1、第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算考情展望1.给定集合，直接考查集合的交、并、补集的运算.2.与方程、不等式等知识相结合，考查集合的交、并、补集的运算.3.利用集合运算的结果，考查集合间的基本关系.4.以新概念或新背景为载体，考查对新情境的应变能力一、集合的基本概念1集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性2元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为和.3常见数集的符号表示：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN(N*)ZQR4.集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法描述法的一般形式的结构特征在描述法的一般形式xI|p(x)中，“x”是集合中元素的代表形
2、式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略二、集合间的基本关系1子集：若对xA，都有xB，则AB或BA.2真子集：若AB，但xB，且xA，则AB或BA.3相等：若AB，且BA，则AB.4空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集子集与真子集的快速求解法一个含有n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集三、集合的基本运算并集交集补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBUAx|xU，且xA1集合间的两个等价转换关系(1)ABAAB；(2)ABABA.2集合间运算的两个常用结论：(1)
3、U(AB)(UA)(UB)；(2)U(AB)(UA)(UB)1已知集合A0,1，则下列式子错误的是()A0AB1ACA D0,1A【解析】1A，1A错误，其余均正确【答案】B2已知集合Ax|x1，Bx|1x2，则AB()Ax|1x2 Bx|x1Cx|1x1 Dx|1x2【解析】Ax|x1，Bx|1x2，如图所示，ABx|1x2【答案】D3已知集合M1,2,3，NxZ|1x4，则()AMN BNMCMN2,3 DMN(1,4)【解析】NxZ|1x42,3，MN2,3【答案】C4集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为()A0B1 C2D4【解析】A0,2，a，B1，a
4、2，AB0,1,2,4,16，a4，故选D.【答案】D5(2013山东高考)已知集合A，B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则A(UB)()A3 B4C3,4 D【解析】U1,2,3,4，U(AB)4，AB1,2,3又B1,2，3A1,2,3又UB3,4，A(UB)3【答案】A6(2013江苏高考)集合1,0,1共有_个子集【解析】由于集合中有3个元素，故该集合有238(个)子集【答案】8考向一 001集合的基本概念(1)(2013山东高考)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1B3C5D9(2)(2014柳州模拟)已知集合Am2,2m2m
5、，3，若3A，则m的值为_【思路点拨】(1)用列举法把集合B中的元素一一列举出来(2)先由m23或2m2m3求得m的值，再检验集合中的元素是否满足互异性【尝试解答】(1)方法一：当x0，y0时，xy0；当x0，y1时，xy1；当x0，y2时，xy2；当x1，y0时，xy1；当x1，y1时，xy0；当x1，y2时，xy1；当x2，y0时，xy2；当x2，y1时，xy1；当x2，y2时，xy0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，1，2,1,2，共5个方法二：如下表所示：x y012001211012210xy的值只有2，1,0,1,2，共5个(2)3A，m23或2m2m3，解得m1或m.当m
6、1时，m22m2m3，不满足集合元素的互异性，当m时，A满足题意故m.【答案】(1)C(2)规律方法11.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其它的集合.2.对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性.对点训练(1)(2014深圳模拟)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3B6C8D10(2)已知集合Ax|ax23x20，若A，则实数a的取值范围为_【解析】(1)因为A1,2,3,4,5，所以集合A中的元素都为正数，若xyA，则必有xy0，即xy
7、.当y1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y3时，x可取4,5，共有2个数；当y4时，x只能取5，共有1个数；当y5时，x不能取任何值综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为432110，即集合B中的元素共有10个，故选D.(2)A，方程ax23x20无实根，当a0时，x不合题意，当a0时，98a0，a.【答案】(1)D(2)考向二 002集合间的基本关系(1)已知aR，bR，若a2，ab,0，则a2 014b2 014_.(2)已知集合Ax|x23x100，Bx|m1x2m1，若ABA，则实数m的取值范围是_【思路点拨】(1)0，则b0,1a2，
8、a,0，则a21，a1，从而a，b可求(2)ABABA，分B和B两种情况求解【尝试解答】(1)由已知得0及a0，所以b0，于是a21，即a1或a1.又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 014b2 014(1)2 0141.(2)Ax|x23x100x|2x5，又ABA，所以BA.若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由、可得，符合题意的实数m的取值范围为m3.【答案】(1)1(2)(，3规律方法21.解答本例(2)时应注意两点：一是ABABA；二是BA时，应分B和B两种情况讨论.2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系
9、，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观.对点训练(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4(2)若集合Mx|x2x60，Nx|ax20，aR，且MNN，则实数a的取值集合是_【解析】(1)由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4，满足条件的C可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)因为MNN，所以NM.又M3,2，若N，则a0.若N，则N3或N2所以3a20或2a20，解得a或a1.所以a的取值集合是.【答案】(1)D(2)考向三 003集合
10、的基本运算(1)(2014湖南师大附中模拟)设集合A1,2,3,5,7，BxZ|1x6，全集UAB，则A(UB)等于()A1,4,6,7B2,3,7C1,7 D1(2)(2014烟台模拟)设全图111集UR，Mx|x23x0，Nx|x1，则图111中阴影部分表示的集合为()Ax|x1 Bx|3x0Cx|x3 Dx|1x0【思路点拨】(1)求B求AB求UB求A(UB)(2)求M分析阴影区域表示的集合借助数轴求该集合【尝试解答】(1)BxZ|1x62,3,4,5,6又A1,2,3,5,7 .AB1,2,3,4,5,6,7UB1,7A(UB)1,7(2)Mx|x23x0x|3x0，Nx|x1UNx|
11、x1又由Venn图可知，该阴影部分表示的集合为M(UN)所以M(UN)x|1x0【答案】(1)C(2)D规律方法31.求解本例(2)的关键是明确阴影区域元素的属性.2.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.对点训练(1)(2013浙江高考)设集合Sx|x2，Tx|x23x40，则(RS)T()A(2,1B(，4C(，1 D1，)图112(2)如图112，已知U1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，集合A2,3,4,5,6,8，B1,3,4,5,7，C2,4,5,7,
12、8,9，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为_【解析】(1)因为Sx|x2，所以RSx|x2而Tx|4x1，所以(RS)Tx|x2x|4x1x|x1(2)由图可知，该阴影部分表示的集合为AC(UB)又AC2,4,5,8，UB2,6,8,9,10，故AC(UB)2,8【答案】(1)C(2)2,8思想方法之一数形结合思想在集合中的妙用数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：(1)利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系(2)利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算
13、(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题1个示范例1个对点练(2012天津高考)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.【解析】Ax|5x1，Bx|(xm)(x2)0，且ABx|1xn如图所示由图可知ABx|1x1，故n1，m1.,设Ax|2x1，或x1，Bx|x2axb0已知ABx|x2，ABx|1x3，则a_，b_.【解析】如图所示设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合x|1x3时符合题意根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，可知1与3是方程x2axb0的两根，a(13)2，b(1)33.【答案】23
