1、广东省郁南县连滩中学2019-2020学年高一数学下学期5月摸底考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.（多选）下列说法中不正确的是（ ）A. 棱柱的侧面可以是三角形B. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱C. 所有几何体的表面都能展开成平面图形D. 棱柱的各条棱都相等【答案】ACD【解析】【分析】从棱柱的定义出发，依次判断选项即可.【详解】解：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C不正确；棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以D不正确.故选：ACD
2、.【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查基本知识的熟练程度，属于基础题.2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A. 0B. 9C. 快D. 乐【答案】B【解析】根据一个正方体的表面展开图以及图中“”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：由直观图可得这个正方体的下面是，故选B【方法点睛】本题主要考查空间线能力、抽象思维能力，属于难题.利用展开图复原几何体考查空间想象能力，要求较高，难度较大，好多同学对这种题型感到束手无策，解答该题型可以先固定一个面，采取多种方案逐
3、一验证；也可以利用一种更直观的方法，就是自己动手，制作纸片模型.3.如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（ ）A. 6B. C. D. 12【答案】D【解析】【分析】根据直观图，还原出原图，然后求解面积.【详解】由直观图可知，是一个直角三角形，两个直角边分别为4和6，所以的面积为.故选：D.【点睛】本题主要考查直观图和原图之间的关系，准确还原成原图是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.4.下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )A. 梯形B. 菱形C. 平行四边形D. 四边形【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的选项确定可能不是平面图形的几何体即可.【详解】有定义易知梯形，菱形，平
4、行四边形都是平面图形，四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查几何体的定义与应用，属于基础题.5.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）A. 甲的极差是29B. 甲的中位数是24C. 甲罚球命中率比乙高D. 乙的众数是21【答案】B【解析】【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对【详解】由茎叶图知甲
5、的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对故选B【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况6.在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）A. 9.4，
6、0.484B. 9.4，0.016C. 9.5，0.04D. 9.5，0.016【答案】D【解析】【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，利用平均值和方差的求解公式可求所剩数据的平均值和方差.【详解】去掉一个最高分和一个最低分后，剩余分数如下：9.4、9.4、9.6、9.4、9.7，平均值为；方差为；故选：D.【点睛】本题主要考查平均数和方差的求解，明确求解公式是解题关键，侧重考查数据分析的核心素养.7.把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A. 对立事件B. 不可能事件C. 互斥但不对立事件D. 以上都不对【答案】C【解析
7、】黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件故选C8.口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（ ）A. 0.45B. 0.67C. 0.64D. 0.32【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的概率公式先求出事件“从口袋中摸出一个红球”的概率，再根据互斥事件的概率加法公式求出“从口袋中摸出一个白球或红球”的概率，即可由对立事件的概
8、率公式求出摸出黑球的概率【详解】设“摸出一个红球”为事件A，“摸出一个白球”为事件B，“摸出一个黑球”为事件C，显然事件A，B，C都互斥，且C与AB对立因为P（A）0.45，P（B）0.23，所以P（AB）P（A）P（B）0.450.230.68，P（C）1P（AB）10.680.32.故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式以及对立事件的概率公式的应用，属于基础题9.等差数列中，若，且，为前项和，则中最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为，由，利用通项公式化为，得，由可得，利用二次函数的单调性即可得出答案【详解】
9、设等差数列的公差为，即，则等差数列单调递减，当时，数列取得最大值故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，二次函数的单调性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题10.已知等比数列的前项和为，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选C.11.在ABC中，则的取值范围是（ ）A （0，B. ，）C. （0，D. ，）【答案】C【解析】【详解】试题分析：由于，根据正弦定理可知，故又，则范围为.故本题正确答案为C.考点：三角形中正余弦定理的运用.12.如图所示，在，已知，角的平分线把三角形面积分为两部分，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
10、【分析】由两个三角形的面积比，得到边，利用正弦定理求得的值.【详解】角的平分线， ，设，设，在中，利用正弦定理，解得：.【点睛】本题考查三角形面积公式、正弦定理在平面几何中的综合应用.二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分）13.棱长为1的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为_【答案】【解析】【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果【详解】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，球的半径是r，球的表面积是43故答案为3【点睛】本题考查球内接多面体，注意在立体几何中，球与正方体的关系有三种，这是
