1、第1课时求线性目标函数的最值课时过关能力提升1.若变量x,y满足约束条件x+y8,2y-x4,x0,y0,且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是()A.48B.30C.24D.16解析:画出可行域,如图所示.联立x+y=8,2y-x=4,解得x=4,y=4,即点A坐标为(4,4).故zmax=54-4=16,zmin=0-8=-8,即a=16,b=-8,因此a-b=24.故选C.答案:C2.若变量x,y满足约束条件x+y0,2x-y0,x4,则z=2x+y取最大值时的最优解为()A.(4,8)B.(4,-4)C.16D.4解析:在直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域,如图中阴
2、影部分所示,当直线y=-2x+z经过点A(4,8)时,纵截距z取得最大值16,因此z=2x+y取最大值时的最优解为(4,8).答案:A3.若变量x,y满足x+y-10,x+3y-60,x-y-20,则z=x-2y的最小值为()A.1B.52 C.3 D.32解析:画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.当直线y=12x-12z经过点A(3,1)时,在y轴上的截距-12z达到最大值,此时z取得最小值1.答案:A4.设实数x,y满足不等式组x+2y-50,2x+y-70,x0,y0,若x,y为整数,则z=3x+4y的最小值是()A.14B.16C.17D.19解析:画出不等式组x+2y-5
3、0,2x+y-70,x0,y0表示的平面区域,如图中阴影部分所示.因为x,y为整数,所以z=3x+4y在点A(4,1)处取到最小值16.答案:B5.设变量x,y满足|x|+|y|1,z=2x+y,则z的最大值和最小值分别为()A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1解析:|x|+|y|1表示的平面区域如图阴影部分所示.当直线y=-2x+z过点(1,0)时,z最大;当直线y=-2x+z过点(-1,0)时,z最小,则z的最大值为2,最小值为-2.答案:B6.设变量x,y满足约束条件x-20,x-2y0,x+2y-80,则目标函数z=3x+y的最大值为()A.7B.8C.9D.14解析:画出
4、题中约束条件表示的可行域,如图阴影所示.目标函数z=3x+y可化为y=-3x+z,平移目标函数线,当其过点A时,z取最大值.由x=2,x+2y-8=0得x=2,y=3.所以点A的坐标为(2,3),zmax=32+3=9.答案:C7.若实数x,y满足不等式组x+y2,2x-y4,x-y0,则z=2x+3y的最小值是_.解析:画出可行域如图阴影部分所示.当直线y=-23x+z过点A(2,0)时,z=2x+3y有最小值4.答案:48.若实数x,y满足y2x,y-2x,x3,则目标函数z=x-2y的最小值是_.解析: 画出满足不等式组的可行域如图阴影部分所示,目标函数化为y=12x-z,当直线经过点A
5、时,-z的值最大,z的值最小,点A坐标为(3,6),所以z的最小值为3-26=-9.答案:-99.若x,y满足不等式组x-y+10,x+y+10,x+2y-20,x-2y-20,则z=3x+y-7的最大值为_.解析:画出可行域如图阴影部分所示.当直线y=-3x+z0经过点A(2,0)时,直线在y轴上的截距z0最大,所以z0=3x+y有最大值6,故z=3x+y-7有最大值-1.答案:-110.设z=2y-2x+4,式中x,y满足0x1,0y2,2y-x1,求z的最大值和最小值.解作出满足不等式组0x1,0y2,2y-x1的可行域,如图阴影部分所示,作直线l:2y-2x=z-4,当直线l经过点A(
6、0,2)时,zmax=22-20+4=8;当直线l经过点B(1,1)时,zmin=21-21+4=4.11.求z=5x-8y的最大值,式中的x,y满足约束条件x+y6,5x+9y45,x0,y0.解作出满足不等式组x+y6,5x+9y45,x0,y0的可行域,如图阴影部分所示.作直线l0:5x-8y=0,平移直线l0,由图可知,当直线平移到经过点A时,z取最大值.解方程组x+y=6,y=0,得A(6,0),所以zmax=56-80=30.12.若实数x,y满足不等式组22x-y4,x3,y-3,求下列目标函数的最大值,以及此时x,y的值.(1)z=x-y;(2)z=x+3y+1.解在平面直角坐标系中画出可行域,如图阴影部分所示.(1)当直线y=x-z移动到经过点A12,-3时,直线在y轴上的截距-z最小,为-72,所以当x=12,y=-3时,z取得最大值72.(2)当直线y=-13x+z-13移动到经过点B(3,4)时,直线在y轴上的截距z-13最大,为5,所以当x=3,y=4时,z取得最大值16.6
