1、第五节指数与指数函数【考纲下载】1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型1正整数指数函数函数yax(a0，a1，xN)，叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N.2分数指数幂(1)分数指数幂：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bnam，我们把b叫作a的次幂，记作ba.(2)正分数指数幂：a(a0，m、nN，且n1)(3)负分数指数幂：a(a0，m、nN，且n1)(4)0的正分数指数幂等
2、于0,0的负分数指数幂无意义3指数幂的运算性质当a0，b0时，对任意实数m，n，都有：(1) amanamn；(2)(am)namn；(3)(ab)nanbn.4指数函数的图像与性质yaxa10a1图像定义域R值域(0，)性质(1)过定点(0,1)(1)过定点(0,1)(2)当x0时，y1；x0时，0y1(2)当x0时，0y1；x0时，y1(3)在R上是增函数(3)在R上是减函数1.a成立的条件是什么？提示：当n为奇数时，aR；当n为偶数时，a0.2如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中
3、直线x1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，所以，cd1ab，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大3当a0，且a1时，函数yax，ya|x|，y|ax|，yx之间有何关系？提示：yax与y|ax|是同一个函数的不同表现形式；函数ya|x|与yax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x0时两函数图象相同；yax与yx的图象关于y轴对称1化简(2)6(1)0的结果为()A9 B10 C9 D7解析：选D(2)6(1)0(26)1817.2化简(x0，yb)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象是() ABC D (2)若曲线|y|
4、2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_自主解答(1)由已知并结合图象可知0a1，b1.对于函数g(x)axb，它一定是单调递减的，排除C、D.且当x0时g(0)a0b1b0()Ax|x2或x4 Bx|x0或x4Cx|x0或x6 Dx|x2或x2(3)(2012山东高考)若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.自主解答(1)a21.2，b0.820.8，ab1.又c2log52log541，abc.(2)f(x)为偶函数，当x0时，f(x)f(x)2x4.f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x0.(3)g
5、(x)在0，)上为增函数，则14m0，即m1，则函数f(x)在1,2上单调递增，最小值为m，最大值为a24，解得a2，m，与m矛盾；当0a1时，函数f(x)在1,2上单调递减，最小值为a2m，最大值为a14，解得a，m.所以a.答案(1)A(2)B(3)指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)指数型函数中参数的取值范围问题在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a的分类讨论1设a40.8，b
6、80.46，c1.2，则a，b，c的大小关系为()Aabc Bbac Ccab Dcba解析：选Aa40.821.6，b80.4621.38，c1.221.2，又1.61.381.2，21.621.3821.2.即abc.2若函数f(x)则不等式f(x)的解集为()A1,2)3，) B(，31，)C. D(1， 3，)解析：选B函数f(x)和函数g(x)的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间当x0，所以a3.综上得a或a3.答案：或3课堂归纳通法领悟1个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算2
7、个注意点应用指数函数性质时应注意的两点(1)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a0，b0，2a2a2b3b2b2b.令f(x)2x2x(x0)，则函数f(x)为单调增函数ab.答案A名师点评解决本题的关键有以下两点：(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题；(2)构造函数，并利用其单调性解决问题设函数f(x)32x23xa2a5，当0x1时，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_解析：f(x)32x23xa2a5(3x1)2a2a6，0x1，13x3，函数f(x)32x23xa2a5在0x1上是增函数，f(x)0恒成立f(0)0，f(0)12a2
8、a5a2a6(a3)(a2)0，a3或a2.答案：(，2)(3，)全盘巩固1化简(a0，b0)的结果是()Aa Bab Ca2bD.解析：选D原式ab.2函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是()AB CD解析：选C当x1时，ya1a0，所以函数yaxa的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.3设函数f(x)x24x3，g(x)3x2，集合MxR|f(g(x)0，NxR|g(x)0，g2(x)4g(x)30，g(x)3或g(x)1，MNx|g(x)13x21,3x3，即x1.4设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca解析：选A构造指数函数yx(xR)，