11、其中一种，还有球和正方体的面相切，球和正方体的棱相切，注意把三个题目进行比较14.设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2bx+c=0有实根的概率为 【答案】【解析】试题分析：由已知b24c0，b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，基本事件总数n=66=36，再用列举法求出方程x2bx+c=0有实根，即b24c包含的基本事件个数，由此能求出方程x2bx+c=0有实根的概率解：方程x2bx+c=0有实根，=（b）24c=b24c0，b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，基本事件总数n=66=36，方程x2bx+c=0有实根，即b24c包含的基本事件情况有：b=2时，c可取1；b=
12、3时，c可取1，2；b=4时，c可取1，2，3，4；b=5时，c可取1，2，3，4，5，6；b=6时，c可取1，2，3，4，5，6，方程x2bx+c=0有实根，即b24c包含的基本事件个数m=1+2+4+6+6=19，方程x2bx+c=0有实根的概率p=故答案为考点：古典概型及其概率计算公式15.数列满足，且x1+x2+x100=100，则lg(x101+x102+x200）=_【答案】102【解析】【分析】由对数运算性质得出数列是等比数列，公比为10，再利用等比数列的项的关系可得答案.【详解】，所以数列是等比数列，公比为10，所以，故答案为：102.【点睛】本题考查等比数列及对数运算公式，关
13、键在于准确地运用等比数列公式和对数运算性质，属于中档题.16. 某人在C点测得塔顶A在南偏西80，仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为_m.【答案】10【解析】如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh.在OCD中，OCD120，CD10.由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10或h5(舍)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列是首项为1的等差数列，且公差不为零
14、而等比数列的前三项分别是，（1）求数列的通项公式；（2）若b1+b2+bk=85，求正整数的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式、等比数列的定义即可得出；（2）利用等比数列的定义和前项和公式即可得出【详解】（1）设数列的公差为，由，为等比数列的前三项，所以，即，解得，所以，数列的首项为，公差为的等差数列，故通项公式为.（2）由（1）知，则等比数列的首项为，公比为，故通项公式为，所以，解得.故正整数.【点睛】本题考查等差、等比数列，熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的定义和前项和公式是解题的关键18. 在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2
15、A3cos（B+C）=1（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.（2）由Sbcsin Abcbc5，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22b
16、ccos A25162021，故a.从而由正弦定理得sin B sin Csin Asin Asin2A.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.19.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA14，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；(2)PC和NC的长【答案】(1)
17、(2) PC2, NC=【解析】【分析】(1)由题意结合展开图的特征求解其对角线长即可；(2)首先画出其展开图，然后结合展开图的几何特征即可求得PC和NC的长【详解】(1)正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为(2)如图所示，将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PCx，则P1Cx在RtMAP1中，在勾股定理得(3x)22229，求得x2PCP1C2，NC=【点睛】本题主要考查正棱柱的几何特征，侧面展开图的应用等知识，意在考
18、查学生的转化能力和计算求解能力.20.为了解某市开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从三个区中抽取个工厂进行调查，已知区中分别有个工厂（1）求从区中应分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的个工厂中随机地抽取个进行调查结果的对比，计算这个工厂中至少有一个来自区的概率【答案】；【解析】【详解】解：（1）工厂总数为18271863（2）样本容量与总体中的个体数之比为从、三个区应分别抽取工厂数分别为，（2）设为在A区中抽的2个工厂，为在B区中抽的3个工厂，为在C区中抽的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部的结果如下：共21种不同结果，抽取的2个工厂至少有一个来自A区，共有11种，如下：故所
19、求概率21.如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值.【答案】.【解析】【分析】根据CPOB求得CPO和和OCP，进而在POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（），利用两角和公式化简整理后，利用的范围确定三角形面积的最大值【详解】因为CPOB，所以CPOPOB60，OCP120在POC中，由正弦定理得，所以CPsin又，OCsin（60）因此POC的面积为S（）CPOCsin120sinsin（60）sinsin（60）sin（cossin）（sincoss
20、in2）（sin2cos2）cos（260），（0，60）所以当30时，S（）取得最大值为【点睛】本题主要考查了三角函数的模型的应用考查了考生分析问题和解决问题的能力22.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了10次试验测得的数据如下：零件数x（个）102030405060708090100加工时间y（分）626875818995102108115122（1）y与x否具有线性相关关系？（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-.【答案】（1）具有线性相关关系；（2）；（3）分钟.【解析】【分析】（1）根据表中提供的数据，作出散点图，观察可得y与x具有线性相关关系；（2）根据参考公式和数据先求出，结合=-可求，从而可得回归直线方程；（3）根据求出的回归直线方程，把代入方程可预测加工200个零件所用的时间.【详解】（1）根据数据作出散点图，由散点图观察可知y与x具有线性相关关系；（2）由题意可求，所以所以.（3）当时，所以预测加工200个零件所用的时间为分钟.【点睛】本题主要考查回归直线方程，明确公式中各项的含义，准确计算是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
