3，而 h(x)的值域为3，)，所以 m3，即 m 的最大值是 3.故填 3.类型四 循环结构(1)(2018郑州质检一)我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 n()A.5B.4C.3D.2解：初始 a1，A1，S0，n1，第一次循环：S0112，S 小于 10，进入下一次循环；第二次循环：nn12，a12，A2，S212292，S 小于 10，进入下一次循环；第三次循环：nn13，a14，A4，
16、S92144354，S 小于10，进入下一次循环；第四次循环：nn14，a18，A8，S354 18810，循环结束，此时 n4.故选 B.评析 解决此类型问题时要注意：要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体.(2)(2020 届江淮十校高三联考)阅读如图所示的程序框图，若输入的 k10，则该算法的功能是()A.计算数列2n1的前 9 项和B.计算数列2n1的前 10 项和C.计算数列2n1的前 10 项和D.计算数列2n1的前 9
17、 项和解：第一次循环：S1，i2，i10；第二次循环：S3，i3，i10，第十次循环：S2101，i11，i10，输出 S，S1（1210）12，即为数列2n1的前 10 项和故选 B.评析 辨析循环结构的功能时：分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数；结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘变量的表达式.变式 4(1)(2019广州模拟)如图给出的是计算12141618 196的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A.i48?B.i24?C.i48?D.i48？”.故选 A.(2)(2019苏州高三调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章
18、中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入 n，x的值分别为 3，3，则输出的 v 的值为.解：运行该流程图，n3，x3，v1，i2；v5，i1；v16，i0；v48，i1，循环结束故输出的 v 的值为 48.故填 48.类型五 算法语句例 5 如下是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序，若 x 依次取数列n24n(nN*)中的项，则所得 y 值的最小值为()INPUT xIF x5 THEN yx 2ELSEy5*xEND IFPRINT yENDA.4B.9C.16D.20解：由条件语句知，yx2，x5，5x，x5.又n
19、24nn4n4(当且仅当 n2 时等号成立)，且 x0 时，yx2，x5，5x，x5，为增函数，所以当 x4 时，y 有最小值 4216.故选 C.评析 条件语句：“IFTHEN”及“IFTHENELSE”的用法在“考点梳理”栏有说明，需要注意的是，若是三段或三段以上的分段函数，通常需用条件语句的嵌套结构.变式 5(2019南京模拟)根据如图所示的伪代码，可知输出的 S 的值为 .S1I8WHILE I1SS2II3WENDPRINT SEND解：运行该算法，S1，I8；S3，I5；S5，I2；S7，I1，终止循环故输出的 S 的值为 7.故填 7.1.设计算法时，要根据题目进行选择，以简单、
20、程序短、易于在计算机上执行为原则.2.画程序框图首先要进行结构选择，套用格式.若求只含有一个关系式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断才能执行后继步骤的，就必须引入条件结构；如果问题涉及的运算进行了许多重复的步骤，有规律，就可引入变量，应用循环结构.当然，应用循环结构一定要用到顺序结构与条件结构.3.循环结构的循环控制通过累加变量记录循环次数，通过判断框决定循环终止与否.用循环结构来描述算法，在画出算法程序框图之前，需要确定的三件事是：确定循环变量与初始条件；确定循环体；确定终止条件.注意直到型循环与当型循环的区别，二者判断框内的条件表述在解决同一问题时恰好
21、相反.解决循环结构框图问题，当循环次数比较少时，可依次列出；当循环次数较多时，可先循环几次，找出规律.要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.4.在具体绘制程序框图时，要注意的问题(1)流程线上要标有执行顺序的箭头.(2)判断框后边的流程线应根据情况标注“是(Y)”或“否(N)”.(3)框图内的内容包括累加(积)变量初始值，计数变量初始值，累加值，前后两个变量的差值都要仔细斟酌，不能有丝毫差错.(4)判断框内条件常用“”“”“”“”“”等符号，它们的含义是各不相同的，要根据所选循环结构的类型，正确地进行选择.5.当型循环与直到型循环的区别(1)WHILE 型是先判断条件，后执行循环体，而 UNTIL 型则是先执行循环体，后判断条件.(2)WHILE 型是当条件满足时执行循环体，不满足时结束循环，而 UNTIL 型则是条件不满足时执行循环体，条件满足时结束循环.(3)UNTIL 型至少执行一次循环体，而 WHILE 型执行循环体的次数可能为 0.
