1、第二章单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若直线(2k2k3)x(k2k)y4k10与直线2x3y50平行，则k值为()A或1 B或1C D1答案C解析因为两直线平行，所以有2(k2k)3(2k2k3)0，即8k2k90，解得k或k1.检验知k1时不成立，故k.2“1m3”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析当m2时，方程1为x2y21，该方程表示圆，即充分性不成立若方程1表示椭圆，则解得1mb0)上一点，F1，F2为
2、其焦点，若F1PF260，则SF1PF2等于()Ab2 BabC|b2a2| D|a2b2|答案A解析|PF1|PF2|2a，且4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4c24a24b2.SF1PF2|PF1|PF2|sin60b2.故选A.8过点M(2,0)的直线l与椭圆x22y22交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于()A2 B2 C D答案D解析设l：yk1(x2)，将yk1(x2)代入x22y22，得(12k)x28kx8k2
3、0，设中点P(x0，y0)，则x0，y0k1(x02)，k2，k1k2.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9下列说法正确的是()A截距相等的直线都可以用方程1表示B方程xmy20(mR)能表示平行于y轴的直线C经过点P(1,1)，倾斜角为的直线方程为y1tan(x1)D经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)0答案BD解析对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程1表示，所以不正确；对于B，当m0时，平行于y轴的直线方
4、程形式为x2，所以正确；对于C，若直线的倾斜角为90，则该直线的斜率不存在，不能用y1tan(x1)表示，所以不正确；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据可得(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)0，所以正确故选BD.10已知直线l：axyb0，圆M：(xa)2(yb)2a2b2，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形可能是()答案BC解析圆M的圆心为(a，b)，且过原点，可排除A；B项中由直线l可知，a0，b0，圆心(a，b)在第一象限，满足条件；C项中由直线l可知a0，圆心(a，b)在第三象限，满足条件；D项中由直线l可知a0
5、，b0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且ABCD，AB的斜率为k，且k0，C，A两点在x轴上方则下列结论中一定成立的是()AB若|AF|BF|p2，则kCD四边形ACBD面积的最小值为16p2答案AC解析因为AB的斜率为k，ABCD，所以kCD，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为yk，由可得k2x2p(k22)xk2p20，所以|AB|x1x2pp，同理可得|CD|2p(1k2)，则有，故A正确；x1x2y1y2p2k2p2k2p2k2p2p2与k无关，同理，p2，故，故C正确；若|AF|BF|p2，由x1x2(x1x2)p2得p2p2p2，解得k，故B错误；因为ABCD，所
6、以四边形ACBD的面积S四边形ACBD|AB|CD|2p(1k2)2p28p2，当且仅当k2，即k1时，等号成立，故D错误故选AC.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是_.答案(x1)2(y1)24解析易求得AB的中点为(0,0)，直线AB的斜率为1，从而线段AB的垂直平分线为直线yx，根据圆的几何性质，知这条直线应该过圆心，将它与直线xy20联立得到圆心(1,1)，所以半径r2，故圆的方程为(x1)2(y1)24.14抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是_.答案解析设与直线4
7、x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线方程为4x3ym0，由得3x24xm0，由0得m，所以直线4x3y80与直线4x3y0的距离为抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值15设圆(x3)2(y5)2r2(r0)上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是_.答案4r6解析注意到圆心C(3，5)到已知直线的距离为5，结合图形可知有两个极端情形：其一是如图所示的小圆，半径为4；其二是如图所示的大圆，其半径为6，故4r6.16如图，F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，且|F1F2|2，若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1PF2，设直线P
8、F2与y轴交于点A，且APF1的内切圆半径为，则|PF1|PA|AF1|_，双曲线C的离心率为_.答案12解析因为PF1PF2，且APF1的内切圆半径为，所以|PF1|PA|AF1|1，所以|PF2|2a|PA|AF1|1，所以|AF2|AF1|12a，由图形的对称性，可知|AF2|AF1|，所以a.又|F1F2|2，所以2c2，即c1，所以双曲线C的离心率e2.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上(1)求抛物线C的标准方程；(2)直线l：ykx3过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A，B两点
9、，求A，B两点间的距离解(1)抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上，设抛物线C的标准方程为y22px(p0)，6223p，p6.y212x.故抛物线C的标准方程为y212x.(2)由(1)知F(3,0)，代入直线l的方程得k1.直线l的方程为yx3，联立方程消去y得x218x90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x218.AB过焦点F，|AB|x1x2624.18(本小题满分12分)已知点P(1,2)，M(3,1)，圆C：(x1)2(y2)24.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长解由题意得圆心为C(1,2)，半径r2.(1)(11)2(2
10、2)24，点P在圆C上又kPC1，切线的斜率k1.过点P的圆C的切线方程是y(2)x(1)，即xy120.(2)(31)2(12)254，点M在圆C外部当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，所以直线x30是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC|，过点M的圆C的切线长为1.19(本小题满分12分)如图所示，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1
11、与椭圆交于A，B两点，(1)求ABF2的周长；(2)若直线l的倾斜角为45，求ABF2的面积解由椭圆的方程1知，a4，b3，c.(1)ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a4416.(2)由c知F1(，0)，F2(，0)，又kltan451，直线l的方程为xy0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x整理，得25y218y810，y1y2，y1y2.|y1y2|，SABF2|F1F2|y1y2|2.20(本小题满分12分)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于
12、点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值解(1)证明：依题意可设AB方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28，直线AO的方程为yx，直线BD的方程为xx2.联立直线AO和BD的方程，解得交点D的坐标为.注意到x1x28及x4y1，则有2，因此点D在定直线y2(x0)上(2)依题意，知切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24
13、(axb)，即x24ax4b0，由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2，y2得N1，N2的坐标分别为N1，N2，则|MN2|2|MN1|224228，即|MN2|2|MN1|2为定值8.21(本小题满分12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，其中O为原点，求k的取值范围解(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2.又因为a2b2c2，所以b21，故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21得(13k2)x26
14、kx90，由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2且k22得xAxByAyB2，而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2，于是2，即0，解此不等式得k23.由得k2b0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.过F1的直线交椭圆E于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解(1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF
15、2|8，而|AF1|AF2|F1B|BF2|2a，所以4a8，解得a2.又e，所以ca1，所以b2a2c23.故所求椭圆E的方程为1.(2)由消去y，整理得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0，64k2m24(4k23)(4m212)0，即4k2m230.此时x0，y0，故P.由得Q(4,4km)假设在坐标平面内存在定点M满足条件，由图形的对称性知，点M必在x轴上设M(x1,0)，则0对满足式的m，k恒成立因为，(4x1,4km)，所以由0，得4x1x30，即(4x14)x4x130.由式对满足式的m，k恒成立，所以有解得x11.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