9、由该函数在定义域内单调递减可得bc；又yx(xR)与yx(xR)之间有如下结论：当x0时，有xx，故，即ac，故acb.5(2014萍乡模拟)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(2,1) B(，2)(1，)C(1，) D(，1)(0，)解析：选B由f(a)1知或解得 或即a2或a1.6(2014瑞金模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有()Afff BfffCfff Dfff解析：选B由题设知，当x1时，f(x)3x1单调递增，因其图象关于直线x1对称，当x1时，f(x)单调递减fff，fff，即fff.7若x0，则(
10、2x3)(2x3)4x(xx)_.解析：原式(2x)2(3)24x14x4x334x423.答案：238已知0x2，则y4x32x5的最大值为_解析：令t2x，0x2，1t4，又y22x132x5，yt23t5(t3)2.1t4，当t1时，ymax.答案：9(2014徐州模拟)已知过点O的直线与函数y3x的图象交于A，B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐标是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得，C(x1，y2)，所以有又A，O，B三点共线，所以kAOkBO，即，代入可得，即，所以x1log32.答案：log32
11、10函数f(x) 的定义域为集合A，关于x的不等式2x2ax(aR)的解集为B，求使ABB的实数a的取值范围解：由0，解得x2或x1，于是A(，2(1，)，2x2ax2xax2xaxxa，所以B(，a)因为ABB，所以BA，所以a2，即a的取值范围是(，211已知f(x)exex，g(x)exex(e2.718 28)(1)求f(x)2g(x)2的值；(2)若f(x)f(y)4，g(x)g(y)8，求的值解：(1)f(x)2g(x)2(exex)2(exex)2(e2x2e2x)(e2x2e2x)4.(2)f(x)f(y)(exex)(eyey)exyexyexyexyexye(xy)exye
12、(xy)g(xy)g(xy)，即g(xy)g(xy)4.同理，由g(x)g(y)8，可得g(xy)g(xy)8.由解得g(xy)6，g(xy)2，故3.12设函数f(x)kaxax(a0且a1)是定义域为R的奇函数(1)若f(1)0，求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；(2)若f(1)，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的最小值解：f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)0，k10，k1.故f(x)axax.(1)f(1)0，a0，又a0且a1，a1，而当a1时，yax和yax在R上均为增函数，f(x)在R上为增函数，原不等式化为：f(x22x)f(4x)，x22x4x
13、，即x23x40，x1或x4，不等式的解集为x|x1或x4(2)f(1)，a，即2a23a20，a2或a(舍去)，g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t2x2x(x1)，则th(x)在1，)上为增函数(由(1)可知)，即h(x)h(1).g(t)t24t2(t2)22，当t2时，g(x)min2，此时xlog2(1)，故当xlog2(1)时，g(x)有最小值2.冲击名校1若存在负实数使得方程2xa成立，则实数a的取值范围是()A(2，) B(0，)C(0,2) D(0,1)解析：选C在同一坐标系内分别作出函数y和y2xa的图象，则由图知，当a(0,2)时符合要求
14、2对于函数f(x)，如果存在函数g(x)axb(a，b为常数)，使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)2x，g(x)2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间m，n上的一个“覆盖函数”，则|mn|的最大值为_解析：因为函数f(x)2x与g(x)2x的图象相交于点A(1，2)，B(2,4)，由图可知，m，n1,2，故|mn|max211.答案：1高频滚动1已知函数f(x)x2axb2b1(a，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，且当x1,1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A(1,0) B(2，)C(，1)(2，) D(，1)解析：选C由题意f(1x)f(1x)，得f(x)图象的对称轴为x1，则a2.易知f(x)在(，1)上单调递增，当x1,1时，f(x)0，故只需f(1)b2b20，解得b2或b1.2已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3.若存在实数a，b，使得f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)解析：选B由题易知，函数f(x)的值域是(1，)，要使得f(a)g(b)，必须使得x24x31，即x24x20，解得2x2.
