1、第二节平面向量基本定理及坐标表示考情展望1.考查用平面向量的坐标运算进行向量的线性运算.2.考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算.3.以向量的坐标运算及共线向量定理为载体，考查学生分析问题和解决问题的能力一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底二、平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示1平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.(3)若a(x，
2、y)，R，则a(x，y)2向量平行的坐标表示(1)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件为x1y2x2y10.(2)三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.共线向量的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.1下列各组向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(，)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()ABCD【解析】 中，e22e1，e1与e2
3、共线；中e14e2，e1与e2共线，故选A.【答案】A2若a(3,2)，b(0，1)，则2ba的坐标是()A(3，4) B(3,4)C(3,4) D(3，4)【解析】 2ba2(0，1)(3,2)(3，4)【答案】D3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，则y等于()A5 B10 C. D15【解析】 ab，4y400，y10.【答案】B4在平行四边形ABCD中，若(1,3)，(2,5)，则_，_.【解析】 (2,5)(1,3)(1,2)，(1,2)(1,3)(0，1)【答案】(1,2)(0，1)5(2013广东高考)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总
4、存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使ab c；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使ab c；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使ab c.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1B2C3D4【解析】 显然命题是正确的对于，以a的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b有交点，这个不一定能满足，是错的，对于命题，若1，|a|2时，与|a|bc|b|c|2矛盾，则不正确【答案】B6(2013北京高考)向量a，b，c在正方形图421网格中的位置如图421所示，若cab(，R)，则_.【解析】 以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖
5、直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由ca b，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61，23，故2，则4.【答案】4考向一 074平面向量基本定理及其应用(1)(2014长春模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，则_.图422(2)如图422，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设a，b，若2，则_(用向量a和b表示)【思路点拨】(1)以，为基底分别表示，根据平面向量基本定理列方程组求解(2)2借助三角形法则表示.【尝试解答】(1)选择，作为平面向量的一组基底，则，
6、又()()，于是得解得所以.(2)由2知，ABDC且|2|，从而|2|.()(ab)，b(ab)ab.【答案】(1)(2)a规律方法11.解答本例(1)的关键是根据平面向量基本定理列出关于，的方程组2(1)利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用对点训练(2013江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_【解析】 由题意()，于是
7、1，2，故12.【答案】考向二 075平面向量的坐标运算已知O(0,0)，A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求：3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标【思路点拨】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解【尝试解答】a(3(2)，14)(5，5)，b(33，4(1)(6，3)，c(2(3)，4(4)(1,8)(1)3ab3c(15，15)(6，3)(3,24)(1563，15324)(6，42)(2)由ambnc，得(5，5)(6m，3m)(n,8n)(6mn，3m8n)解得(3)3c，3c(3,
8、24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)规律方法21.向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用.2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.对点训练如图423，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4,3)，B(3，1)，C(1，2)，求第四个顶点D的坐标图423【解】设顶点D(x，y)若平行四边形四个顶
9、点的顺序为ABCD，则(34，13)(1，4)，(1x，2y)由，得解得故第四个顶点D的坐标为(2,2)；若平行四边形四个顶点的顺序为ACBD，则(14，23)(3，5)，(3x，1y)由，得解得故第四个顶点D的坐标为(6,4)；若平行四边形四个顶点的顺序为ABDC，则(34，13)(1，4)，(x1，y2)由，得解得故第四个顶点D的坐标为(0，6)综上，第四个顶点D的坐标是(2,2)或(6,4)或(0，6)考向三 076平面向量共线的坐标表示(1)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_(2)(2014青岛期中)向量a，b(cos ，1)，且ab，则cos
10、2()AB.CD.【思路点拨】(1)根据a与b的关系，设出a的坐标，再根据|a|2求解；(2)由向量平行关系的坐标表示列出等式，求出sin 后，再利用二倍角公式进行求解【尝试解答】(1)a与b的方向相反且b(2,1)，设ab(2，)，0，又|a|2，42220，即24，又0，2，因此a(4，2)(2)a，b(cos ，1)，又由ab可知tan cos ，即sin ，cos 212sin21.【答案】(1)(4，2)(2)D规律方法31.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，则ba.2向量共线的
11、坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解对点训练(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A.B.C1D2(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是_【解析】 (1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m)由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得m，故当点A
12、、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m.【答案】(1)B(2)m思想方法之十二待定系数法在向量运算中的应用根据向量之间的关系，利用待定系数法列出一个含有待定系数的恒等式，然后根据恒等式的性质求出各待定系数的值或消去这些待定系数，找出原来那些系数之间的关系，从而使问题得到解决1个示范例1个对点练如图424所示，在OAB中，AD与BC交于点M，设a，图424b，利用a和b表示向量.【解】设manb，则manba(m1)anb.ba.因为A、M、D三点共线，所以存在实数，使，即(m1)anbab.所以消去，得m2n1，同理manbaanb，ba，因为C、M、B三点共线，所以存在实数t，使t，即anbt.所以消去t，得4mn1，联立，得m，n，所以ab.图425如图425所示，M是ABC内一点，且满足条件230，延长CM交AB于N，令a，试用a表示.【解】因为，所以由230，得()2()30，所以3230.又因为A，N，B三点共线，C，M，N三点共线，由平面向量基本定理，设，所以3230.所以(2)(33)0.由于和不共线，由平面向量基本定理，得所以所以，22a.
